निर्वचन (तर्क)

For other uses, see व्याख्या (बहुविकल्पी).

व्याख्या औपचारिक भाषा के प्रतीक (औपचारिक) के अर्थ का अभिहस्तांकन है। गणित, तर्क शास्त्र और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग की जाने वाली अनेक औपचारिक भाषाओं को केवल वाक्य-विन्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है, और जब तक उन्हें कुछ व्याख्या नहीं दी जाती है, तब तक उनका अन्य अर्थ नहीं होता है। औपचारिक भाषाओं की व्याख्याओं के सामान्य अध्ययन को औपचारिक शब्दार्थ (तर्क) कहा जाता है।

सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले औपचारिक लॉजिक्स प्रस्तावात्मक तर्क, विधेय तर्क और उनके मॉडल तर्क एनालॉग हैं, और इनके लिए व्याख्या प्रस्तुत करने की मानक विधि हैं। इन संदर्भों में व्याख्या ऐसा कार्य (गणित) है जो किसी वस्तु भाषा के प्रतीकों और प्रतीकों के तार का विस्तार (विधेय तर्क) प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, व्याख्या फलन T ("लंबा" के लिए) विधेय ले सकता है और इसे विस्तार {a} ("अब्राहम लिंकन" के लिए) निर्दिष्ट कर सकता है। ध्यान दें कि हमारी सभी व्याख्या अन्य-तार्किक स्थिरांक T के लिए {a} का विस्तार प्रदान करती है, और इस विषय में अन्य प्रमाणित नहीं करती है कि क्या T लंबा है और 'a' अब्राहम लिंकन के लिए है, न ही तार्किक व्याख्या में 'और', 'या' और 'नहीं' जैसे तार्किक संयोजकों के बारे में कुछ कहना है। चूँकि हम इन प्रतीकों को कुछ चीजों या अवधारणाओं के लिए खड़े होने के लिए ले सकते हैं, यह व्याख्या फलन द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है।

व्याख्या अधिकांशतः (लेकिन सदैव नहीं) भाषा में वाक्य (गणितीय तर्क) के सत्य मानों को निर्धारित करने की विधि प्रदान करती है। यदि दी गई व्याख्या किसी वाक्य या सिद्धांत (गणितीय तर्क) के लिए सही मान प्रदान करती है, तो व्याख्या को उस वाक्य या सिद्धांत का मॉडल (मॉडल सिद्धांत) कहा जाता है।

औपचारिक भाषाएँ

Main article: औपचारिक भाषा

औपचारिक भाषा में संभवतः अक्षरों या प्रतीकों के निश्चित समुच्चय से निर्मित वाक्यों के अनंत समुच्चय (विभिन्न प्रकार के शब्द या उत्तम प्रकार से गठित सूत्र कहलाते हैं) होते हैं। जिस सूची से इन अक्षरों को लिया जाता है उसे वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) कहा जाता है, जिस पर भाषा परिभाषित होती है। प्रतीकों की तारों को पृथक करने के लिए जो औपचारिक भाषा में प्रतीकों की इच्छानुसार तारों से हैं, पूर्व को कभी-कभी उत्तम प्रकार से गठित सूत्र (wff) कहा जाता है। औपचारिक भाषा की आवश्यक विशेषता यह है कि इसके वाक्य-विन्यास को व्याख्या के संदर्भ के बिना परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि (P या Q) यह जाने बिना भी उत्तम प्रकार से गठित सूत्र है कि यह सत्य है या गलत है।

उदाहरण

औपचारिक भाषा को ${\mathcal {W}}$ से परिभाषित किया जा सकता है

वर्णमाला $\alpha =\{\triangle ,\square \}$, और शब्द अंदर होने के साथ ${\mathcal {W}}$ से प्रारंभ होता है $\triangle$ प्रतीकों $\triangle$ और $\square$ से बना है।

संभावित व्याख्या ${\mathcal {W}}$ दशमलव अंक '1' को निर्दिष्ट कर सकता है $\triangle$ और '0' से $\square$. तब $\triangle \square \triangle$ की इस व्याख्या के अनुसार 101 को निरूपित करेगा ${\mathcal {W}}$.

