प्रसंवादी फलन

एनुलस (गणित) पर परिभाषित एक प्रसंवादी फलन।

गणित में,गणितीय भौतिकी और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, एक प्रसंवादी फलन एक दो बार लगातार भिन्न होने वाला फलन (गणित) $f:U\to \mathbb {R}$ है। जहाँ U का खुला उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ है जो लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$

U पर हर जगह। यह सामान्यतः निम्न लिखा जाता है

$\nabla ^{2}f=0$

या

$\Delta f=0$

प्रसंवादी शब्द की व्युत्पत्ति

प्रसंवादी फलन नाम में निरुपक प्रसंवादी एक तनावयुक्त तंतु पर एक बिंदु से उत्पन्न होता है जो सरल प्रसंवादी गति से गुजर रहा है। इस प्रकार की गति के लिए अवकल समीकरण का हल द्विज्या और कोटिज्या के रूप में लिखा जा सकता है, ऐसे फलन जिन्हें प्रसंवादी कहा जाता है। फूरियर विश्लेषण में इन प्रसंवादी की एक श्रृंखला के संदर्भ में एकांक वृत्त पर कार्यों का विस्तार करना सम्मिलित है। इकाई n-वृत्त पर प्रसंवादी के उच्च आयामी सादृश्य को ध्यान में रखते हुए, एक गोलाकार प्रसंवादी पर आता है। ये फलन लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करते हैं और समय के साथ प्रसंवादी फलन लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण

दो चरों के प्रसंवादी फलन के उदाहरण हैं:

• किसी भी पूर्णसममितिक फलन के वास्तविक और काल्पनिक भाग।
• प्रकार्य $\,\!f(x,y)=e^{x}\sin y;$ यह उपरोक्त उदाहरण का एक विशेष मामला है, जैसे $f(x,y)=\operatorname {Im} \left(e^{x+iy}\right),$ और $e^{x+iy}$ एक पूर्णसममितिक फलन है।
• प्रकार्य $\,\!f(x,y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ पर परिभाषित $\mathbb {R} ^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace$। यह एक रेखा आवेश के कारण विद्युत क्षमता या लंबे बेलनाकार द्रव्यमान के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षमता का वर्णन कर सकता है।

नीचे दी गई तालिका में $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ के साथ तीन चर के प्रसंवादी कार्यों के उदाहरण दिए गए हैं:

फलन	विशिष्टता
${\frac {1}{r}}$	मूल बिंदु पर इकाई बिंदु प्रभार
${\frac {x}{r^{3}}}$	x-निर्देशित द्विध्रुवीय मूल में
$-\ln \left(r^{2}-z^{2}\right)\,$	संपूर्ण z-अक्ष पर इकाई आवेश घनत्व की रेखा
$-\ln(r+z)\,$	ऋणात्मक z-अक्ष पर इकाई आवेश घनत्व की रेखा
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	संपूर्ण z अक्ष पर x-निर्देशित द्विध्रुवों की रेखा
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	ऋणात्मक z अक्ष पर x-निर्देशित द्विध्रुवों की रेखा

भौतिकी में उत्पन्न होने वाले प्रसंवादी फलन उनकीगणितीय विलक्षणता और सीमा स्थितियों (जैसे डिरिचलेट सीमा स्थिति या न्यूमैन सीमा स्थिति) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। सीमाओं के बिना क्षेत्रों पर, किसी भी संपूर्ण कार्य के वास्तविक या काल्पनिक भाग को जोड़ने से समान विलक्षणता के साथ एक प्रसंवादी फलन उत्पन्न होगा, इसलिए इस मामले में प्रसंवादी फलन इसकी विलक्षणता से निर्धारित नहीं होता है; हालाँकि, हम भौतिक स्थितियों में समाधान को अद्वितीय बना सकते हैं, यह आवश्यक है कि समाधान 0 तक पहुँचता है क्योंकि r अनंत तक पहुँचता है। इस मामले में, विशिष्टता लिउविल के प्रमेय द्वारा अनुसरण करती है।

उपरोक्त प्रसंवादी कार्यों के एकल बिंदुओं को स्थिर विद्युतिकी की शब्दावली का उपयोग करके आवेश (भौतिकी) और आवेश घनत्व के रूप में व्यक्त किया जाता है, और इसलिए संबंधित प्रसंवादी फलन इन आवेश विभाजनों के कारण विद्युत क्षमता के समानुपाती होगा। उपरोक्त प्रत्येक फलन एक स्थिर, घुमाए गए, और/या निरंतर जोड़े जाने पर गुणा किए जाने पर एक और प्रसंवादी फलन उत्पन्न करेगा। प्रत्येक फलन के व्युत्क्रम की विधि से एक और प्रसंवादी फलन निकलेगा जिसमें विलक्षणताएं हैं जो एक गोलाकार दर्पण में मूल विलक्षणताओं की छवियां हैं। साथ ही, किसी भी दो प्रसंवादी कार्यों का योग एक और प्रसंवादी फलन उत्पन्न करेगा।

अंत में, प्रसंवादी कार्यों के उदाहरण n चर हैं:

• सभी $\mathbb {R} ^{n}$ पर स्थिर, रैखिक और सजातीय कार्य करता है (उदाहरण के लिए, संधारित्र की पट्टिका के बीच विद्युत क्षमता और खंड की गुरुत्वाकर्षण क्षमता )
• n > 2 के लिए $\mathbb {R} ^{n}\setminus \lbrace 0\rbrace$ पर प्रकार्य $f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)={({x_1}^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{x_{}}^{}}^{}$