प्राथमिक अपघटन

गणित में, लास्कर-नोएदर प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नोथेरियन वलय लस्कर वलय है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आदर्श को प्रतिच्छेदन के रूप में विघटित किया जा सकता है, जिसे प्राथमिक अपघटन कहा जाता है, जो कि बहुत से प्राथमिक आदर्शों (जो संबंधित हैं, लेकिन प्रधान आदर्श की शक्तियों के समान नहीं) प्रमेय सबसे पहले Emanuel Lasker (1905) द्वारा बहुपद वलयों और अभिसारी शक्ति श्रृंखला वलयों के विशेष स्थिति के लिए, और Emmy Noether (1921).इसके द्वारा इसकी पूर्ण व्यापकता में सिद्ध किया गया था ।

लास्कर-नोएदर प्रमेय अंकगणित के मौलिक प्रमेय का विस्तार है, और सामान्यतः सभी नोथेरियन वलय के लिए अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का मौलिक प्रमेय है। प्रमेय बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, यह दावा करते हुए कि प्रत्येक बीजगणितीय समुच्चय विशिष्ट रूप से अप्रासंगिक घटकों के परिमित संघ में विघटित हो सकता है।

इसमें मॉड्यूल (गणित) के लिए सीधा विस्तार है, जिसमें कहा गया है कि नोथेरियन वलय पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल का प्रत्येक सबमॉड्यूल प्राथमिक सबमॉड्यूल का परिमित प्रतिच्छेदन है। इसमें विशेष स्थिति के रूप में वलय के लिए स्थिति सम्मिलित है, वलय को अपने आप में मॉड्यूल के रूप में देखते हुए, ताकि आदर्श सबमॉड्यूल हों। यह प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्मता से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय के प्राथमिक अपघटन रूप को भी सामान्य करता है, और क्षेत्र पर बहुपद के वलय के विशेष स्थिति के लिए, यह बीजगणितीय समुच्चय के अपघटन को (अप्रासंगिक) प्रकारों के परिमित संघ में सामान्यीकृत करता है। .

विशेषता 0 के क्षेत्र पर बहुपद वलय के लिए प्राथमिक अपघटन की गणना के लिए पहला एल्गोरिदम नोथेर के छात्र द्वारा प्रकाशित किया गया था Grete Hermann (1926). अपघटन सामान्य रूप से गैर-विनिमेय नोथेरियन वलय के लिए नहीं होता है। नोथेर ने गैर-कम्यूटेटिव नोथेरियन वलय का सही आदर्श के साथ उदाहरण दिया जो प्राथमिक आदर्शों का प्रतिच्छेदन नहीं है।

आदर्श का प्राथमिक अपघटन

माना $R$ नोथेरियन क्रमविनिमेय वलय हो। आदर्श $I$ का $R$ प्राथमिक आदर्श कहा जाता है यदि यह उचित आदर्श है और तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के लिए है $x$ और $y$ में $R$ ऐसा है कि $xy$ में है $I$, दोनों में से $x$ या कुछ शक्ति $y$ में है $I$; समतुल्य, भागफल वलय में प्रत्येक शून्य-भाजक $R/I$ शक्तिहीन है। प्राथमिक आदर्श के आदर्श का कट्टरपंथी $Q$ प्रमुख आदर्श और है $Q$ बताया गया ${\mathfrak {p}}$- के लिए प्राथमिक ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}$ है

माना $I$ में आदर्श बनो $R$. तब $I$ प्राथमिक आदर्शों में निरर्थक प्राथमिक अपघटन है:

$I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\$.

अतिरेक का अर्थ है:

• किसी को हटाना $Q_{i}$ प्रतिच्छेदन को बदलता है, अर्थात प्रत्येक के लिए $i$ अपने पास: $\cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}$.
• प्रमुख आदर्श ${\sqrt {Q_{i}}}$ सभी विशिष्ट हैं।

इसके अतिरिक्त, यह अपघटन दो तरह से अद्वितीय है:

• समुच्चय $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $I$, और
• अगर ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}$ उपरोक्त समुच्चय का न्यूनतम तत्व है, तो $Q_{i}$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $I$; वास्तव में, $Q_{i}$ की पूर्व छवि है $IR_{\mathfrak {p}}$ स्थानीयकरण मानचित्र के अंतर्गत $R\to R_{\mathfrak {p}}$.

प्राथमिक आदर्श जो गैर-न्यूनतम प्रमुख आदर्शों के अनुरूप हैं $I$ सामान्यतः अद्वितीय नहीं हैं (नीचे उदाहरण देखें)। अपघटन के अस्तित्व के लिए, नीचे संबद्ध अभाज्य संख्याओं से # प्राथमिक अपघटन देखें।

के तत्व $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ के प्रमुख विभाजक कहलाते हैं $I$ या प्राइम्स से संबंधित है $I$. मॉड्यूल सिद्धांत की भाषा में, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, समुच्चय $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ की संबद्ध अभाज्य संख्याओं का समुच्चय भी है $R$-मापांक $R/I$. स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि तत्व उपस्थित हैं $g_{1},\dots ,g_{n}$ में $R$ ऐसा है कि

${\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.$

शॉर्टकट के माध्यम से, कुछ लेखक संबद्ध अभाज्य कहते हैं $R/I$ बस संबद्ध प्रधान $I$ (ध्यान दें कि यह अभ्यास मॉड्यूल सिद्धांत में उपयोग के साथ संघर्ष करेगा)।

• के न्यूनतम तत्व $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ युक्त न्यूनतम प्रमुख आदर्श के समान हैं $I$ और पृथक अभाज्य कहलाते हैं।
• दूसरी ओर गैर-न्यूनतम तत्वों को एम्बेडेड प्राइम्स कहा जाता है।

पूर्णांकों की वलय के स्थिति में $\mathbb {Z}$, लस्कर-नोथेर प्रमेय अंकगणित के मौलिक प्रमेय के बराबर है। यदि पूर्णांक $n$ प्रधान गुणनखंड है $n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}$, फिर आदर्श का प्राथमिक अपघटन $\langle n\rangle$ द्वारा उत्पन्न $n$ में $\mathbb {Z}$, है।

$\langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .$

इसी तरह, अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में, यदि किसी तत्व का अभाज्य गुणनखंड है ${\displaystyle }$