फ़र्मेट संख्या

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Fermat prime
Named afterPierre de Fermat
No. of known terms5
Conjectured no. of terms5
Subsequence ofFermat numbers
First terms3, 5, 17, 257, 65537
Largest known term65537
OEIS indexA019434

गणित में एक फ़र्मेट संख्या जिसका नाम पियरे डी फ़र्मेट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने सबसे पहले उनका अध्ययन किया था इस रूप की एक प्राकृतिक संख्या है

जहाँ n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। पहले कुछ फ़र्मेट नंबर हैं:

3 (संख्या), 5 (संख्या), 17 (संख्या), 257 (संख्या), 65537 (संख्या), 4294967297, 18446744073709551617, ... (sequence A000215 in the OEIS).

यदि 2k+1 अभाज्य संख्या है और k > 0, तो k 2 की घात होनी चाहिए, इसलिए 2k + 1 एक फ़र्मेट संख्या है; ऐसे अभाज्यों को फर्मेट अभाज्य कहा जाता है। As of 2023, एकमात्र ज्ञात फ़र्मेट प्राइम हैं F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, और F4 = 65537 (sequence A019434 in the OEIS); अनुमान बताते हैं कि अब और नहीं हैं।

मूलभूत गुण

फ़र्मेट संख्याएँ निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती हैं:

n ≥ 1 के लिए,


n ≥ 2 के लिए इनमें से प्रत्येक संबंध को गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। दूसरे समीकरण से हम गोल्डबैक के प्रमेय (क्रिश्चियन गोल्डबैक के नाम पर) का अनुमान लगा सकते हैं: कोई भी दो फ़र्मेट संख्याएं 1 से अधिक एक सामान्य पूर्णांक कारक साझा नहीं करती हैं। इसे देखने के लिए मान लें कि 0 ≤ i < j और Fi और Fj का एक सामान्य कारक a > 1 है फिर a दोनों को विभाजित करता है

और Fj इसलिए a उनके अंतर को विभाजित करता है, 2. चूँकि a > 1, यह a = 2 को बल देता है। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि प्रत्येक फ़र्मेट संख्या स्पष्ट रूप से विषम है। परिणाम के रूप में हमें अभाज्य संख्याओं की अनंतता का एक और प्रमाण मिलता है: प्रत्येक Fn के लिए, एक अभाज्य गुणनखंड pn चुनें; तो अनुक्रम {pn} अलग-अलग अभाज्य संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम है।

अतिरिक्त गुण

  • किसी भी फ़र्मेट प्राइम को दो pth घातों के अंतर के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ p एक विषम प्राइम है।
  • F0 और F1 के अपवाद के साथ फ़र्मेट संख्या का अंतिम अंक 7 है।
  • सभी फ़र्मेट संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग (sequence A051158 in the OEIS) अपरिमेय संख्या है. (सोलोमन डब्ल्यू गोलोम्ब, 1963)

प्राचीनता

फ़र्मेट संख्याओं और फ़र्मेट प्राइम का अध्ययन सबसे पहले पियरे डी फ़र्मेट द्वारा किया गया था, जिन्होंने अनुमान लगाया था कि सभी फ़र्मेट संख्याएँ अभाज्य हैं। वास्तव में पहले पांच फ़र्मेट नंबर F0, ..., F4 को आसानी से अभाज्य दिखाया गया है। 1732 में लियोनहार्ड यूलर ने फ़र्मेट के अनुमान का खंडन किया जब उन्होंने दिखाया कि

यूलर ने सिद्ध किया कि n ≥ 2 के लिए Fn के प्रत्येक कारक का रूप k2n+1 + 1 होना चाहिए (बाद में लुकास द्वारा इसे k2n+2 + 1 में सुधार किया गया)।


यह कि 641, F5 का एक गुणनखंड है, समानता 641 = 27 × 5 + 1 और 641 = 24 + 54 से निकाला जा सकता है। यह पहली समानता से पता चलता है कि 27 × 5 ≡ −1 (मॉड 641) और इसलिए (बढ़ाते हुए) चौथी शक्ति) वह 228 × 54 ≡ 1 (मॉड 641)दूसरी ओर, दूसरी समानता का तात्पर्य है कि 54 ≡ −24 (मॉड 641)। इन सर्वांगसमताओं का अर्थ है कि 232 ≡ −1 (मॉड 641)।

