नॉनफर्स्टऑर्डरिज़ेबिलिटी

औपचारिक तर्क में, गैर प्रथमक्रमिकता (नॉनफर्स्टऑर्डरिजेबिलिटी) का अर्थ है कि किसी प्राकृतिक भाषा के कथन को प्रथम-क्रम तर्क के सूत्रों द्वारा पूर्ण रूप से आवश्यक नहीं माना जा सकता है। विशेष रूप से, यदि कोई कथन एक ऐसे सूत्र के रूप में व्यक्त किया जाता है जो प्रथम-क्रमिक तर्क एक प्रारूप सिद्धांत मे सत्य होता है, तो वह कथन नॉनफर्स्टऑर्डराइजेबल है। नॉनफर्स्टऑर्डरिज़ेबिलिटी को कुछ समयों तक पहले-क्रमिक तर्क की पर्याप्तता को पकड़ने के लिए प्रस्तुत किया जाता है, जो प्राकृतिक भाषा में अर्थ के विविधताओं को समझने के लिए पर्याप्त नहीं है।

इस शब्द को जॉर्ज बूलोस ने अपने लेख 'टू बी इज टू बी ए वैल्यू ऑफ ए वेरिएबल" में उपयोग किया था।

क्विन ने तर्क दिया कि कि ऐसे वाक्यों को द्वितीय-क्रमिक प्रतीकीकरण की आवश्यकता होती है, जो पहले-क्रमिक परिमाणकरणों के द्वारा उपयोग किए जाने वाले क्षेत्र पर अनेक परिमाणकरण के रूप में व्याख्या की जा सकती है, बिना अलग "द्वितीय-क्रमिक वस्तुओं" की प्रतिपादन किए।

उदाहरण

गीच-कपलान वाक्य

एक मानक उदाहरण पीटर गीच-डेविड कपलान (दार्शनिक) वाक्य है: कुछ आलोचक केवल एक दूसरे की प्रशंसा करते हैं। यदि Axy का मतलब यह समझा जाता है कि x, y की प्रशंसा करता है, और चर्चा का विश्व विचार आलोचकों का समूह है, तो इस वाक्य का द्वितीय-क्रमिक तर्क में समर्थनीय अनुवाद होगा:

$$\exists X(\exists x,y(Xx\land Xy\land Axy)\land \exists x\neg Xx\land \forall x\,\forall y(Xx\land Axy\rightarrow Xy))$$

इसे एक अंकगणित की भाषा में रूपांतरित करके देखा जाए तो प्राथमिक-क्रमिक समतुल्य इसका कोई सूत्र नहीं है।Axy के लिए (y = x + 1 v x = y + 1) को प्रतिस्थापित करें। तो परिणाम होगा,

$$\exists X(\exists x,y(Xx\land Xy\land (y=x+1\lor x=y+1))\land \exists x\neg Xx\land \forall x\,\forall y(Xx\land (y=x+1\lor x=y+1)\rightarrow Xy))$$

बताता है कि इन गुणों के साथ एक समुच्चय X है

• X में कम से कम दो संख्याएँ है।
• एक संख्या है जो X से संबंधित नहीं है, अर्थात X में सभी संख्याएँ सम्मिलित नहीं हैं।
• यदि कोई संख्या x, X से संबंधित है और y, x + 1 या x - 1 है, तो y भी X से संबंधित है।

औपचारिक गणितीय सिद्धांत के प्रारूप को, जैसे पहले-क्रमिक पियानो गणित, "मानक" कहा जाता है यदि इसमें केवल परिचित प्राकृतिक संख्याओं 0, 1, 2, ... को मूल रूप में सम्मिलित किया जाता है, अन्यथा यह प्रारूप "गैर-मानक" कहलाता है। इसलिए, ऊपर दिए गए सूत्र केवल गैर-मानक प्रारूप में ही सत्य होता है, क्योंकि मानक प्रारूप में समुच्चय X में सभी उपलब्ध संख्याएं 0, 1, 2, ... होनी चाहिए। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक गैर-मानक प्रारूप में दिए गए सूत्र को पूरा करने वाला एक समुच्चय X उपस्थित होता है।

