द्विक भाज्य

छह बिंदुओं पर पंद्रह अलग-अलग कॉर्ड आरेख (गणित), या छह-शीर्ष पूर्ण ग्राफ़ पर समकक्ष पंद्रह अलग-अलग पूर्ण मिलान। इन्हें द्विक भाज्य द्वारा गिना जाता है 15 = (6 − 1)‼.

गणित में, किसी संख्या का द्विक भाज्य n, द्वारा चिह्नित n‼, तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों n का गुणनफल है जिसमें समता (गणित) (विषम या सम)n के समान होती है

$$n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .$$

पुनर्कथित, यह कहता है कि सम n के लिए , द्विक भाज्य है

$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,$$

जबकि विषम n के लिए यह है

$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.$$

उदाहरण के लिए, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. शून्य द्विक भाज्य 0‼ = 1 उत्पाद के रूप में सम के लिए द्विक भाज्यों का क्रम n = 0, 2, 4, 6, 8,... के रूप में प्रारंभ होता है

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, ... (sequence A000165 in the OEIS)

विषम के लिए द्विक भाज्यों का क्रम n = 1, 3, 5, 7, 9,... के रूप में प्रारंभ होता है

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ... (sequence A001147 in the OEIS)

विषम भाज्य शब्द का प्रयोग कभी-कभी किसी विषम संख्या के द्विक भाज्य के लिए किया जाता है।

इतिहास और उपयोग

1902 के पेपर में, भौतिक विज्ञानी आर्थर शूस्टर ने लिखा था:

वैकल्पिक कारकों के उत्पाद के लिए एक अलग प्रतीक की प्रारंभ से इस पेपर के परिणामों का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व बहुत सुविधाजनक हो गया है, $n\cdot n-2\cdot n-4\cdots 1$, if $n$ be odd, or $n\cdot n-2\cdots 2$ if $n$ be odd [sic]. मैं लिखने का प्रस्ताव करता हूं $n!!$ ऐसे उत्पादों के लिए, और यदि उत्पाद के लिए किसी नाम की आवश्यकता हो तो उसे "वैकल्पिक फ़ैक्टोरियल" या "डबल फ़ैक्टोरियल" कहा जा सकता है।

मेज़र्व (1948) बताता है कि द्विक भाज्य को मूल रूप से वालिस उत्पाद की व्युत्पत्ति में उत्पन्न होने वाले त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की कुछ सूची की अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए प्रस्तुत किया गया था। एन-गोले के आयतन को व्यक्त करने में द्विक भाज्य भी उत्पन्न होते हैं, और गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स में उनके कई अनुप्रयोग हैं। वे विद्यार्थी के t-वितरण छात्र में होते हैं , चूँकि विलियम सीली गॉसमुच्चय ने द्विक विस्मयादिबोधक बिंदु संकेतन का उपयोग नहीं किया गया था।

भाज्य से संबंध

क्योंकि द्विक भाज्य में साधारण भाज्य के केवल आधे कारक सम्मिलित होते हैं, इसका मूल्य भाज्य के वर्गमूल n! से अधिक बड़ा नहीं होता है , और यह पुनरावृत्त भाज्य (n!)! से बहुत छोटा है .

एक धनात्मक का भाज्य n को दो द्विक भाज्य के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:

$$n!=n!!\cdot (n-1)!!\,,$$

और इसलिए

$$n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,$$

जहां प्रत्येक अंश में अवांछित कारकों को निरस्त कर देता है। (अंतिम फॉर्म तब भी प्रयुक्त होता है जब n = 0.)

सम गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए n = 2k साथ k ≥ 0, द्विक भाज्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$(2k)!!=2^{k}k!\,.$$

विषम के लिए n = 2k − 1 साथ k ≥ 1, पिछले दो सूत्रों को मिलाकर परिणाम प्राप्त होते हैं

$$(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}\,.$$

एक विषम धनात्मक पूर्णांक n = 2k − 1 के साथ k ≥ 1 के लिए, द्विक भाज्य को 2k के k-क्रमपरिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$(2k-1)!!={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {(2k)^{\underline {k}}}{2^{k}}}\,.$$

गणनात्मक संयोजन विज्ञान में अनुप्रयोग

चार लेबल वाली पत्तियों के समुच्चय पर पंद्रह अलग-अलग जड़ वाले बाइनरी ट्री (अव्यवस्थित बच्चों के साथ), सचित्र 15 = (2 × 4 − 3)‼ (लेख पाठ देखें)।