तार्किक स्थिरांक

प्रस्तावपरक तर्क और विधेय तर्क की विशिष्ट स्थितियों में, मानी जाने वाली औपचारिक भाषाओं में अक्षर होते हैं जो दो समुच्चयों में विभाजित होते हैं: तार्किक प्रतीक (तार्किक स्थिरांक) और अन्य-तार्किक प्रतीक। इस शब्दावली के पीछे विचार यह है कि तार्किक प्रतीकों का अध्ययन की जा रही विषय वस्तु की परवाह किए बिना समान अर्थ होता है, जबकि अन्य-तार्किक प्रतीकों का अर्थ परीक्षण के क्षेत्र के आधार पर परिवर्तित हो जाता है।

मानक प्रकार की प्रत्येक व्याख्या द्वारा तार्किक स्थिरांकों को सदैव समान अर्थ दिया जाता है, जिससे कि अन्य-तार्किक प्रतीकों के अर्थ परिवर्तित हो जाते हैं। तार्किक स्थिरांक में परिमाणक प्रतीक ∀ ("सभी") और ∃ ("कुछ"), तार्किक संयोजक के लिए प्रतीक ∧ ("और"), ∨ ("या"), ¬ ("नहीं"), कोष्ठक और अन्य समूहीकरण प्रतीक सम्मिलित हैं, और (अनेक उपचारों में) समानता प्रतीक = है।

सत्य-कार्यात्मक व्याख्याओं के सामान्य गुण

सामान्यतः पढ़ी जाने वाली अनेक व्याख्याएं प्रत्येक वाक्य को औपचारिक भाषा में सत्य मान के साथ जोड़ती हैं, या तो सही या गलत। इन व्याख्याओं को सत्य कार्यात्मक कहा जाता है; उनमें प्रस्तावात्मक और प्रथम-क्रम तर्क की सामान्य व्याख्याएं सम्मिलित हैं। किसी विशेष अभिहस्तांकन द्वारा सत्य किए गए वाक्यों को उस अभिहस्तांकन द्वारा संतोषजनक कहा जाता है।

शास्त्रीय तर्कशास्त्र में, किसी भी वाक्य को व्याख्या द्वारा सत्य और असत्य दोनों नहीं बनाया जा सकता है, चूँकि यह एलपी जैसे ग्लूट लॉजिक्स के लिए सही नहीं है। शास्त्रीय तर्क में भी, यह संभव है कि वाक्य का सत्य मान भिन्न-भिन्न व्याख्याओं के अनुसार भिन्न-भिन्न हो सकता है। वाक्य सुसंगत है यदि यह अल्प से अल्प व्याख्या के अनुसार सत्य है; अन्यथा यह असंगत है। वाक्य φ को तार्किक रूप से वैध कहा जाता है यदि यह प्रत्येक व्याख्या से संतुष्ट होता है (यदि φ प्रत्येक व्याख्या से संतुष्ट होता है जो ψ को संतुष्ट करता है तो φ को ψ का तार्किक परिणाम कहा जाता है)।

तार्किक संयोजक

किसी भाषा के कुछ तार्किक प्रतीक (परिमाणक के अतिरिक्त) सत्य-कार्यात्मक संयोजक जो सत्य कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं- ऐसे कार्य जो सत्य मानों को तर्कों के रूप में लेते हैं और सत्य मानों को आउटपुट के रूप में लौटाते हैं (दूसरे शब्दों में, ये वाक्यों के सत्य मानों पर संचालन हैं)।

