पर्याप्त आँकड़ा

सांख्यिकी में, सांख्यिकी सांख्यिकीय मॉडल और उससे जुड़े अज्ञात मापदंड के संबंध में पर्याप्त होता है यदि कोई अन्य सांख्यिकी जिसकी गणना उसी प्रतिरूप (सांख्यिकी) से नहीं की जा सकती है, मापदंड के मान के बारे में कोई अतिरिक्त जानकारी प्रदान करता है। विशेष रूप से, सांख्यिकी संभाव्यता वितरण के पैरामीट्रिक वर्ग के लिए पर्याप्त है यदि जिस प्रतिरूप से इसकी गणना की जाती है वह सांख्यिकी के अतिरिक्त कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं देता है, कि उन संभाव्यता वितरणों में से कौन सा प्रतिरूप वितरण है।

संबंधित अवधारणा रैखिक पर्याप्तता की है, जो पर्याप्तता से अशक्त है किन्तु इसे कुछ स्थितियों में प्रयुक्त किया जा सकता है जहां पर्याप्त सांख्यिकी नहीं हैं, चूँकि यह रैखिक अनुमानकों तक ही सीमित है। कोलमोगोरोव संरचना कार्य व्यक्तिगत परिमित डेटा से संबंधित है; संबंधित धारणा एल्गोरिथम पर्याप्त सांख्यिकी है।

यह अवधारणा 1920 में रोनाल्ड फिशर की देन है। स्Tफन स्टिगलर ने 1973 में उल्लेख किया था कि वितरणात्मक रूप की धारणा पर सशक्त निर्भरता के कारण वर्णनात्मक सांख्यिकी में पर्याप्तता की अवधारणा पक्ष से बाहर हो गई है (देखें xपोनेंशियल वर्ग या पिटमैन-कूपमैन- डार्मोइस प्रमेय नीचे), किन्तु सैद्धांतिक कार्य में बहुत महत्वपूर्ण रहा था।

पृष्ठभूमि

सामान्यतः, समुच्चय $\mathbf {X}$ दिया गया है अज्ञात मापदंड पर वातानुकूलित स्वतंत्र समान रूप से वितरित डेटा का $\theta$, पर्याप्त सांख्यिकी फलन $T(\mathbf {X} )$ है जिसके मान में मापदंड के किसी भी अनुमान की गणना करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी सम्मिलित है (उदाहरण के लिए अधिकतम संभावना अनुमान)। गुणनखंडन प्रमेय (फिशर-नेमैन गुणनखंडन प्रमेय) के कारण, पर्याप्त सांख्यिकी के लिए $T(\mathbf {X} )$, संभाव्यता घनत्व $f_{\mathbf {X} }(x)=h(x)\,g(\theta ,T(x))$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है . इस गुणनखंड से, यह सरलता से देखा जा सकता है कि अधिकतम संभावना का अनुमान $\theta$ है तथा $\mathbf {X}$ के साथ इंटरैक्ट करेंगे केवल अन्दर से $T(\mathbf {X} )$. सामान्यतः, पर्याप्त सांख्यिकी डेटा का सरल कार्य है, उदाहरण सभी डेटा बिंदुओं का योग उपयुक्त होता है.

अधिक सामान्यतः, अज्ञात मापदंड अज्ञात मात्राओं के यूक्लिडियन सदिश का प्रतिनिधित्व कर सकता है या मॉडल के बारे में सब कुछ का प्रतिनिधित्व कर सकता है जो अज्ञात है या पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं है। ऐसे स्थिति में, पर्याप्त सांख्यिकी कार्यों का समूह हो सकता है, जिसे संयुक्त रूप से पर्याप्त सांख्यिकी कहा जाता है। सामान्यतः, जितने मापदंड होते हैं उतने ही फलन होते हैं। उदाहरण के लिए, अज्ञात माध्य और विवेरिएबल ण वाले गाऊसी वितरण के लिए, संयुक्त रूप से पर्याप्त सांख्यिकी, जिससे दोनों मापदंडों की अधिकतम संभावना का अनुमान लगाया जा सकता है, इसमें दो फलन सम्मिलित हैं, सभी डेटा बिंदुओं का योग और सभी वर्ग डेटा बिंदुओं का योग (या समकक्ष, प्रतिरूप माध्य और प्रतिरूप विवेरिएबल ण) है।

दूसरे शब्दों में, 'डेटा का संयुक्त संभाव्यता वितरण मापदंड के लिए पर्याप्त सांख्यिकी के मान को देखते हुए मापदंड से नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र है।' सांख्यिकी और अंतर्निहित मापदंड दोनों सदिश हो सकते हैं।

