दीर्घ विभाजन

This article is about प्राथमिक हस्तलिखित विभाजन. For गणितीय परिभाषा और गुणधर्म, see प्रभाग (गणित). For और, see यूक्लिडियन विभाजन. For सॉफ्टवेयर कलन विधि, see विभाजन कलन विधि. For अन्य उपयोग, see दीर्घ विभाजन (disambiguation).

अंकगणित में, दीर्घ विभाजन एक मानक विभाजन कलन विधि है जो बहु-अंकीय हिंदू-अरबी अंकों (स्थितीय संकेतन) को विभाजित करने के लिए उपयुक्त है जो हाथ से प्रदर्शन करने के लिए काफी सरल है। यह विभाजन की समस्या को आसान चरणों की एक श्रृंखला में विभाजित करता है।

जैसा कि सभी विभाजन समस्याओं में, एक संख्या, जिसे भाज्य कहा जाता है, जिसको दूसरे से विभाजित किया जाता है, जिसे विभाजक कहा जाता है, जिससे भागफल कहा जाता है। यह सरल चरणों की एक श्रृंखला का पालन करके अव्यवस्थिततः बड़ी संख्या में गणना करने में सक्षम बनाता है। दीर्घ विभाजन के संक्षिप्त रूप को लघु विभाजन कहा जाता है, जिसका प्रयोग लगभग सदैव दीर्घ विभाजन के स्थान पर किया जाता है जब भाजक में केवल एक अंक होता है। खंडीयन (जिसे आंशिक भागफल विधि या बधिक विधि के रूप में भी जाना जाता है) यूके में प्रमुख दीर्घ विभाजन का एक कम यांत्रिक रूप है जो विभाजन प्रक्रिया की अधिक समग्र समझ में योगदान देता है।

जबकि संबंधित कलन विधि 12वीं शताब्दी से अस्तित्व में हैं, आधुनिक उपयोग में विशिष्ट कलन विधि हेनरी ब्रिग्स सी 1600 द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

शिक्षा

सस्ते परिगणक और परिकलक विभाजन की समस्याओं को हल करने का सबसे सामान्य तरीका बन गया हैं, एक पारंपरिक गणितीय अभ्यास को नष्ट कर रहे हैं और कागज और अंकनी प्रविधियों द्वारा ऐसा करने का तरीका दिखाने के शैक्षिक अवसर को कम कर रहे हैं। आंतरिक रूप से, वे उपकरण विभिन्न प्रकार के विभाजन कलन विधि में से एक का उपयोग करते हैं, जो तीव्रता से कार्यों को प्राप्त करने के लिए सन्निकटन और गुणन पर विश्वास करते हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, दीर्घ विभाजन को विशेष रूप से डी-बलोच्चार, या यहां तक ​​कि उन्मूलन के लिए लक्षित किया गया है। स्कूली पाठ्यक्रम, सुधार गणित द्वारा, हालांकि परंपरागत रूप से चौथी या पांचवीं कक्षा में प्रारंभ किया गया था।

विधि

अंग्रेजी बोलने वाले देशों में, दीर्घ विभाजन में विभाजन काट ⟨∕⟩ या विभाजन चिह्न ⟨÷⟩ प्रतीकों का उपयोग नहीं करता है बल्कि इसके बजाय एक दृश्य का निर्माण करता है। भाजक को दाएँ कोष्ठक ⟨)⟩ या ऊर्ध्वाधर रेखा ⟨|⟩ द्वारा भाज्य से पृथक किया जाता है; भाज्य को रेखा कोष्ठक (अर्थात, एक ओवरबार) द्वारा भागफल से पृथक किया जाता है। इन दो प्रतीकों के संयोजन को कभी-कभी दीर्घ विभाजन प्रतीक या विभाजन कोष्ठक के रूप में जाना जाता है। यह 18वीं शताब्दी में पूर्व के एकल-पंक्ति संकेतन से विकसित हुआ था जो भाज्य को बाएं कोष्ठक द्वारा भागफल से पृथक करता था।