द्विक भाज्य इस तथ्य से प्रेरित होते हैं कि वे गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स और अन्य सेटिंग्स में अधिकांशतः होते हैं। उदाहरण के लिए, n‼ के विषम मानों के लिए n प्रकार रखता है

• संपूर्ण ग्राफ़ का उत्तम मिलान K_{n + 1} विषम के लिए n. ऐसे ग्राफ़ में, किसी शीर्ष पर v होता है n शीर्ष के संभावित विकल्प जिनसे इसका मिलान किया जा सकता है, और एक बार यह विकल्प बन जाने के बाद शेष समस्या दो कम शीर्षों के साथ पूर्ण ग्राफ़ में पूर्ण मिलान का चयन करने में से है। उदाहरण के लिए, चार शीर्षों a, b, c और d वाले पूर्ण ग्राफ में तीन पूर्ण मिलान होते हैं: ab और cd, ac और bd, और ad और bc पूर्ण मिलान को कई अन्य समकक्ष विधियों से वर्णित किया जा सकता है, जिसमें समुच्चय पर निश्चित बिंदुओं के बिना इनवोल्यूशन (गणित) n + 1 सम्मिलित है क्रमपरिवर्तन जिसमें प्रत्येक चक्र जोड़ी है या कॉर्ड आरेख (गणित) (एक समुच्चय की जीवा के समुच्चय n + 1 बिंदु वृत्त पर समान रूप से इस प्रकार स्थित होते हैं कि प्रत्येक बिंदु ठीक जीवा का अंतिम बिंदु होता है, जिसे रिचर्ड ब्रौएर आरेख भी कहा जाता है)। पूर्ण ग्राफ़ में मिलान की संख्या, मिलान को पूर्ण होने से रोके बिना, इसके अतिरिक्त टेलीफोन नंबर (गणित) द्वारा दी जाती है, जिसे द्विक भाज्य वाले योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• स्टर्लिंग क्रमपरिवर्तन, संख्याओं के बहुसमूह का क्रमपरिवर्तन 1, 1, 2, 2, ..., k, k जिसमें समान संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को केवल बड़ी संख्याओं द्वारा अलग किया जाता है, जहां k = n + 1/2. की दो प्रतियाँ k आसन्न होना चाहिए; उन्हें क्रमपरिवर्तन से हटाने पर क्रमपरिवर्तन निकलता है जिसमें अधिकतम तत्व होता है k − 1, साथ n वह स्थिति जिसमें आसन्न जोड़ी k मान रखे जा सकते हैं. इस पुनरावर्ती निर्माण से, प्रमाण मिलता है कि स्टर्लिंग क्रमपरिवर्तन को प्रेरण के बाद द्विक क्रमपरिवर्तन द्वारा गिना जाता है। वैकल्पिक रूप से, इस प्रतिबंध के अतिरिक्त कि किसी जोड़ी के बीच का मान इससे बड़ा हो सकता है, कोई इस मल्टीसमुच्चय के क्रमपरिवर्तन पर भी विचार कर सकता है जिसमें प्रत्येक जोड़ी की पहली प्रतियां क्रमबद्ध क्रम में दिखाई देती हैं; ऐसा क्रमपरिवर्तन मिलान को परिभाषित करता है 2k क्रमपरिवर्तन की स्थिति, इसलिए फिर से क्रमपरिवर्तन की संख्या को द्विक क्रमपरिवर्तन द्वारा गिना जा सकता है।
• आदेशित ट्री, ट्री k + 1 नोड्स लेबल किए गए 0, 1, 2, ... k, जैसे कि ट्री की जड़ में लेबल 0 है, प्रत्येक दूसरे नोड में उसके मूल से बड़ा लेबल होता है, और इस तरह कि प्रत्येक नोड के बच्चों के पास निश्चित क्रम होता है। ट्री की यूलर तकनीकी टावर (दोगुने किनारों के साथ) स्टर्लिंग क्रमपरिवर्तन देती है, और प्रत्येक स्टर्लिंग क्रमपरिवर्तन इस तरह से ट्री का प्रतिनिधित्व करता है।
• बिना जड़ वाले बाइनरी ट्री n + 5/2 लेबल वाली पत्तियाँ ऐसे प्रत्येक ट्री को कम पत्ती वाले ट्री से, किसी को उप-विभाजित करके बनाया जा सकता है n ट्री के किनारे और नए शीर्ष को नए पत्ते का जनक होता है।
• जड़ वाले बाइनरी ट्री n + 3/2 लेबल वाली पत्तियाँ यह स्थिति बिना जड़ वाले स्थिति के समान है, किन्तु किनारों को उप-विभाजित करने की संख्या सम है, और किनारे को उप-विभाजित करने के अतिरिक्त कम पत्ती वाले ट्री में नई जड़ जोड़कर नोड जोड़ना संभव है, जिसके दो बच्चे हैं छोटे ट्री और नए पत्ते हैं।