सत्य-कार्यात्मक संयोजक मिश्रित वाक्यों को सरल वाक्यों से निर्मित करने में सक्षम बनाते हैं। इस प्रकार, यौगिक वाक्य के सत्य मान को सरल वाक्यों के सत्य मानों के निश्चित सत्य फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। संयोजकों को सामान्यतः तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, जिसका अर्थ है कि संयोजकों का अर्थ सदैव समान होता है, सूत्र में अन्य प्रतीकों को दी गई व्याख्याओं से स्वतंत्र होता है।

इस प्रकार हम तर्कवाक्य तर्क में तार्किक संयोजकों को परिभाषित करते हैं:

• ¬Φ सत्य है यदि Φ गलत है।
• (Φ ∧ Ψ) सत्य है यदि Φ सत्य है और Ψ सत्य है।
• (Φ ∨ Ψ) सत्य है यदि Φ सत्य है या Ψ सत्य है (या दोनों सत्य हैं)।
• (Φ → Ψ) सत्य है यदि ¬Φ सत्य है या Ψ सत्य है (या दोनों सत्य हैं)।
• (Φ ↔ Ψ) सत्य है यदि (Φ → Ψ) सत्य है और (Ψ → Φ) सत्य है।

तो सभी वाक्य अक्षरों Φ और Ψ की दी गई व्याख्या के अनुसार (अर्थात्, प्रत्येक वाक्य अक्षर के लिए सत्य-मान निर्दिष्ट करने के पश्चात), हम उन सभी सूत्रों के सत्य-मानों को निर्धारित कर सकते हैं जो तार्किक संयोजकों के कार्य के रूप में घटक के रूप में हैं। निम्न तालिका दिखाती है कि इस प्रकार की चीज़ कैसी दिखती है। पूर्व के दो कॉलम चार संभावित व्याख्याओं द्वारा निर्धारित वाक्य अक्षरों के सत्य-मान दिखाते हैं। अन्य कॉलम इन वाक्य अक्षरों से निर्मित सूत्रों के सत्य-मानों को दिखाते हैं, सत्य-मानों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित किया जाता है।

Logical connectives

Interpretation	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
#1	T	T	F	T	T	T	T
#2	T	F	F	F	T	F	F
#3	F	T	T	F	T	T	F
#4	F	F	T	F	F	T	T

अब यह देखना सरल हो गया है कि कौन-सी बात किसी सूत्र को तार्किक रूप से मान्य बनाती है। सूत्र F लें: (Φ ∨ ¬Φ)। यदि हमारा व्याख्या फलन Φ को सत्य बनाता है, तो ¬Φ को निषेधात्मक संयोजक द्वारा असत्य बना दिया जाता है। चूँकि उस व्याख्या के अनुसार F का असंबद्ध Φ सत्य है, F सत्य है। अब Φ की एकमात्र अन्य संभावित व्याख्या इसे झूठा बनाती है, और यदि ऐसा है, तो निषेध कार्य द्वारा ¬Φ को सही बना दिया जाता है। यह F को पुनः सही बना देगा, क्योंकि Fs में से, ¬Φ, इस व्याख्या के अनुसार सत्य होगा। चूँकि F के लिए ये दो व्याख्याएँ ही एकमात्र संभव तार्किक व्याख्याएँ हैं, और चूँकि F दोनों के लिए सत्य है, हम कहते हैं कि यह तार्किक रूप से मान्य या पुनरुत्पादित है।

सिद्धांत की व्याख्या

Main article: सिद्धांत (गणितीय तर्क)

सिद्धांत की व्याख्या सिद्धांत और कुछ विषय वस्तु के मध्य का संबंध है जब सिद्धांत के कुछ प्रारंभिक कथनों और विषय वस्तु से संबंधित कुछ कथनों के मध्य पत्राचार होता है। यदि सिद्धांत में प्रत्येक प्रारंभिक कथन का संगत है तो इसे पूर्ण व्याख्या कहा जाता है, अन्यथा इसे आंशिक व्याख्या कहा जाता है।

