पास्कल आव्यूह

गणित में, विशेष रूप से आव्यूह सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स में, पास्कल आव्यूह एक आव्यूह (संभवतः अनंत) होता है जिसमें इसके अवयवो के रूप में द्विपद गुणांक होते हैं। इस प्रकार यह आव्यूह रूप में पास्कल के त्रिकोण का एक एन्कोडिंग है। इसे प्राप्त करने के तीन प्राकृतिक विधि हैं: निचले-त्रिकोणीय आव्यूह , ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह , या सममित आव्यूह के रूप में उदाहरण के लिए, 5 × 5 आव्यूह हैं:

$$L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,$$

$$U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,$$

$$S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}=L_{5}\times U_{5}$$

ऐसे अन्य विधि हैं जिनसे पास्कल के त्रिकोण को आव्यूह रूप में रखा जा सकता है, किंतु इन्हें आसानी से अनंत तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है।

परिभाषा

पास्कल आव्यूह के गैर-शून्य तत्व द्विपद गुणांक द्वारा दिए गए हैं:

$$L_{ij}={i \choose j}={\frac {i!}{j!(i-j)!}},j\leq i$$

$$U_{ij}={j \choose i}={\frac {j!}{i!(j-i)!}},i\leq j$$

$$S_{ij}={i+j \choose i}={i+j \choose j}={\frac {(i+j)!}{i!j!}}$$

जैसे कि सूचकांक i, j 0 से प्रारंभ होते हैं, और ! फैक्टोरियल को दर्शाता है.

गुण

आव्यूहों का सुखद संबंध है S_n = L_nU_n इससे यह आसानी से देखा जा सकता है कि सभी तीन आव्यूहों का निर्धारक 1 है, क्योंकि एक त्रिकोणीय आव्यूह का निर्धारक केवल उसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है, जो L_n and U_n दोनों के लिए सभी 1 हैं। दूसरे शब्दों में, आव्यूह S_n, L_n, and U_n एकरूप हैं, L_n and U_n में ट्रेस n है।

S_n का निशान द्वारा दिया गया है

${\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}$

अनुक्रम 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... द्वारा दिए गए पहले कुछ शब्दों के साथ (sequence A006134 in the OEIS).

निर्माण

एक पास्कल आव्यूह का निर्माण वास्तव में एक विशेष उपविकर्ण या सुपरडायगोनल आव्यूह के आव्यूह घातांक को लेकर किया जा सकता है। नीचे दिया गया उदाहरण 7 × 7 पास्कल आव्यूह का निर्माण करता है, किंतु विधि किसी भी वांछित n × n पास्कल आव्यूह के लिए काम करती है। निम्नलिखित आव्यूह में बिंदु शून्य तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

$\begin{array}{ll}& L_7=\exp <!--\; \; -->([\begin{array}{ccccccc}.& .& .& .& .& .& .\\ 1& .& .& .& .& .& .\\ .& \end{array}\end{array}$