भाजक द्वारा भाज्य के सबसे बाएं अंक को विभाजित करके प्रक्रिया प्रारंभ की जाती है। भागफल (एक पूर्णांक तक वर्तुल) परिणाम का पहला अंक बन जाता है और शेष की गणना की जाती है (यह चरण घटाव के रूप में व्याख्या की जाती है)। यह शेषफल तब आगे बढ़ता है जब प्रक्रिया को भाज्य के निम्नलिखित अंक पर दोहराया जाता है (शेष के अगले अंक को 'नीचे लाने' के रूप में व्याख्या की जाती है)। जब सभी अंक संसाधित हो जाते हैं और कोई शेष नहीं रहता है, तो प्रक्रिया पूर्ण हो जाती है।

एक उदाहरण नीचे दर्शाया गया है, जो 500 को 4 (परिणाम 125 के साथ) से विभाजित करता है।

     125     (स्पष्टीकरण)
   4)500
     4       ( 4 × 1 = 4)
     10      ( 5 - 4 = 1)
      8      ( 4 × 2 = 8)
      20     (10 - 8 = 2)
      20     ( 4 × 5 = 20)
       0     (20 - 20 = 0)

परिगणक के बिना प्रदर्शन किए गए दीर्घ विभाजन का उदाहरण।

चरणों का अधिक विस्तृत विश्लेषण इस प्रकार है:

1. भाज्य 500 के बाएं छोर से प्रारंभ होने वाले अंकों का सबसे छोटा क्रम ज्ञात करें, जिसमें भाजक 4 कम-से-कम एक बार जाता है। इस स्थिति में, यह केवल पहला अंक 5 है। भाजक 4 को 5 से अधिक किए बिना गुणा किया जा सकने वाला सबसे बड़ा नंबर 1 है, इसलिए भागफल का निर्माण प्रारंभ करने के लिए अंक 1 को 5 से ऊपर रखा जाता है।
2. अगला, 1 को भाजक 4 से गुणा किया जाता है, सबसे बड़ी पूर्ण संख्या प्राप्त करने के लिए, जो 5 (इस स्थिति में 4) से अधिक के बिना भाजक 4 का गुणक है। इस 4 को फिर 5 के नीचे रखा जाता है और 5 से घटाया जाता है, शेष 1 प्राप्त करने के लिए, जिसे 4 के नीचे 5 के नीचे रखा जाता है।
3. बाद में, भाज्य में पहले के रूप में अभी तक अप्रयुक्त अंक, इस स्थिति में 5 के बाद पहला अंक 0, सीधे उसके नीचे और शेष 1 के निकट में, संख्या 10 बनाने के लिए अनुकरण किया जाता है।
4. इस बिंदु पर निष्कर्ष तक पहुंचने के लिए प्रक्रिया को पर्याप्त बार दोहराया जाता है: सबसे बड़ी संख्या जिसके द्वारा भाजक 4 को 10 से अधिक 2 के बिना गुणा किया जा सकता है, इसलिए 2 को दूसरे सबसे बाएं भागफल अंक के रूप में लिखा गया है। इस 2 को भाजक 4 से गुणा करके 8 प्राप्त किया जाता है, जो 4 का सबसे बड़ा गुणक है जो 10 से अधिक नहीं है; इसलिए 8 को 10 के नीचे लिखा जाता है और शेष 2 प्राप्त करने के लिए 10 से 8 घटाया जाता है, जिसे 8 के नीचे रखा जाता है।
5. भाज्य के अगले अंक (500 में अंतिम 0) को सीधे उसके नीचे अनुकरण किया जाता है और शेष 2 के निकट में 20 बनता है। तब सबसे बड़ी संख्या जिसके द्वारा भाजक 4 को 20 से अधिक किए बिना गुणा किया जा सकता है, जो कि 5 है, ऊपर तीसरे बाएँ भागफल अंक के रूप में रखा गया है। इस 5 को 20 प्राप्त करने के लिए भाजक 4 से गुणा किया जाता है, जिसे नीचे लिखा जाता है और शेष 0 प्राप्त करने के लिए उपस्थिता 20 से घटाया जाता है, जिसे बाद में दूसरे 20 के नीचे लिखा जाता है।
6. इस बिंदु पर, चूंकि भाज्य से नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं और अंतिम घटाव परिणाम 0 था, हम आश्वस्त हो सकते हैं कि प्रक्रिया समाप्त हो गई है।

