पेडल वक्र

File:PedalConstruction.svg

P के संबंध में C के पेडल का ज्यामितीय निर्माण

गणित में, दिए गए वक्र का पेडल वक्र इस वक्र की स्पर्श रेखाओं पर निश्चित बिंदु के लंबकोणीय प्रक्षेपण से उत्पन्न होता है। अधिक स्पष्ट रूप से, समतल वक्र C और दिए गए निश्चित पेडल बिंदु P के लिए, C का पेडल वक्र बिंदु X का बिंदुपथ है जिससे रेखा PX बिंदु X से निकलने वाले वक्र के स्पर्शरेखा T के लंबवत हो। इसके विपरीत, वक्र C पर किसी भी बिंदु R पर, T को उस बिंदु R पर स्पर्श रेखा होने दें; तब स्पर्शरेखा T पर अद्वितीय बिंदु X होता है जो पेडल बिंदु P के साथ स्पर्शरेखा T के लंबवत रेखा बनाता है (विशेष स्थितियों के लिए जब निश्चित बिंदु P स्पर्शरेखा T पर स्थित है, तो बिंदु X और P संयोग करते हैं) - पेडल वक्र ऐसे बिंदु X का समुच्चय है, जिसे निश्चित बिंदु P से स्पर्शरेखा T के लंब के पाद कहा जाता है, क्योंकि चर बिंदु R वक्र C पर होता है।

पेडल कर्व को पूरक करते हुए, R पर C के सामान्य रेखा पर अद्वितीय बिंदु Y है, जिससे PY सामान्य के लंबवत हो, इसलिए PXRY (संभवतः पतित) आयत है। बिंदु Y के स्थान को कॉन्ट्रापेडल वक्र कहा जाता है।

एक वक्र का ऑर्थोटोमिक 2 के कारक द्वारा बढ़ाया गया पेडल है जिससे समानता का केंद्र P हो। यह स्पर्श रेखा T के माध्यम से P के प्रतिबिंब का बिंदुपथ है।

पेडल कर्व C1, C2, C3, आदि की श्रृंखला में पहला है, जहाँ C1, C का पेडल है, C2, C1 का पेडल है, इत्यादि। इस योजना में, C1 को C के पहले सकारात्मक पेडल के रूप में और C2 को C के दूसरे सकारात्मक पेडल के रूप में जाना जाता है। दूसरी दिशा में जाने पर, C, C1 का पहला और C2 का दूसरा नकारात्मक पेडल है।

समीकरण

कार्तीय समीकरण से

P को मूल मान लीजिए। तो समीकरण F(x, y)=0 द्वारा दिए गए वक्र के लिए,

यदि R=(x₀, y₀) पर स्पर्श रेखा का समीकरण इस रूप में लिखा गया है:

$\cos \alpha x+\sin \alpha y=p$

तो सदिश (cos α, sin α) खंड PX के समानांतर है, और PX की लंबाई, जो स्पर्शरेखा रेखा से मूल तक की दूरी है, जो की P है। तो X को ध्रुवीय निर्देशांक (p, α) द्वारा दर्शाया गया है और (p, α) को (r, θ) द्वारा प्रतिस्थापित करने से पेडल वक्र के लिए एक ध्रुवीय समीकरण उत्पन्न होता है।

File:PedalCurve1.gif

दीर्घवृत्त (काला) का पेडल वक्र (लाल) है। यहाँ a=2 और b=1 तो पेडल वक्र का समीकरण 4x²+y²=(x²+y²)² है।

उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त के लिए;

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

पर स्पर्शरेखा रेखा R=(x₀, और₀) है:

${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$

और इसे ऊपर दिए गए स्वरुप में लिखने की आवश्यकता है;

${\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}$

दीर्घवृत्त के लिए समीकरण का उपयोग x₀ और y₀ देने को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है;

$a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2}$

और (r, θ) में बदलने से प्राप्त होता है;

$a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2}$

पेडल के लिए ध्रुवीय समीकरण के रूप में।

यह आसानी से कार्टेशियन समीकरण में परिवर्तित हो जाता है;

$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}$

ध्रुवीय समीकरण से

P के लिए मूल और C ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में r = f(θ) द्वारा दिया गया है। माना, R=(r, θ) वक्र पर बिंदु और X=(p, α) पेडल वक्र पर संबंधित बिंदु बनता है। माना ψ स्पर्शरेखा रेखा और त्रिज्या सदिश के बीच के कोण को दर्शाता है, जिसे कभी-कभी ध्रुवीय स्पर्शरेखा कोण के रूप में जाना जाता है। अतः इसे प्रदर्शित किया जाता है;

$r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi$

तब

$p=r\sin \psi$

और

$\alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}$

इन समीकरणों का उपयोग p और α में समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जो r और θ में अनुवादित होने पर पेडल वक्र के लिए ध्रुवीय समीकरण देता है।

उदाहरण के लिए,

माना वक्र r = a cos θ द्वारा दिया गया वृत्त हो। तब;

$a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi$

इसलिए

$\tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta$

साथ ही ,

$p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}$

तो पेडल का ध्रुवीय समीकरण है

$r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}$

पेडल समीकरण से

वक्र और उसके पेडल के पेडल समीकरण निकट से संबंधित हैं। यदि P को पेडल बिंदु और मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि बिंदु R पर वक्र और त्रिज्या सदिश के बीच का कोण बिंदु X पर पेडल वक्र के संगत कोण के बराबर है। यदि p वक्र की स्पर्शरेखा (अर्थात् PX) पर P से खींचे गए लंब की लंबाई है और q, P से पेडल की स्पर्शरेखा पर खींचे गए संगत लंब की लंबाई है, तो समरूप त्रिभुजों द्वारा

${\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}$

यह तुरंत अनुसरण करता है कि यदि वक्र का पेडल समीकरण f(p,r)=0 है तो पेडल वक्र के लिए पेडल समीकरण है;

$f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0$

यदि वक्र का पेडल समीकरण ज्ञात हो तो इससे सभी सकारात्मक और नकारात्मक पेडल की गणना आसानी से की जा सकती है ।

पैरामीट्रिक समीकरणों से

File:PedalCurve3.gif

दीर्घवृत्त के विकास का पेडल: मूल दीर्घवृत्त के कॉन्ट्रापेडल के समान

माना;

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=$