निश्चित वर्णन

भाषा के औपचारिक शब्दार्थ और दर्शन में, एक निश्चित विवरण "X " के रूप में एक सूचक वाक्यांश है जहां X एक संज्ञा-वाक्यांश या एकवचन सामान्य संज्ञा है। यदि X किसी अद्वितीय व्यक्ति या वस्तु पर प्रयुक्त होता है तो निश्चित विवरण उचित है। उदाहरण के लिए: "अंतरिक्ष में जाने वाला पहला व्यक्ति" और "संयुक्त राज्य अमेरिका के 42वें राष्ट्रपति", उचित हैं। निश्चित विवरण "अंतरिक्ष में व्यक्ति" और "ओहियो से सीनेटर" अनुचित हैं क्योंकि संज्ञा वाक्यांश X एक से अधिक चीजों पर प्रयुक्त होता है, और निश्चित विवरण "मंगल ग्रह पर पहला आदमी" और "किसी देश से सीनेटर" हैं अनुचित क्योंकि X किसी भी चीज़ पर प्रयुक्त नहीं होता है। अनुचित विवरण बहिष्कृत मध्य, संकेतन, कार्य प्रणाली और मानसिक सामग्री के नियम के बारे में कुछ कठिन प्रश्न उठाते हैं।

रसेल का विश्लेषण

Main article: विवरण का सिद्धांत

चूंकि फ्रांस फ्रांसीसी पांचवां गणराज्य है, इसका कोई राजा नहीं है। बर्ट्रेंड रसेल ने बताया कि इससे इस वाक्य के सत्य मूल्य के बारे में एक पहेली खड़ी हो जाती है कि फ्रांस का वर्तमान राजा निरर्थक है।

यह वाक्य सत्य प्रतीत नहीं होता है: यदि हम सभी निरर्थक चीजों पर विचार करें, तो फ्रांस के वर्तमान राजा उनमें से नहीं हैं, क्योंकि फ्रांसीसी राजाओं की सूची है। किंतु यदि यह गलत है, तो कोई यह उम्मीद कर सकता है कि इस कथन का खंडन, अथार्त , ऐसा नहीं है कि फ्रांस के वर्तमान राजा निरर्थक हैं, या इसकी तार्किक समकक्षता, फ्रांस के वर्तमान राजा निरर्थक नहीं हैं, यह सच है . किंतु यह वाक्य भी सच नहीं लगता: फ्रांस का वर्तमान राजा उन चीजों में से नहीं है जो निरर्थक होने में विफल रहती हैं, किंतु उन चीजों में से हैं जो निरर्थक हैं। इसलिए हमें बहिष्कृत मध्य के नियम का उल्लंघन प्रतीत होता है।

तो क्या यह अर्थहीन है? कोई ऐसा मान सकता है (और कुछ दार्शनिकों ने ऐसा माना है) चूंकि फ्रांस के वर्तमान राजा निश्चित रूप से उल्लेख करने में विफल रहते हैं। किंतु दूसरी ओर, यह वाक्य कि फ्रांस का वर्तमान राजा निरर्थक है (साथ ही इसका खंडन भी) पूरी तरह से समझने योग्य लगता है, जिससे पता चलता है कि फ्रांस का वर्तमान राजा निरर्थक नहीं हो सकता है।

रसेल ने अपने विवरण के सिद्धांत के माध्यम से इस पहेली को हल करने का प्रस्ताव रखा है। उन्होंने सुझाव दिया कि फ्रांस के वर्तमान राजा जैसा एक निश्चित विवरण, एक संदर्भ अभिव्यक्ति नहीं है, जैसा कि हम भोलेपन से मान सकते हैं, किंतु एक अधूरा प्रतीक है जो परिमाणक (तर्क) संरचना को उन वाक्यों में प्रस्तुत करता है जिनमें यह होता है। उदाहरण के लिए, फ्रांस का वर्तमान राजा निरर्थक है, इस वाक्य का विश्लेषण निम्नलिखित तीन क्वांटिफायर (तर्क) कथनों के संयोजन के रूप में किया गया है:

1. एक x ऐसा है कि x वर्तमान में फ़्रांस का राजा है $\exists xKx$ ('x वर्तमान में फ़्रांस का राजा है' के लिए 'Kx' का प्रयोग करें)
2. किसी भी x और y के लिए, यदि x वर्तमान में फ़्रांस का राजा है और y वर्तमान में फ़्रांस का राजा है, तो x=y (अथार्त अधिकतम एक चीज़ है जो वर्तमान में फ़्रांस का राजा है): $\forall x\forall y((Kx\land Ky)\rightarrow x=y)$
3. प्रत्येक x के लिए जो वर्तमान में फ्रांस का राजा है, जहाँ x निरर्थक है: $\forall x(Kx\rightarrow Bx)$ ('निरर्थक' के लिए 'B' का प्रयोग)