यदि अंतिम शेष जब हम भाज्य अंकों से बाहर निकलते हैं तो 0 के अतिरिक्त कुछ और होता, तो क्रिया के दो संभावित पाठ्यक्रम होते:

1. हम केवल यहीं रुक सकते हैं और कह सकते हैं कि भाजक द्वारा विभाजित भाज्य शीर्ष पर लिखा हुआ भागफल है और शेष तल पर लिखा है और उत्तर को भागफल के रूप में लिखें, जिसके बाद भाजक द्वारा विभाजित शेषफल है।
2. हम भाज्य को 500.000... के रूप में लिखकर बढ़ा सकते हैं और प्रक्रिया को जारी रख सकते हैं (भाज्य में सीधे दशमलव बिंदु के ऊपर भागफल में दशमलव बिंदु का उपयोग करके), दशमलव उत्तर प्राप्त करने के लिए, जैसे कि निम्नलिखित उदाहरण है।

     31.75
   4)127.00
     12       (12 ÷ 4 = 3)
      07      (0 शेष, अगला अंक नीचे लाएं)
       4      (7 ÷ 4 = 1 r 3)
       3.0    (0 और दशमलव बिंदु को नीचे लाएं)
       2.8    (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2)
         20   (एक अतिरिक्त शून्य नीचे लाया जाता है)
         20   (5 × 4 = 20)
          0

इस उदाहरण में, परिणाम के दशमलव भाग की गणना इकाई अंक से परे प्रक्रिया को जारी रखकर की जाती है, शून्य को भाज्य के दशमलव भाग के रूप में नीचे लाया जाता है।

यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि प्रक्रिया के प्रारंभ में, शून्य उत्पन्न करने वाले चरण को छोड़ा जा सकता है। चूँकि पहला अंक 1 भाजक 4 से छोटा है, इसके बजाय पहला चरण पहले दो अंकों 12 पर किया जाता है। इसी प्रकार, यदि भाजक 13 थे, तो कोई 12 या 1 के बजाय 127 पर पहला चरण उठाएगा।

n ÷ m के दीर्घ विभाजन के लिए मूल प्रक्रिया

1. भाज्य n और भाजक m में सभी दशमलव बिंदुओं का स्थान ज्ञात करें।
2. यदि आवश्यक हो, तो भाजक के दशमलव और भाज्य को दशमलव स्थानों की समान संख्या से दाईं ओर (या बाईं ओर) ले जाकर दीर्घ विभाजन समस्या को सरल करें, ताकि भाजक का दशमलव अंतिम अंक के दाईं ओर हो।
3. दीर्घ विभाजन करते समय दृश्य के नीचे संख्याओं को ऊपर से नीचे की ओर सीधा पंक्तिबद्ध रखें।
4. प्रत्येक चरण के बाद, सुनिश्चित करें कि उस चरण के लिए शेष भाजक से कम है। यदि यह नहीं है, तो तीन संभावित समस्याएं हैं: गुणा गलत, घटाव गलत, या अधिक भागफल की आवश्यकता है।
5. अंत में, शेष r, बढ़ते भागफल में एक भिन्न r/m के रूप में जोड़ा जाता है।

अचल गुणधर्म और शुद्धता

प्रक्रिया के चरणों की मूल प्रस्तुति (ऊपर) उन चरणों के गुणों के बजाय उन चरणों के गुणों पर ध्यान केंद्रित करती है जो सुनिश्चित करते हैं कि परिणाम सही होगा (विशेष रूप से, वह q × m + r = n, जहाँ q अंतिम भागफल है और r अंतिम शेषफल है)। प्रस्तुति में थोड़े परिवर्तन के लिए अधिक लेखन की आवश्यकता होती है और यह आवश्यक है कि हम भागफल के अंकों को अद्यतन करने के बजाय परिवर्तित करें, परन्तु इस पर अधिक दृष्टिकोण डाल सकता है कि ये चरण वास्तव में मध्यवर्ती पर q × m + r प्रक्रिया में अंक के मूल्यांकन की अनुमति देकर सही उत्तर क्यों देते हैं। यह कलन विधि (नीचे) की व्युत्पत्ति में उपयोग की जाने वाली प्रमुख विशेषता को दर्शाती है।