कॉलन (2009) और डेल & मून (1993) समान संयोजन वर्ग के साथ कई अतिरिक्त वस्तुओं की सूची बनाएं, जिनमें ट्रैपेज़ॉइडल शब्द (बढ़ते हुए विषम मूलांक के साथ मिश्रित मूलांक प्रणाली में अंक प्रणाली), ऊंचाई-लेबल वाले डाइक पथ, ऊंचाई-लेबल वाले आदेशित ट्री, ओवरहैंग पथ, और निम्नतम का वर्णन करने वाले कुछ वैक्टर सम्मिलित हैं जड़ वाले बाइनरी ट्री में प्रत्येक नोड का क्रमांकित पत्ता वंशज विशेषण प्रमाण के लिए कि इनमें से कुछ वस्तुएँ समसंख्य हैं, देखें रूबे (2008) और मार्श & मार्टिन (2011). सम द्विक भाज्य हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह के तत्वों की संख्या देते हैं ( अतिविम के हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन या समरूपता)

असिम्प्टोटिक्स

भाज्य के लिए स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग द्विक भाज्य के लिए एसिम्प्टोटिक विश्लेषण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशेषकर, तब से $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ के पास $n$ जैसा है उस अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है

$$n!!\sim {\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is even}},\\[5pt]\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$$

विस्तार

ऋणात्मक तर्क

सामान्य भाज्य, जब गामा फलन तक बढ़ाया जाता है, तो प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक पर ध्रुव (जटिल विश्लेषण) होता है, जो इन संख्याओं पर भाज्य को परिभाषित होने से रोकता है। चूँकि, विषम संख्याओं के द्विक भाज्य को उसके पुनरावृत्ति संबंध को उल्टा करके किसी भी ऋणात्मक विषम पूर्णांक तर्क तक बढ़ाया जा सकता है

$$n!!=n\times (n-2)!!$$

दे देना

$$n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}\,.$$

इस उलटे पुनरावृत्ति का उपयोग करते हुए, (−1)!! = 1, (−3)!! = −1, और (−5)!! =1/3; अधिक परिमाण वाली ऋणात्मक विषम संख्याओं में भिन्नात्मक द्विक भाज्य होते हैं। विशेषकर, जब n विषम संख्या है, इससे पता चलता है

$$(-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\,.$$

जटिल तर्क

उपरोक्त परिभाषा की अवहेलना करते हुए n!! के सम मानों n के लिए, विषम पूर्णांकों के लिए द्विक भाज्य को अधिकांश वास्तविक और जटिल संख्याओं z तक बढ़ाया जा सकता है यह नोट करके कि कब z तो धनात्मक विषम पूर्णांक है

$${\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 5\cdot 3\\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\\[5mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\\[5mu]&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)\,,\end{aligned}}$$

जहाँ $\Gamma (z)$ गामा फलन है.

अंतिम अभिव्यक्ति ऋणात्मक सम पूर्णांकों को छोड़कर सभी जटिल संख्याओं के लिए परिभाषित की गई है और संतुष्ट करती है (z + 2)!! = (z + 2) · z!! प्रत्येक स्पेस इसे परिभाषित किया गया है। गामा फलन के साथ जो सामान्य भाज्य फलन का विस्तार करता है, यह द्विक भाज्य फलन बोह्र-मोलेरुप प्रमेय के अर्थ में लघुगणकीय रूप से उत्तल है। स्पर्शोन्मुख रूप से, ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$ सामान्यीकृत सूत्र ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ के लिए पिछले उत्पाद सूत्र z!! से सहमत नहीं है जिसके गैर-ऋणात्मक सम पूर्णांक मानों z के लिए. इसके अतिरिक्त, यह सामान्यीकृत सूत्र निम्नलिखित विकल्प का तात्पर्य करता है:

$$(2k)!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{k}\Gamma \left(k+1\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)\,,$$

0 के मान के साथ !! इस स्थिति में किया जा रहा है

• $0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.797\,884\,5608\dots$ (sequence A076668 in the OEIS).