प्रस्तावपरक तर्क के लिए व्याख्या

प्रस्तावपरक तर्क के लिए औपचारिक भाषा में प्रस्तावात्मक प्रतीकों (जिन्हें वाक्यात्मक प्रतीक, वाक्यात्मक चर, प्रस्तावपरक चर भी कहा जाता है) और तार्किक संयोजकों से निर्मित सूत्र होते हैं। प्रस्तावपरक तर्क के लिए औपचारिक भाषा में केवल अन्य-तार्किक प्रतीक ही प्रस्तावात्मक प्रतीक होते हैं, जिन्हें प्रायः बड़े अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है। औपचारिक भाषा को त्रुटिहीन बनाने के लिए, प्रस्तावात्मक प्रतीकों का विशिष्ट समुच्चय निर्धारित किया जाना चाहिए।

इस सेटिंग में मानक प्रकार की व्याख्या ऐसा फलन है जो प्रत्येक प्रस्तावात्मक प्रतीक को सत्य मानों में से सत्य और असत्य में मानचित्रित करता है। इस फलन को सत्य अभिहस्तांकन या मूल्यांकन फलन के रूप में जाना जाता है। अनेक प्रस्तुतियों में, यह शाब्दिक रूप से सत्य मान है जिसे निर्दिष्ट किया जाता है, लेकिन कुछ प्रस्तुतियाँ इसके अतिरिक्त सत्यनिष्ठों को निर्दिष्ट करती हैं।

n विशिष्ट प्रस्ताव चर वाली भाषा के लिए 2ⁿ विशिष्ट संभावित व्याख्याएं हैं। किसी विशेष चर a के लिए, उदाहरण के लिए, 2¹ = 2 संभावित व्याख्याएं हैं: 1) को 'T' या 2 अभिहस्तांकित किया गया है) a को 'F' अभिहस्तांकित किया गया है। जोड़ी a, b के लिए 2² = 4 संभावित व्याख्याएं हैं: 1) दोनों को T अभिहस्तांकित किया गया है, 2) दोनों को F अभिहस्तांकित किया गया है, 3) a को T अभिहस्तांकित किया गया है और b को F अभिहस्तांकित किया गया है, या 4) a को F अभिहस्तांकित किया गया है और b को T अभिहस्तांकित किया गया है।

प्रस्तावपरक प्रतीकों के समुच्चय के लिए किसी भी सत्य अभिहस्तांकन को देखते हुए, उन चरों से निर्मित सभी प्रस्तावनात्मक सूत्रों के लिए व्याख्या का अदभूत विस्तार है। ऊपर वर्णन किए गए तार्किक संयोजकों की सत्य-तालिका परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, इस विस्तारित व्याख्या को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है।

प्रथम क्रम तर्क

प्रस्तावपरक तर्क के विपरीत, जहाँ प्रस्तावात्मक चर के भिन्न समुच्चय की रुचि के अतिरिक्त प्रत्येक भाषा समान है, वहाँ अनेक भिन्न-भिन्न प्रथम-क्रम की भाषाएँ हैं। प्रत्येक प्रथम-क्रम की भाषा को हस्ताक्षर (गणितीय तर्क) द्वारा परिभाषित किया जाता है। हस्ताक्षर में अन्य-तार्किक प्रतीकों का समुच्चय होता है और इन प्रतीकों में से प्रत्येक की निरंतर प्रतीक, फलन प्रतीक या विधेय प्रतीक के रूप में पहचान होती है। फलन और विधेय प्रतीकों के स्थिति में, प्राकृतिक संख्या भी निर्दिष्ट की जाती है। औपचारिक भाषा के लिए वर्णमाला में तार्किक स्थिरांक, समानता संबंध प्रतीक =, हस्ताक्षर से सभी प्रतीक, और चर के रूप में ज्ञात प्रतीकों का अतिरिक्त अनंत समुच्चय होता है।