विशेष रूप से, हम उपरोक्त मूल प्रक्रियाओं में संशोधन करते हैं ताकि हम निर्माणाधीन भागफल के अंकों के बाद के स्थान को 0 से भरते हैं, कम-से-कम 1 के स्थान पर और उन 0 को उन संख्याओं में सम्मिलित करें जिन्हें हम विभाजन कोष्ठक के नीचे लिखते हैं।

यह हमें प्रत्येक चरण: q × m + r = n पर एक अपरिवर्तनीय संबंध बनाए रखने देता है, जहां q आंशिक रूप से निर्मित भागफल (विभाजन कोष्ठक के ऊपर) और r आंशिक रूप से निर्मित शेष (विभाजन कोष्ठक के नीचे नीचे की संख्या) है। ध्यान दें कि, प्रारंभ में q=0 और r=n, इसलिए यह गुण प्रारंभ में धारण करता है; प्रक्रिया r को कम करती है और प्रत्येक चरण के साथ q को बढ़ाती है, अंतत: रूक जाती है जब r<m यदि हम भागफल + पूर्णांक शेषफल रूप में उत्तर खोजते हैं।

ऊपर दिए गए 500 ÷ 4 उदाहरण पर समीक्षा करने पर हम पाते हैं:

     125      (q, नीचे दिए गए व्याख्या के अनुसार 000 से 100 से 120 से 125 में परिवर्तन)
    4)500
      400      ( 4 × 100 = 400)
      100      (500 - 400 = 100; अब q=100, r=100; व्याख्या q×4+r = 500)
      80      ( 4 × 20 = 80)
      20      (100 - 80 = 20; अब q=120, r= 20; व्याख्या q×4+r = 500)
      20      ( 4 × 5 = 20)
       0      ( 20 - 20 = 0; अब q=125, r= 0; व्याख्या q×4+r = 500)

बहु-अंकीय भाजक का उदाहरण

बहु-अंकीय दीर्घ विभाजन का चालित उदाहरण।

किसी भी अंक के भाजक का उपयोग किया जा सकता है। इस उदाहरण में, 1260257 को 37 से विभाजित किया जाना है। पहले समस्या को इस प्रकार स्थापित किया गया है:

    37)1260257

संख्या 1260257 के अंक तब तक लिए जाते हैं जब तक कि 37 से बड़ी या उसके बराबर संख्या नहीं आ जाती। तो 1 और 12 37 से छोटे हैं, परन्तु 126 बड़ा है। अगला, 126 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणज परिकलित किया जाता है। तो 3 × 37 = 111 < 126, परन्तु 4 × 37 > 126 है। गुणक 111 को 126 के नीचे लिखा जाता है और 3 को सबसे ऊपर लिखा जाता है जहां हल दिखाई देगा:

         3
    37)1260257
       111

ध्यान दें कि ये अंक किस स्थानीय मान वाले पंक्ति में लिखे गए हैं। भागफल में 3 उसी पंक्ति (दस-हजार स्थान) में जाता है, जो भाज्य 1260257 में 6 है, जो 111 के अंतिम अंक के समान पंक्ति है।

111 को ऊपर की रेखा से घटाया जाता है, सभी अंकों को दाईं ओर अनदेखा करते हुए:

         3 
    37)1260257
       111
        15

अब भाज्य के अगले छोटे स्थानीय मान से अंक को नीचे अनुकरण किया जाता है और परिणाम 15 में जोड़ा जाता है:

         3 
    37)1260257
       111
        150

प्रक्रिया दोहराती है: 150 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणक घटाया जाता है। यह 148 = 4 × 37 है, इसलिए भागफल के अगले अंक के रूप में शीर्ष पर एक 4 जोड़ा जाता है। तब घटाव का परिणाम भाज्य से लिए गए दूसरे अंक से बढ़ाया जाता है:

         34
    37)1260257
       111
        150
        148
          22

22 से कम या उसके बराबर 37 का सबसे बड़ा गुणक 0 × 37 = 0 है। 22 में से 0 घटाकर 22 देता है, हम प्रायः घटाव चरण नहीं लिखते हैं। इसके बजाय, हम केवल भाज्य से एक और अंक लेते हैं:

         340 
    37)1260257
       111
        150
        148
          225

प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि 37 अंतिम पंक्ति को पूर्ण तरह से विभाजित नहीं कर देता:

         34061
    37)1260257
       111
        150
        148
          225
          222
            37

मिश्रित विधि दीर्घ विभाजन

गैर-दशमलव मुद्राओं के लिए (जैसे कि 1971 से पहले ब्रिटिश £एसडी प्रणाली) और उपायों (जैसे भार प्रणाली) के लिए मिश्रित विधि विभाजन का उपयोग किया जाना चाहिए। 50 मील 600 गज को 37 टुकड़ों में विभाजित करने पर विचार करें:

        mi -     yd -   ft -   in
         1 -    634     1      9 r. 15" 
    37) 50 -    600 -   0 -    0
        37    22880    66    348
        13    23480    66    348 
        1760  222      37    333
       22880   128     29     15
       =====   111    348     ==
                170   ===
                148
                 22
                 66
                 ==

चार स्तंभों में से प्रत्येक पर बारी-बारी से कार्य किया जाता है। मील से प्रारंभ: 50/37 = 1 शेष 13 है। कोई और विभाजन संभव नहीं है, इसलिए मील को गज में परिवर्तित करने के लिए 1,760 से दीर्घ गुणा करें, परिणाम 22,880 गज है। इसे गज़ पंक्ति के शीर्ष पर ले जाएं और इसे 23,480 देने वाले भाज्य में 600 गज़ में जोड़ें। 23,480 / 37 का दीर्घ विभाजन अब 22 शेष के साथ सामान्य उपज 634 के रूप में आगे बढ़ता है। शेष को 3 से गुणा करके फीट प्राप्त किया जाता है और फीट पंक्ति तक ले जाया जाता है। फीट के दीर्घ विभाजन से 1 शेष 29 प्राप्त होता है जिसे बारह से गुणा करके 348 इंच प्राप्त होता है। परिणाम रेखा पर अंतिम शेष 15 इंच के साथ दीर्घ विभाजन जारी रहता है।

दशमलव परिणामों की व्याख्या

जब भागफल एक पूर्णांक नहीं है और विभाजन प्रक्रिया को दशमलव बिंदु से आगे बढ़ाया जाता है, तो दो चीजों में से एक हो सकता है:

1. प्रक्रिया समाप्त हो सकती है, जिसका अर्थ है कि शेष 0 तक पहुँच गया है; या
2. एक शेषफल प्राप्त किया जा सकता है जो दशमलव अंक लिखे जाने के बाद आने वाले पूर्व शेषफल के समान है। बाद वाली स्थिति में, प्रक्रिया को जारी रखना व्यर्थ होगा, क्योंकि उस बिंदु से अंकों का एक ही क्रम भागफल में बार-बार दिखाई देगा। इसलिए दोहराए जाने वाले अनुक्रम पर एक रेखा खींची जाती है ताकि यह इंगित किया जा सके कि यह सदैव के लिए दोहराता है (अर्थात, प्रत्येक परिमेय संख्या या तो एक समाप्ति या आवर्ती दशमलव है)।

गैर-अंग्रेजी भाषी देशों में संकेतन

चीन, जापान, कोरिया भारत सहित अंग्रेजी बोलने वाले देशों के समान अंकन का उपयोग करते हैं। अन्यत्र, समान सामान्य सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है, परन्तु आंकड़े प्रायः अलग तरीके से व्यवस्थित होते हैं।