आइए मान लें कि उपरोक्त सूत्र का पहले-क्रमिक रूप E है। यदि पियानो अभिकरणों में ¬E जोड़ा जाए, तो इसका अर्थ होगा कि आगगभूत अभिकरणों के कोई गैर-मानक प्रारूप नहीं है। यद्यपि, गैर-मानक प्रारूपो की उपस्थिति के लिए सामान्य युक्तिसंगत आरोप अभी भी प्रभावी रहेगा, जिससे प्रमाणित होगा कि अंततः गैर-मानक प्रारूप होते हैं। यह एक विरोध है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पहले-क्रमिक तर्क में ऐसा कोई सूत्र E उपस्थित नहीं है।

क्षेत्र की परिमितता

पहले-क्रमिक तर्क में समानता के साथ ऐसा कोई सूत्र A नहीं है जो सभी और केवल सीमित क्षेत्र वाले प्रारूपों के लिए सत्य हो। दूसरे शब्दों में, ऐसा कोई प्रथम-क्रम सूत्र नहीं है जो व्यक्त कर सके कि वस्तुओ की केवल एक सीमित संख्या है।

यह सघनता प्रमेय के सिद्धांत द्वारा इस प्रकार से अनुमानित होती है। मान लें कि एक ऐसा सूत्र A है जो केवल सीमित क्षेत्र वाले सभी प्रारूपों में सत्य है। हम, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, "क्षेत्र में कम से कम n तत्व हैं" का वाक्य व्यक्त कर सकते हैं। एक दिए गए n के लिए, न्यूनतम n तत्व होने का सूत्र B_n व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, सूत्र B₃ है:

$$\exists x\exists y\exists z(x\neq y\wedge x\neq z\wedge y\neq z)$$

जो व्यक्त करता है कि क्षेत्र में कम से कम तीन अलग-अलग तत्व हैं। क्षेत्र में कम से कम n तत्वों का अर्थ व्यक्त करने के लिए वाक्यांश सूत्रों की असीमित संख्या का विचार करें:

$$A,B_{2},B_{3},B_{4},\ldots$$

इन सूत्रों के प्रत्येक सीमित उपसंचय का एक प्रारूप होता है: एक उपसमुच्चय दिया गया हो, तो सबसे अधिक n ढूंढें जिसके लिए सूत्र B_n उपसमुच्चय में है। तब n तत्वों को सम्मिलित करने वाला एक प्रारूप A को पूरा करेगा और उपसमुच्चय में सम्मिलित सभी B सूत्रों को भी पूरा करेगा। संकुचितता सिद्धांत को लागू करके, पूरा असीमित समुच्चय भी एक प्रारूप होना चाहिए।

हमारे द्वारा A के बारे में किये गए अनुमान के कारण, मॉडल सीमित होना चाहिए। यद्यपि, यह प्रारूप सीमित नहीं हो सकता है, क्योंकि यदि प्रारूप के केवल m तत्व होते हैं, तो यह सूत्र B_m+1 को पूरा नहीं करेगा। यह विरोध हमें दिखाता है कि हमारे द्वारा माना गया विशेषता वाला कोई सूत्र A नहीं हो सकता।

अन्य उदाहरण

• इकाई की अवधारणा को प्रथम-क्रम की भाषाओं में परिभाषित नहीं किया जा सकता है, केवल अविभेद्यता हो सकती है।
• आर्किमिडीज़ गुण वह गुण है जो वास्तविक संख्याओं को अन्य वास्तविक बंद क्षेत्रों से अलग करने में मदद कर सकता है।
• सघनता प्रमेय का तात्पर्य है कि ग्राफ कनेक्टिविटी को प्रथम-क्रम तर्क में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

• परिभाषित सेट
• शाखा परिमाणक
• सामान्यीकृत परिमाणक
• बहुवचन परिमाणीकरण
• संशोधन (भाषाविज्ञान)

बाहरी संबंध

• Printer-friendly CSS, and nonfirstorderisability by Terence Tao