नियम (गणित)

This article is about सामान्य सदिश स्थान के मानदंड. For क्षेत्र सिद्धांत, see फील्ड मानदंड. For आदर्शों, see आदर्श मानदंड. For समूह सिद्धांत, see सामान्य (समूह). For वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में मानदंड, see पूर्व आदेश.

गणित में, प्रतिमान एक वास्तविक या सम्मिश्र सदिश स्थान से गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का एक फलन है जो मूल से दूरी जैसे निश्चित तरीकों से व्यवहार करता है: यह स्केलिंग के साथ चलता है, त्रिकोण असमानता के एक रूप का पालन करता है, और मात्र मूल बिंदु पर शून्य है। विशेष रूप से, मूल से एक सदिश की यूक्लिडियन दूरी एक प्रतिमान है, जिसे यूक्लिडियन प्रतिमान या 2-प्रतिमान कहा जाता है, जिसे स्वयं के साथ एक सदिश के आंतरिक उत्पाद के वर्गमूल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

एक अर्धप्रतिमान प्रतिमान के पहले दो गुणों को संतुष्ट करता है, परन्तु मूल के अतिरिक्त अन्य सदिशों के लिए शून्य हो सकता है। विशिष्ट प्रतिमान के साथ एक सदिश स्थान को एक प्रतिमान सदिश स्थान कहा जाता है। इसी तरह अर्धप्रतिमान वाली सदिश समष्टि को अर्धप्रतिमान सदिश समष्टि कहते हैं।

'आभासी प्रतिमान' शब्द का प्रयोग कई संबंधित अर्थों के लिए किया गया है। यह अर्धप्रतिमान का पर्यायवाची हो सकता है। एक आभासी प्रतिमान समान स्वयंसिद्धों को एक प्रतिमान के रूप में संतुष्ट कर सकता है,असमानता द्वारा प्रतिस्थापित समानता के साथ$\,\leq \,$रूपता सिद्धांत में उपलब्ध हैं। यह प्रतिमान का भी उल्लेख कर सकता है जो अनंत मान ले सकता है, या निर्देशित समुच्चय द्वारा पैरामिट्रीकृत कुछ कार्यों के लिए।

परिभाषा

एक सदिश स्थान दिया गया है $X$ फील्ड एक्सटेंशन पर $F$ सम्मिश्र संख्याओं का $\mathbb {C} ,$ एक प्रतिमान पर $X$ एक वास्तविक मान फलन है $p:X\to \mathbb {R}$ निम्नलिखित गुणों के साथ, जहाँ $|s|$ एक अदिश के सामान्य निरपेक्ष मान $s$ को दर्शाता है :

1. उप-योगात्मक कार्य / त्रिभुज असमानता: $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ सभी के लिए $x,y\in X.$
2. सजातीय कार्य: $p(sx)=\left|s\right|p(x)$ सभी के लिए $x\in X$ और सभी अदिश $s.$
3. धनात्मक निश्चितता/बिंदु-पृथक्करण: सभी के लिए $x\in X,$ यदि $p(x)=0$ तब $x=0.$
   • क्योंकि गुण(2.) का तात्पर्य है $p(0)=0,$ कुछ लेखक गुण(3.) को समतुल्य स्थिति से प्रतिस्थापित करते हैं: प्रत्येक के लिए $x\in X,$ $p(x)=0$ यदि और मात्र यदि $x=0.$

अर्धप्रतिमान पर $X$ एक कार्य है $p:X\to \mathbb {R}$ जिसमें गुण हैं(1.) और(2.) ताकि विशेष रूप से, प्रत्येक प्रतिमान भी एक अर्धप्रतिमान(और इस प्रकार एक उपरैखिक कार्यात्मक) भी हो। यद्यपि, ऐसे अर्धप्रतिमान उपस्थित हैं जो प्रतिमान नहीं हैं। गुण(1.) और(2.) का अर्थ है कि यदि $p$ एक प्रतिमान(या अधिक प्रायः, एक अर्धप्रतिमान) है $p(0)=0$ और कि $p$ निम्नलिखित गुण भी है:

2. ऋणात्मक | गैर-ऋणात्मकता: $p(x)\geq 0$ सभी के लिए $x\in X.$

कुछ लेखकों ने प्रतिमान की परिभाषा के भाग के रूप में गैर-ऋणात्मकता को सम्मिलित किया है, यद्यपि यह आवश्यक नहीं है।

समतुल्य प्रतिमान

मान लो कि $p$ तथा $q$ सदिश स्थान पर दो प्रतिमान(या अर्धप्रतिमान) हैं $X.$ तब $p$ तथा $q$ समतुल्य कहलाते हैं, यदि दो धनात्मक वास्तविक स्थिरांक उपस्थित हों $c$ तथा $C$ साथ $c>0$ ऐसा है कि हर सदिश के लिए $x\in X,$

$$cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).$$

सम्बन्ध $p$ के बराबर है $q$ स्वतुल्य संबंध है, सममित संबंध($cq\leq p\leq Cq$ तात्पर्य ${\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p$), और सकर्मक और इस प्रकार सभी प्रतिमानों के समूह पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है $X.$प्रतिमान $p$ तथा $q$ समतुल्य हैं यदि और मात्र यदि वे समान संस्थिति को प्रेरित करते हैं $X.$ परिमित-आयामी स्थान पर कोई भी दो प्रतिमान समतुल्य हैं परन्तु यह अनंत-आयामी स्थानों तक विस्तृत नहीं है।

अंकन

यदि एक प्रतिमान $p:X\to \mathbb {R}$ एक सदिश स्थान पर दिया गया है $X,$