फ़फ़ियान

गणित में, m×m विकर्ण-सममित आव्यूह के निर्धारक को सदैव आव्यूह प्रविष्टियों में बहुपद के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है, इस प्रकार किसी पूर्णांक के लिए उसके गुणांक वाले बहुपद में जो केवल m पर निर्भर करता है। जब m विषम होता है, तो बहुपद शून्य होता है। जब m सम होता है, तो यह घात m/2 का शून्येतर बहुपद के समान होता है, और इस प्रकार ±1 से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में विकर्ण-सममित त्रिविकर्ण आव्यूह पर संयोजन पुनः विशिष्ट बहुपद निर्धारित करता है, जिसे 'फ़फ़ियान' बहुपद कहा जाता है। इस बहुपद का मान, जब विकर्ण-सममित आव्यूह की प्रविष्टियों पर लागू किया जाता है, तो उस आव्यूह का 'फ़फ़ियान' कहा जाता है। फ़फ़ियान शब्द का प्रारंभ किसके द्वारा की गई थी? कैयलेय (1852), जिन्होंने अप्रत्यक्ष रूप से उनका नाम जोहान फ्रेडरिक पफैफ़ के नाम पर रखा था।

स्पष्ट रूप से, विकर्ण-सममित आव्यूह के लिए $A$ का मान इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता हैं,

$\operatorname {pf} (A)^{2}=\det(A),$

जो सर्वप्रथम कैयलेय (1849) द्वारा प्रमाणित हुआ था, जो विभेदक समीकरणों की फ़फ़ियान प्रणाली पर कार्य करने वाले इन बहुपदों को प्रस्तुत करने के लिए कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी का संकेत देते हैं। केली केवल पहली पंक्ति और पहले कॉलम में विकर्ण समरूपता से विचलित होने वाले आव्यूह पर अधिक सामान्य परिणाम पर विशेष ध्यान देकर यह संबंध प्राप्त करता है। ऐसे आव्यूह का निर्धारक मूल आव्यूह में पहले ऊपरी बाएँ प्रविष्टि को शून्य पर स्थित करके प्राप्त किए गए दो आव्यूह के फ़फ़ियान का उत्पाद है और पुनः क्रमशः, पहली पंक्ति के ऋणात्मक स्थानान्तरण को पहले कॉलम में और ऋणात्मक को कॉपी करता है। पहले कॉलम को पहली पंक्ति में स्थानांतरित किया जाता हैं। यह अवयस्कों पर निर्धारक का विस्तार करके और नीचे दिए गए प्रत्यावर्तन सूत्र को नियोजित करके प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जाता है।

उदाहरण

$A={\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf} (A)=a.$

$B={\begin{bmatrix}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf} (B)=0.$

(3 विषम है, इसलिए B का फ़फ़ियान 0 है)

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.$

2n × 2n विकर्ण-सममित त्रिविकर्ण आव्यूह का फ़फ़ियान इस प्रकार दिया गया है।

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a_{1}&0&0\\-a_{1}&0&0&0\\0&0&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&0&\ddots \\&&&\ddots &\ddots &\\&&&&&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.$

(ध्यान दें कि किसी भी विकर्ण-सममित आव्यूह को इस रूप में कम किया जा सकता है, इसके आधार पर विकर्ण-सममित आव्यूह स्पेक्ट्रल सिद्धांत या विकर्ण-सममित आव्यूह का स्पेक्ट्रल सिद्धांत देखें।)

औपचारिक परिभाषा

माना A = (a_i,j) 2n × 2n विकर्ण-सममित आव्यूह हो। A के फ़फ़ियान को सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

$\operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\,,$

जहां s_2n (2n) क्रम का सममित समूह है! और sgn(σ) σ का [[हस्ताक्षर (क्रमपरिवर्तन)]] है।

सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों के योग से बचने के लिए A की विकर्ण-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है। मान लीजिए Π किसी समुच्चय के सभी विभाजनों का समुच्चय {1, 2, ..., 2n} है, जिसके आदेश के बारे में सोचे बिना इसे जोड़े में प्रदर्शित कर सकते हैं। इसके लिए (2n)!/(2ⁿn!) = (2n − 1)!! ऐसे विभाजन तत्व हैं जिसे α ∈ Π के रूप में लिखा जा सकता है।

$\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}$

इस प्रकार i_k < j_k और $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$ के लिए

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& \cdots <!--\; \cdots \; -->\end{array}$