गणितीय परिभाषा

सांख्यिकी t = T(X) 'अंतर्निहित मापदंड θ के लिए पर्याप्त' है, यदि डेटा X का नियमबद्ध संभाव्यता वितरण, सांख्यिकी t = T(X) दिया गया है, मापदंड θ पर निर्भर नहीं करता है। वैकल्पिक रूप से, कोई यह कह सकता है कि सांख्यिकी T(X) θ के लिए पर्याप्त है यदि θ के साथ इसकी पारस्परिक जानकारी X और θ के बीच पारस्परिक जानकारी के समान है। दूसरे शब्दों में, डेटा प्रोसेसिंग असमानता समानता बन जाती है:

$I{\bigl (}\theta ;T(X){\bigr )}=I(\theta ;X)$

उदाहरण

उदाहरण सामान्यतः, प्रतिरूप माध्य ज्ञात विवेरिएबल ण वाले सामान्य वितरण के माध्य (μ) के लिए पर्याप्त है। प्रतिरूप माध्य ज्ञात हो जाने पर, प्रतिरूप से μ के बारे में कोई और जानकारी प्राप्त नहीं की जा सकती है। दूसरी ओर, इच्छानुसार वितरण के लिए माध्य माध्य के लिए पर्याप्त नहीं है: तथापि प्रतिरूप का माध्य ज्ञात होता है, प्रतिरूप जानने से ही जनसंख्या माध्य के बारे में अधिक जानकारी मिल जाती है। उदाहरण के लिए, यदि माध्यिका से कम प्रेक्षण केवल थोड़े कम हैं, किन्तु माध्यिका से अधिक होने वाले प्रेक्षण इससे बड़ी मात्रा में अधिक हैं, तो इसका जनसंख्या माध्य के बारे में किसी के अनुमान पर प्रभाव पड़ता है।

फिशर-नेमैन गुणनखंडन प्रमेय

रोनाल्ड फिशर का गुणनखंडन प्रमेय या गुणनखंडन मानदंड पर्याप्त सांख्यिकी का सुविधाजनक 'लक्षणीकरण' प्रदान करता है। यदि संभाव्यता घनत्व फलन ƒ_θ(x) है, जिससे T, θ के लिए पर्याप्त है यदि और केवल यदि गैर-ऋणात्मक फलन g और h को ऐसे पाया जा सकता है कि

$f_{\theta }(x)=h(x)\,g_{\theta }(T(x)),$

अर्थात घनत्व ƒ को उत्पाद में इस तरह से विभाजित किया जा सकता है कि कारक, H, θ पर निर्भर नहीं होता है और दूसरा कारक, जो θ पर निर्भर करता है, केवल T(x) के माध्यम से x पर निर्भर करता है। इसका सामान्य प्रमाण हैल्मोस और सैवेज ने दिया था और प्रमेय को कभी-कभी हेल्मोस-सैवेज गुणनखंडन प्रमेय के रूप में जाना जाता है। नीचे दिए गए प्रमाण विशेष स्थितियों को संभालते हैं, किन्तु उसी पंक्तियां पर वैकल्पिक सामान्य प्रमाण भी दिया जा सकता है। यह देखना आसान है कि यदि F(t) वन-से-वन फलन है और T पर्याप्त है सांख्यिकी, तो F(T) पर्याप्त सांख्यिकी है। विशेष रूप से हम a को गुणा कर सकते हैं गैर शून्य स्थिरांक द्वारा पर्याप्त सांख्यिकी और अन्य पर्याप्त सांख्यिकी प्राप्त करते है।

संभावना सिद्धांत व्याख्या

प्रमेय का निहितार्थ यह है कि संभावना-आधारित अनुमान का उपयोग करते समय, पर्याप्त सांख्यिकी T (x) के लिए समान मान उत्पन्न करने वाले डेटा के दो समुच्चय सदैव θ के बारे में समान अनुमान उत्पन्न करते है। गुणनखंडन मानदंड के अनुसार, θ पर संभावना की निर्भरता केवल T(X) के संयोजन में है। चूँकि यह दोनों स्थितियों में समान है, θ पर निर्भरता भी समान होगी, जिससे समान निष्कर्ष निकलते है।

प्रमाण

हॉग और क्रेग के कारण. मान लीजिए $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$, ι < θ < δ के लिए संभाव्यता घनत्व फलन f(x, θ) वाले वितरण से यादृच्छिक प्रतिरूप निरूपित करें। माना Y₁= I₁(x₁, x₂, ..., x_n) सांख्यिकी बनें जिसका पीडीएफ g₁ है (y₁; θ). हम जो सिद्ध करना चाहते हैं वह यह है कि Y₁= I₁(x₁, x₂, ..., x_n) θ के लिए पर्याप्त सांख्यिकी है यदि और केवल यदि, किसी फलन H के लिए है

$\prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\theta \right]H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$

सबसे पहले, मान लीजिए

$\prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\theta \right]H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$

हम परिवर्तन करेंगे y_i= I_i(x₁, x₂, ..., x_n), i = 1, ..., n के लिए, जिसमें व्युत्क्रम फलन x_i= w_i(y₁, y₂, ..., y_n), i = 1, ..., n है, और जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक के लिए $J=\left[w_{i}/y_{j}\right]$. इस प्रकार,

$\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}f[{}_{}$