पथ-आदेश

This article is about भौतिकी में ऑपरेटरों के उत्पाद को पुनर्व्यवस्थित करना. For गणितीय शब्दों पर अच्छी व्यवस्था, see पथ क्रमांक (शब्द पुनर्लेखन).

सैद्धांतिक भौतिकी में, पथ-क्रमांक प्रक्रिया (या मेटा-ऑपरेटर ${\mathcal {P}}$) है, जो चुने हुए मापांक के मान के अनुसार ऑपरेटरों के उत्पाद का क्रमांक देता है:

${\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).$

यहाँ p क्रमचय है, जो मापांक को मान के आधार पर क्रमित करता है:

$p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}$

$\sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.$

उदाहरण के लिए:

${\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).$

उदाहरण

यदि ऑपरेटर (भौतिकी) को केवल उत्पाद के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है, लेकिन किसी अन्य ऑपरेटर के कार्य के रूप में, हमें पहले इस फलन का टेलर विस्तार करना होगा। यह विल्सन लूप की स्थिति है, जिसे पथ-क्रमांकित घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे यह सुनिश्चित किया जा सके कि विल्सन लूप गेज कनेक्शन की पवित्रता को कूटबद्ध करता है। मापांक σ जो क्रम को निर्धारित करता है, समोच्च एकीकरण का वर्णन करने वाला मापांक है, और क्योंकि समोच्च बंद है, गेज-इनवेरिएंट होने के लिए विल्सन लूप को ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।

समय क्रमांक

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में ऑपरेटरों के समय-क्रमांकित उत्पाद को लेना उपयोगी होता है। इस ${\mathcal {T}}$ ऑपरेशन द्वारा दर्शाया गया है। (यद्यपि ${\mathcal {T}}$ अधिकांशतः समय-क्रम ऑपरेटर कहा जाता है, द्रढ़ता से बोलना न तो स्थितिओं पर रैखिक ऑपरेटर है और न ही ऑपरेटरों पर सुपरऑपरेटर है।)

दो ऑपरेटरों A(x) और B(y) के लिए जो स्पेसटाइम स्थानों x और y पर निर्भर करते हैं, हम परिभाषित करते हैं:

${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}$

यहाँ $\tau _{x}$ और $\tau _{y}$ बिंदु x और y के अपरिवर्तनीय अदिश समय-निर्देशांक को निरूपित करेंगे।

स्पष्ट रूप से हमारे पास है

${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),$