उदाहरण के लिए, वलय (गणित) की भाषा में, स्थिर प्रतीक 0 और 1 हैं, दो बाइनरी फलन प्रतीक +, और अन्य बाइनरी संबंध प्रतीक नहीं हैं। (यहाँ समानता संबंध को तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया गया है।)

पुनः, हम पूर्व क्रम की भाषा L को परिभाषित कर सकते हैं, जिसमें भिन्न-भिन्न प्रतीक a, b, और c सम्मिलित हैं; विधेय प्रतीक F, G, H, I और J; चर x, y, z; अन्य कार्य फलन नहीं; अन्य भावात्मक प्रतीक नहीं हैं।

पूर्व क्रम के तर्क के लिए औपचारिक भाषाएं

हस्ताक्षर σ को देखते हुए, संबंधित औपचारिक भाषा को σ-सूत्रों के समुच्चय के रूप में जाना जाता है। प्रत्येक σ-सूत्र तार्किक संयोजकों के माध्यम से परमाणु सूत्रों से निर्मित होता है; परमाणु सूत्र विधेय प्रतीकों का उपयोग करते हुए शब्दों से निर्मित होते हैं। σ-सूत्रों के समुच्चय की औपचारिक परिभाषा दूसरी दिशा में आगे बढ़ती है: सबसे पहले, चर के साथ स्थिर और फलन प्रतीकों से शब्दों को एकत्र किया जाता है। पुनः, शब्दों को हस्ताक्षर से विधेय प्रतीक (संबंध प्रतीक) या समानता के लिए विशेष विधेय प्रतीक = का उपयोग करके परमाणु सूत्र में जोड़ा जा सकता है (नीचे "समानता की व्याख्या" अनुभाग देखें)। अंत में, तार्किक संयोजकों और परिमाणकों का उपयोग करके भाषा के सूत्रों को परमाणु सूत्रों से एकत्र किया जाता है।

पूर्व क्रम की भाषा की व्याख्या

See also: व्याख्या फलन

पूर्व क्रम की भाषा के सभी वाक्यों को अर्थ देने के लिए, निम्नलिखित जानकारी की आवश्यकता होती है।

• प्रवचन का डोमेन D, सामान्यतः अन्य-रिक्त होना आवश्यक है (नीचे देखें)।
• प्रत्येक स्थिर प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में D का तत्व है।
• प्रत्येक n-ary फलन प्रतीक के लिए, D से D तक n-ary फलन इसकी व्याख्या के रूप में (अर्थात, फलन Dⁿ → D) है।
• प्रत्येक n-ary विधेय प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में D पर n-ary संबंध (अर्थात, Dⁿ का उपसमुच्चय) है।

इस जानकारी को ले जाने वाली वस्तु को संरचना (गणितीय तर्क) (of हस्ताक्षर σ), या σ-संरचना, या L-संरचना (भाषा L की), या मॉडल के रूप में जाना जाता है ।

व्याख्या में निर्दिष्ट जानकारी किसी भी परमाणु सूत्र को सत्य मान देने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान करती है, इसके प्रत्येक मुक्त चर के पश्चात, यदि अन्य हो, डोमेन के तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। इच्छानुसार वाक्य का सत्य मान तब टी-स्कीमा का उपयोग करके आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जाता है, जो कि अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा विकसित प्रथम-क्रम शब्दार्थ की परिभाषा है। जैसा कि ऊपर वर्णन किया गया है, टी-स्कीमा सत्य तालिकाओं का उपयोग करके तार्किक संयोजकों की व्याख्या करती है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, φ ∧ ψ संतुष्ट है यदि और केवल यदि φ और ψ दोनों संतुष्ट हैं।

