पतित शंकु

पतित शांकव
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ज्यामिति में, एक पतित शंकु (डिग्री समतल वक्र, डिग्री के बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित) होती है जो कि एक अलघुकरणीय वक्र होने में विफल है। इसका मतलब यह है कि परिभाषित समीकरण दो रैखिक बहुपदों के उत्पाद के रूप में जटिल संख्याओं (या सामान्यत: बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर) एक कारक है।^{[note 1]} समतल और दोहरे शंकु (ज्यामिति) के त्रि-आयामी स्थान में चौराहे के रूप में शंकु की वैकल्पिक परिभाषा का उपयोग करते हुए, एक शंकु पतित हो जाता है यदि विमान शंकु के शीर्ष से होकर जाता है।

वास्तविक तल में, एक पतित शंकु दो रेखाएँ हो सकती हैं या समानांतर हो सकती हैं या नहीं भी हो सकती हैं, एक एकल रेखा (या तो दो संयोग रेखाएँ या एक अनंत रेखा), पर एक बिंदु (वास्तव में, दो जटिल संयुग्मित रेखाएँ), या दो समानांतर जटिल संयुग्म रेखाएँ) हो सकती हैं।

ये सभी पतित शंकु शांकवों की पेंसिलों (गणित) में हो सकते हैं अर्थात्, यदि दो वास्तविक गैर-अपभ्रष्ट शांकवों को द्विघात बहुपद समीकरणों f = 0 और g = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता तो समीकरणों के शंकु $af + bg = 0$ एक पेंसिल बनाते हैं, जिसमें एक या तीन पतित शांकव होते हैं। वास्तविक तल में किसी भी पतित शंकु के लिए,f और g को चुना जा सकता है ताकि दिया गया पतित शंकु उस पेंसिल से संबंधित हो जिसे वे निर्धारित करते हैं।

उदाहरण

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वृत्तों की पेंसिलें: लाल वृत्तों की पेंसिलों में, एकमात्र पतित शंकु क्षैतिज अक्ष है; नीले वृत्तों की पेंसिल में तीन पतित शंकु, ऊर्ध्वाधर अक्ष और शून्य त्रिज्या के दो वृत्त हैं।

समीकरण वाला शांकव खंड $x^{2}-y^{2}=0$ पतित है चूंकि इसके समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है $(x-y)(x+y)=0$ , और एक X बनाने वाली दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से मेल खाती है। यह पतित शंकु सीमा स्थितियों के रूप में होता है $a=1,b=0$ समीकरणों के अतिपरवलयों की पेंसिल (गणित) में $a(x^{2}-y^{2})-b=0.$ लिमिटिंग केस $a=0,b=1$ एक पतित शंकु का उदाहरण है जिसमें अनंत पर दो रेखा होती है।

इसी प्रकार, समीकरण $x^{2}+y^{2}=0$ ,जिसमें केवल एक वास्तविक बिंदु है, के साथ शांकव खंड पतित है, जैसा कि $x^{2}+y^{2}$ फैक्टरेबल है क्योंकि $(x+iy)(x-iy)$ सम्मिश्र संख्याओं पर। शंकु में इस प्रकार दो जटिल संयुग्मी रेखाएँ होती हैं जो शंकु के अद्वितीय वास्तविक बिंदु, $(0,0)$ में प्रतिच्छेद करती हैं।

समीकरणों के दीर्घवृत्त की पेंसिल $ax^{2}+b(y^{2}-1)=0$ पतित, के लिए $a=0,b=1$ , दो समानांतर रेखाओं में और, $a=1,b=0$ , एक दोहरी रेखा में।

समीकरणों के हलो की पेंसिल $a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0$ के लिए $a=0$ दो पंक्तियों, अनंत पर रेखा और समीकरण की रेखा $x=0$ में पतित हो जाता है।

वर्गीकरण

जटिल प्रक्षेपी तल पर केवल दो प्रकार के पतित शंकु होते हैं - दो अलग-अलग रेखाएँ, जो अनिवार्य रूप से एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या एक दोहरी रेखा। किसी भी पतित शंकु को प्रक्षेपी रूपांतरण द्वारा उसी प्रकार के किसी अन्य पतित शंकु में रूपांतरित किया जा सकता है।

वास्तविक संबंध तल पर स्थिति अधिक जटिल है। एक पतित वास्तविक शंकु हो सकता है:

दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ, जैसे $x^{2}-y^{2}=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0$
दो समानांतर रेखाएँ, जैसे $x^{2}-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0$
एक दोहरी रेखा (बहुलता 2), जैसे $x^{2}=0$
दो अन्तर्विभाजक जटिल संयुग्म रेखाएँ (केवल एक वास्तविक बिंदु), जैसे $x^{2}+y^{2}=0\Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0$
दो समानांतर जटिल संयुग्मी रेखाएँ (कोई वास्तविक बिंदु नहीं), जैसे $x^{2}+1=0\Leftrightarrow (x+i)(x-i)=0$
एक एकल रेखा और अनंत पर रेखा
अनंत पर दो बार रेखा (एफ़िन विमान में कोई वास्तविक बिंदु नहीं)