परिभाषा के रूप में इस सामान्यीकृत सूत्र का उपयोग करते हुए, एन-बॉल का आयतन n-त्रिज्या का आयाम अति क्षेत्र R के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$V_{n}={\frac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}\,.$$

अतिरिक्त पहचान

n के पूर्णांक मानों के लिए ,

$$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$$

इसके अतिरिक्त विषम संख्याओं के द्विक भाज्य के जटिल संख्याओं के विस्तार का उपयोग करते हुए, सूत्र है

$$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,.$$

अधिक जटिल त्रिकोणमितीय बहुपदों के अभिन्नों का मूल्यांकन करने के लिए द्विक भाज्य का भी उपयोग किया जा सकता है।

विषम संख्याओं के द्विक भाज्य पहचान द्वारा गामा फलन से संबंधित हैं:

$$(2n-1)!!=2^{n}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)}{\sqrt {\pi }}}=(-2)^{n}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)}}\,.$$

विषम संख्याओं के द्विक भाज्य से जुड़ी कुछ अतिरिक्त पहचानें हैं:

$${\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!\,.\end{aligned}}$$

दो क्रमागत पूर्णांकों के द्विक भाज्य के अनुपात का अनुमान है

$${\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\approx {\sqrt {\pi n}}.$$

यह अनुमान और अधिक स्पष्ट n हो जाता है जिसे वालिस %27 इंटेग्रल्स द्विक भाज्य अनुपात को कम करने के परिणामस्वरूप देखा जा सकता है।

सामान्यीकरण

परिभाषाएँ

उसी प्रकार जिस प्रकार द्विक भाज्य भाज्य की धारणा को सामान्यीकृत करता है, पूर्णांक-मूल्य वाले एकाधिक भाज्य फलन (मल्टीभाज्य) की निम्नलिखित परिभाषा, या α-भाज्य फलन, धनात्मक पूर्णांकों के लिए द्विक फैक्टरियल फलन $\alpha$ की धारणा का विस्तार करता है :

$$n!_{(\alpha )}={\begin{cases}n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{ if }}n>\alpha \,;\\n&{\text{ if }}1\leq n\leq \alpha \,;{\text{and}}\\(n+\alpha )!_{(\alpha )}/(n+\alpha )&{\text{ if }}n\leq 0{\text{ and is not a negative multiple of }}\alpha \,;\end{cases}}$$

बहुक्रियात्मक का वैकल्पिक विस्तार

वैकल्पिक रूप से, बहुघटकीय z!_(α) को अधिकांश वास्तविक और जटिल संख्याओं z तक बढ़ाया जा सकता है यह नोट करके कि कब z धनात्मक पूर्णांक के धनात्मक गुणज α से अधिक है तब

$${\begin{aligned}z!_{(\alpha )}&=z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\left({\frac {z-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{\alpha }}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}\,.\end{aligned}}$$

यह अंतिम अभिव्यक्ति मूल की तुलना में कहीं अधिक व्यापक रूप से परिभाषित है। उसी प्रकार वह z! ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित नहीं है, और z‼ ऋणात्मक सम पूर्णांकों के लिए परिभाषित नहीं है, z!_(α) के ऋणात्मक गुणजों α के लिए परिभाषित नहीं है . चूँकि, यह परिभाषित है और संतुष्ट (z+α)!_(α) = (z+α)·z!_(α) करता है अन्य सभी सम्मिश्र संख्याओं z के लिए. यह परिभाषा केवल उन पूर्णांकों z के लिए पिछली परिभाषा z ≡ 1 mod α के अनुरूप है

विस्तार के अतिरिक्त z!_(α) सबसे जटिल संख्याओं z के लिए, इस परिभाषा में सभी धनात्मक वास्तविक मूल्यों α के लिए काम करने की सुविधा है. इसके अतिरिक्त, जब α = 1, यह परिभाषा गणितीय रूप से समतुल्य है Π(z) फलन, ऊपर वर्णित है। इसके अतिरिक्त, कब α = 2, यह परिभाषा गणितीय रूप से जटिल तर्कों के समतुल्य है।