यह ∀ x φ(x) और ∃ x φ(x) के रूप के सूत्रों की व्याख्या करने का उद्देश्य त्याग देता है । प्रवचन का डोमेन इन परिमाणक के लिए (तर्क) परिमाणीकरण की सीमा बनाता है। विचार यह है कि वाक्य ∀ x φ(x) व्याख्या के अनुसार सही है जब φ(x) का प्रत्येक प्रतिस्थापन उदाहरण, जहां x को डोमेन के कुछ तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, संतुष्ट हो जाता है। सूत्र ∃ x φ(x) संतुष्ट है यदि डोमेन का अल्प से अल्प तत्व d ऐसा है कि φ (d) संतुष्ट है।

कठोरता से बोलते हुए, प्रतिस्थापन उदाहरण जैसे ऊपर वर्णित सूत्र φ(d) φ की मूल औपचारिक भाषा में सूत्र नहीं है, क्योंकि d डोमेन का तत्व है। इस प्रौद्योगिकी समस्या के निवारण की दो विधियां हैं। सबसे पूर्व बड़ी भाषा को निकट करना है जिसमें डोमेन के प्रत्येक तत्व को निरंतर प्रतीक द्वारा नामित किया जाता है। दूसरा व्याख्या में फलन जोड़ना है जो प्रत्येक चर को डोमेन के तत्व को निर्दिष्ट करता है। तब टी-स्कीमा मूल व्याख्या के भिन्न रूपों की मात्रा निर्धारित कर सकती है जिसमें प्रतिस्थापन उदाहरणों पर मात्रा निर्धारित करने के अतिरिक्त यह चर अभिहस्तांकन फलन परिवर्तित कर दिया गया है।

कुछ लेखक प्रथम-क्रम तर्क में प्रस्तावात्मक चर को भी स्वीकार करते हैं, जिसकी व्याख्या भी की जानी चाहिए। प्रस्तावपरक चर परमाणु सूत्र के रूप में अपने बल पर खड़ा हो सकता है। प्रस्तावक चर की व्याख्या सत्य और असत्य के दो सत्य मानों में से है।

क्योंकि यहाँ वर्णित प्रथम-क्रम की व्याख्याएँ समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित हैं, वे प्रत्येक विधेय प्रतीक को संपत्ति (या संबंध) के साथ नहीं जोड़ते हैं, लेकिन उस संपत्ति (या संबंध) के विस्तार के साथ जोड़ते हैं। दूसरे शब्दों में, ये प्रथम-क्रम की व्याख्याएँ विस्तृत परिभाषाएँ हैं गहन परिभाषा नहीं हैं।

पूर्व क्रम की व्याख्या का उदाहरण

व्याख्या का उदाहरण ऊपर वर्णित भाषा ${\mathcal {I}}$ इस प्रकार है।

• डोमेन: शतरंज का समुच्चय है
• व्यक्तिगत स्थिरांक: a: सफेद राजा b: काली रानी c: सफेद राजा का उपाय
• F(x): x खंड है।
• G(x): x उपाय है।
• H(x): x काला है।
• I(x): x सफेद है।
• J(x, y): x, y पर अधिकार कर सकता है।

व्याख्या में ${\mathcal {I}}$ एल का:

• निम्नलिखित सही वाक्य हैं: F(a), G(c), H(b), I(a) J(b, c),
• निम्नलिखित असत्य वाक्य हैं: J(a, c), G(a).

अन्य-रिक्त डोमेन आवश्यकता

जैसा कि ऊपर कहा गया है, पूर्व क्रम की व्याख्या सामान्यतः प्रवचन के डोमेन के रूप में अन्य-रिक्त समुच्चय को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक होती है। इस आवश्यकता का कारण यह आश्वासन देना है कि समकक्ष जैसे

$$(\phi \lor \exists x\psi )\leftrightarrow \exists x(\phi \lor \psi ),$$

जहाँ x φ का मुक्त चर नहीं है, तार्किक रूप से मान्य हैं। यह तुल्यता अन्य-रिक्त डोमेन के साथ हर व्याख्या में होती है, लेकिन जब रिक्त डोमेन की अनुमति होती है तो यह सदैव नहीं होती है। उदाहरण के लिए, समानता