अधिक संक्षेप में कहें तो, प्रमाण यह है कि फ़्रांस का वर्तमान राजा निरर्थक है, कहता है कि कुछ x ऐसे हैं कि x वर्तमान में फ़्रांस का राजा है, और कोई भी y वर्तमान में फ़्रांस का राजा केवल तभी है जब y = x, और वह x निरर्थक है:

$\exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)$

यह ग़लत है, क्योंकि ऐसा नहीं है कि कुछ x वर्तमान में फ्रांस के राजा हैं।

इस वाक्य का खंडन, अर्थात् फ़्रांस का वर्तमान राजा निरर्थक नहीं है,यह अस्पष्ट है। इसका अर्थ दो चीजों में से एक हो सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि हम 'नहीं' का निषेध कहां करते हैं। एक बार पढ़ने पर, इसका अर्थ यह हो सकता है कि वर्तमान में फ्रांस का राजा और निरर्थक कोई नहीं है:

$\lnot \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)$

इस असंबद्धता पर, वाक्य सत्य है (क्योंकि वास्तव में कोई x नहीं है जो वर्तमान में फ्रांस का राजा है)।

दूसरी बार पढ़ने पर, निषेध को सीधे 'निरर्थक' से जोड़कर समझा जा सकता है, जिससे वाक्य का अर्थ हो कि वर्तमान में फ्रांस का एक राजा है, किंतु यह राजा निरर्थक होने में विफल रहता है:

$\exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land \lnot Bx)$

इस असंबद्धता पर, वाक्य गलत है (क्योंकि कोई x नहीं है जो वर्तमान में फ्रांस का राजा है)।

इस प्रकार, फ्रांस के वर्तमान राजा निरर्थक नहीं हैं, यह सत्य है या असत्य, यह इस बात पर निर्भर करता है कि तार्किक रूप के स्तर पर इसकी व्याख्या कैसे की जाती है: यदि निषेध को व्यापक सीमा में लिया जाता है (जैसा कि उपरोक्त में से पहले में है), तो यह सत्य है , जबकि यदि निषेध को संकीर्ण सीमा के रूप में माना जाता है (जैसा कि उपरोक्त दूसरे में है), तो यह गलत है। किसी भी स्थिति में इसमें सत्य मूल्य का अभाव नहीं है।

इसलिए हमारे पास बहिष्कृत मध्य के नियम की विफलता नहीं है: फ्रांस का वर्तमान राजा निरर्थक है (अथार्त ) $\exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)$) गलत है, क्योंकि फ्रांस का कोई वर्तमान राजा नहीं है।

इस कथन का निषेध वह है जिसमें 'नहीं' का व्यापक सीमा है: $\lnot \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)$. यह कथन सत्य है क्योंकि ऐसी कोई भी चीज़ अस्तित्व में नहीं है जो वर्तमान में फ्रांस का राजा हो।

सामान्यीकृत परिमाणक विश्लेषण

स्टीफन नील, दूसरों के बीच, रसेल के सिद्धांत का बचाव किया है, और इसे सामान्यीकृत क्वांटिफायर के सिद्धांत में सम्मिलित किया है। इस दृष्टिकोण पर, 'द' एक मात्रात्मक निर्धारक है जैसे 'कुछ', 'प्रत्येक', 'सबसे' आदि। निर्धारक 'द' का निम्नलिखित अर्थ है (लैम्ब्डा कैलकुलस नोटेशन का उपयोग करके):

$\lambda f.\lambda g.\exists x(f(x)=1\land \forall y(f(y)=1\rightarrow y=x)\land g(x)=1)$

(अर्थात, निश्चित लेख 'द' एक फ़ंक्शन को दर्शाता है जो गुण की एक जोड़ी लेता है f और g सत्य के लिए यदि और केवल यदि और केवल यदि, कुछ ऐसा उपस्थित है जिसमें गुण f है , केवल एक ही वस्तु का गुण f, होता है और उस चीज़ का गुण g भी होता है .) 'फ्रांस के वर्तमान राजा' (फिर से) विधेय (गणितीय तर्क) के अर्थ को देखते हुए K संक्षेप में) और 'निरर्थक'(संक्षेप में B) विधेय के अर्थ को देखते हुए

$\lambda x.Kx$

$\lambda x.Bx$

इसके बाद हम फ़ंक्शन अनुप्रयोग के दो चरणों के माध्यम से रसेलियन सत्य की स्थिति प्राप्त करते हैं: 'फ्रांस का वर्तमान राजा निरर्थक है' यह सत्य है, और केवल यदि, $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x((Kx\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y($