सामान्यीकृत स्टर्लिंग संख्याएँ बहुक्रियात्मक कार्यों का विस्तार करती हैं

प्रथम प्रकार की सामान्यीकृत स्टर्लिंग संख्याओं के एक वर्ग को निम्नलिखित त्रिकोणीय पुनरावृत्ति संबंध द्वारा α > 0 के लिए परिभाषित किया गया है:

$$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha )\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\delta _{n,0}\delta _{k,0}\,.$$

ये सामान्यीकृत α-भाज्य गुणांक तब अलग-अलग प्रतीकात्मक बहुपद उत्पाद उत्पन्न करते हैं जो कई फैक्टरियल या α-भाज्य फलन (x − 1)!_(α) को परिभाषित करते हैं।

$${\begin{aligned}(x-1|\alpha )^{\underline {n}}&:=\prod _{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha \right)\\&=(x-1)(x-1-\alpha )\cdots {\bigl (}x-1-(n-1)\alpha {\bigr )}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-\alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1}\,.\end{aligned}}$$

पिछले समीकरणों में अलग-अलग बहुपद विस्तार वास्तव में n₀ ∈ {0, 1, 2, ..., α − 1} के लिए कम से कम अवशेष x ≡ n₀ mod α के कई अलग-अलग स्थितियों के लिए α-भाज्य उत्पादों को परिभाषित करते हैं।

सामान्यीकृत α-कारकीय बहुपद, जहाँ σ⁽¹⁾
_n(x) ≡ σ_n(x), जो स्टर्लिंग बहुपद स्टर्लिंग कनवल्शन बहुपदों को एकल तथ्यात्मक स्थिति से बहुकारकीय स्थितियों तक सामान्यीकृत करता है, σ^(α)
_n(x) द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\sigma _{n}^{(\alpha )}(x):=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]_{(\alpha )}{\frac {(x-n-1)!}{x!}}$$

0 ≤ n ≤ x के लिए . इन बहुपदों में विशेष रूप से अच्छा बंद-रूप वाला साधारण जनरेटिंग फलन दिया गया है

$$\sum _{n\geq 0}x\cdot \sigma _{n}^{(\alpha )}(x)z^{n}=e^{(1-\alpha )z}\left({\frac {\alpha ze^{\alpha z}}{e^{\alpha z}-1}}\right)^{x}\,.$$

इनके अन्य संयोजक गुण और विस्तार सामान्यीकृत हैं α-भाज्य त्रिकोण और बहुपद अनुक्रमों पर विचार किया जाता है स्मिट (2010).

एकाधिक भाज्य फलनों से युक्त स्पष्ट परिमित योग

मान लीजिए कि n ≥ 1 और α ≥ 2 पूर्णांक-मूल्यवान हैं। फिर हम पोचहैमर प्रतीक और सामान्यीकृत, तर्कसंगत-मूल्यवान द्विपद गुणांक के संदर्भ में मल्टीभाज्य या α-भाज्य फलन (αn − 1)!_(α) को सम्मिलित करते हुए अगले एकल परिमित योगों का विस्तार कर सकते हैं।

$${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left({\frac {1}{\alpha }}\right)_{-(k+1)}\left({\frac {1}{\alpha }}-n\right)_{k+1}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times {\binom {{\frac {1}{\alpha }}+k-n}{k+1}}{\binom {{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\,,\end{aligned}}$$

और इसके अतिरिक्त, हमारे पास इसी तरह से दिए गए इन कार्यों का दोगुना योग विस्तार है

$${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}{\binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{aligned}}$$

उपरोक्त पहले दो योग डबल भाज्य फलन के लिए ज्ञात गैर-राउंड कॉम्बिनेटरियल पहचान के समान हैं जब α := 2 कॉलन (2009) द्वारा दिया गया है।

$$(2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.$$

संदर्भ-मुक्त व्याकरण के माध्यम से समान पहचान प्राप्त की जा सकती है। α-भाज्य फलन (αn − d)!_(α) के लिए सर्वांगसमता का अतिरिक्त परिमित योग विस्तार, किसी भी 0 ≤ d < α के लिए किसी भी निर्धारित पूर्णांक h ≥ 2 को स्मिट (2018) द्वारा दिया गया है।