फ़र्मेट को संभवतः यूलर द्वारा बाद में सिद्ध किए गए कारकों के स्वरूप के बारे में पता था, इसलिए यह उत्सुक लगता है कि वह कारक को खोजने के लिए सीधी गणना का पालन करने में विफल रहा था।[1] एक सामान्य व्याख्या यह है कि फ़र्मेट ने एक कम्प्यूटेशनल गलती की है।

n > 4 के साथ कोई अन्य ज्ञात फ़र्मेट अभाज्य Fn नहीं है, किन्तु बड़े n के लिए फ़र्मेट संख्याओं के बारे में बहुत कम जानकारी है। वास्तव में, निम्नलिखित में से प्रत्येक एक खुली समस्या है:



2014 तक, यह ज्ञात है कि Fn 5 ≤ n ≤ 32 के लिए मिश्रित है, चूँकि इनमें से, Fn का पूर्ण गुणनखंडन केवल 0 ≤ n ≤ 11 के लिए जाना जाता है, और n = 20 और n = 24 के लिए कोई ज्ञात अभाज्य कारक नहीं हैं।[3] समग्र के रूप में ज्ञात सबसे बड़ी फ़र्मेट संख्या F18233954 है, और इसका अभाज्य कारक 7 × 218233956 + 1 अक्टूबर 2020 में खोजा गया था।

विवेकपूर्ण तर्क

अनुमान बताते हैं कि F4 अंतिम फ़र्मेट प्राइम है।

अभाज्य संख्या प्रमेय का तात्पर्य है कि N के चारों ओर एक उपयुक्त अंतराल में एक यादृच्छिक पूर्णांक संभावना 1 / ln N के साथ अभाज्य है। यदि कोई अनुमान का उपयोग करता है कि एक फ़र्मेट संख्या अपने आकार के यादृच्छिक पूर्णांक के समान संभावना के साथ अभाज्य है, और वह F5, ..., F32 समग्र हैं, तो F4 से परे (या समकक्ष, F32 से परे) फ़र्मेट प्राइम की अपेक्षित संख्या होनी चाहिए

कोई इस संख्या की व्याख्या इस संभावना की ऊपरी सीमा के रूप में कर सकता है कि F4 से परे एक फ़र्मेट प्राइम उपस्थित है।

यह तर्क कोई कठोर प्रमाण नहीं है. एक बात के लिए, यह माना जाता है कि फ़र्मेट संख्याएँ यादृच्छिक रूप से व्यवहार करती हैं, किन्तु फ़र्मेट संख्याओं के कारकों में विशेष गुण होते हैं। बोकलान और जॉन एच. कॉनवे ने एक अधिक स्पष्ट विश्लेषण प्रकाशित किया जिसमें बताया गया कि एक और फ़र्मेट प्राइम होने की संभावना एक अरब में एक से भी कम है।[4]

समतुल्य स्थितियाँ

मान लीजिए nवाँ फ़र्मेट संख्या है। पेपिन का परीक्षण बताता है कि n > 0 के लिए,

अभाज्य है यदि और केवल यदि

व्यंजक का मूल्यांकन बार-बार वर्ग करके मॉड्यूल किया जा सकता है। यह परीक्षण को एक तेज़ बहुपद-समय एल्गोरिथ्म बनाता है। किन्तु फ़र्मेट संख्याएँ इतनी तेज़ी से बढ़ती हैं कि उनमें से केवल मुट्ठी भर का ही उचित मात्रा और स्थान में परीक्षण किया जा सकता है।

k2m + 1 के रूप की संख्याओं के लिए कुछ परीक्षण हैं जैसे कि प्रारंभिकता के लिए फ़र्मेट संख्याओं के कारक है।

प्रोथ का प्रमेय (1878)। मान लीजिए N = k2m + 1 विषम k < 2m के साथ यदि कोई पूर्णांक ऐसा है