$$[\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]$$

रिक्त डोमेन वाली किसी भी संरचना में विफल रहता है। इस प्रकार रिक्त संरचनाओं की अनुमति होने पर प्रथम-क्रम तर्क का प्रमाण सिद्धांत अधिक जटिल हो जाता है। चूँकि, उन्हें अनुमति देने में लाभ नगण्य है, क्योंकि लोगों द्वारा अध्ययन किए जाने वाले सिद्धांतों की इच्छित व्याख्या और रोचक व्याख्या दोनों में अन्य-रिक्त डोमेन हैं।

रिक्त संबंध प्रथम-क्रम की व्याख्याओं के लिए अन्य समस्या उत्पन्न नहीं करते हैं, क्योंकि प्रक्रिया में इसकी सीमा को बढ़ाते हुए, तार्किक संबंध में संबंध प्रतीक को पार करने की अन्य समान धारणा नहीं है। इस प्रकार यह संबंध प्रतीकों के लिए स्वीकार्य रूप से गलत होने के रूप में व्याख्या करने के लिए स्वीकार्य है। चूँकि, फलन प्रतीक की व्याख्या सदैव प्रतीक को उत्तम प्रकार से परिभाषित और कुल फलन प्रदान करनी चाहिए।

समानता की व्याख्या

समानता संबंध को प्रायः विशेष रूप से पूर्वक्रम के तर्क और अन्य विधेय तर्कों में माना जाता है। दो सामान्य दृष्टिकोण हैं।

पहला दृष्टिकोण समानता को किसी भी अन्य द्विआधारी संबंध से अलग नहीं मानना ​​है। इस स्थिति में, यदि समानता प्रतीक हस्ताक्षर में सम्मिलित किया गया है, तो सामान्यतः स्वयंसिद्ध प्रणालियों में समानता के बारे में विभिन्न स्वयंसिद्धों को जोड़ना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन स्वयंसिद्ध कह रहा है कि यदि a = b और R(a) धारण करता है तो R(b) ) भी रखता है)। समानता के लिए यह दृष्टिकोण उन हस्ताक्षरों का अध्ययन करते समय सबसे उपयोगी होता है जिनमें समानता संबंध सम्मिलित नहीं होता है, जैसे समुच्चय सिद्धांत के लिए हस्ताक्षर या दूसरे क्रम अंकगणित के लिए हस्ताक्षर जिसमें संख्याओं के लिए केवल समानता संबंध होता है, लेकिन समानता संबंध नहीं होता है संख्याओं का समूह।

दूसरा दृष्टिकोण समानता संबंध प्रतीक को तार्किक स्थिरांक के रूप में मानना ​​है जिसे किसी भी व्याख्या में वास्तविक समानता संबंध द्वारा व्याख्या किया जाना चाहिए। व्याख्या जो समानता की इस तरह से व्याख्या करती है उसे सामान्य मॉडल के रूप में जाना जाता है, इसलिए यह दूसरा दृष्टिकोण केवल उन व्याख्याओं का अध्ययन करने के समान है जो सामान्य मॉडल होते हैं। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि समानता से संबंधित स्वयंसिद्ध प्रत्येक सामान्य मॉडल द्वारा स्वचालित रूप से संतुष्ट होते हैं, और इसलिए समानता के साथ व्यवहार किए जाने पर उन्हें प्रथम-क्रम के सिद्धांतों में स्पष्ट रूप से सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं होती है। इस दूसरे दृष्टिकोण को कभी-कभी समानता के साथ प्रथम क्रम तर्क कहा जाता है, लेकिन अनेक लेखक बिना किसी टिप्पणी के प्रथम क्रम तर्क के सामान्य अध्ययन के लिए इसे अपनाते हैं।