लैटिन अमेरिका

लैटिन अमेरिका में (अर्जेंटीना, बोलीविया, मैक्सिको, कोलंबिया, परागुआ, वेनेजुएला, उरुग्वे और ब्राजील को छोड़कर), गणना लगभग समान है, परन्तु अलग-अलग नीचे लिखी गई है जैसा कि ऊपर उपयोग किए गए दो उदाहरणों के साथ नीचे दर्शाया गया है। सामान्यतः भाजक के नीचे खींची गई पट्टी के नीचे भागफल लिखा जाता है। कभी-कभी गणनाओं के दाईं ओर एक लंबी लंबवत रेखा खींची जाती है।

     500 ÷ 4 =  125      (स्पष्टीकरण)
     4                   ( 4 × 1 = 4)
     10                  ( 5 - 4 = 1)
      8                  ( 4 × 2 = 8)
      20                 (10 - 8 = 2)
      20                 ( 4 × 5 = 20)
       0                 (20 - 20 = 0)

और

     127 ÷ 4 = 31.75
     124
       30      (0 नीचे लाएं; दशमलव से भागफल)
       28      (7 × 4 = 28)
        20     (एक अतिरिक्त शून्य जोड़ा जाता है)
        20     (5 × 4 = 20)
         0

मेक्सिको में, अंग्रेजी बोलने वाले विश्व संकेतन का उपयोग किया जाता है, अतिरिक्त इसके कि केवल घटाव के परिणाम की व्याख्या की जाती है और गणना मानसिक रूप से की जाती है, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है:

     125       (स्पष्टीकरण)
   4)500
     10        ( 5 - 4 = 1)
      20       (10 - 8 = 2)
       0       (20 - 20 = 0)

बोलिविया, ब्राज़िल, पैराग्वे, वेनेज़ुएला, फ़्रेंच-भाषी कनाडा, कोलंबिया और पेरू में, यूरोपीय संकेतन (नीचे देखें) का उपयोग किया जाता है, अतिरिक्त इसके कि भागफल को एक ऊर्ध्वाधर रेखा से अलग नहीं किया जाता है, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है:

    127|4 
   −124 31,75
      30
     −28
       20
      −20
        0

मेक्सिको, उरुग्वे और अर्जेंटीना में एक ही प्रक्रिया प्रयुक्त होती है, केवल घटाव के परिणाम की व्याख्या की जाती है और गणना मानसिक रूप से की जाती है।

यूरेशिया

स्पेन, इटली, फ्रांस, पुर्तगाल, लिथुआनिया, रोमानिया, तुर्की, ग्रीस, बेल्जियम, बेलारूस, यूक्रेन और रूस में, विभाजक भाज्य के दाईं ओर है और एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया गया है। विभाजन पंक्ति में भी होता है, परन्तु भागफल (परिणाम) विभाजक के नीचे लिखा जाता है और क्षैतिज रेखा से अलग किया जाता है। इसी पद्धति का उपयोग ईरान, वियतनाम और मंगोलिया में किया जाता है।

    127|4 
   −124|31,75
      30
     −28
       20
      −20
        0

साइप्रस में, साथ ही साथ फ्रांस में, एक दीर्घ ऊर्ध्वाधर रेखा भागफल और भाजक से भाज्य और बाद के घटाव को अलग करता है, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण में 6359 को 17 से विभाजित किया गया है, जो 1 के शेष के साथ 374 है।

    6359|17 
   −51  |374
    125 |
   -119 |
      69|
     -68|
       1|

दशमलव संख्याओं को सीधे विभाजित नहीं किया जाता है, भाज्य और भाजक को दस की घात से गुणा किया जाता है ताकि विभाजन में दो पूर्ण संख्याएँ सम्मिलित हों। इसलिए, यदि कोई 12,7 को 0,4 से विभाजित कर रहा था (दशमलव बिंदुओं के बजाय अल्पविराम का उपयोग किया जा रहा है), भाज्य और भाजक को पहले 127 और 4 में परिवर्तित कर दिया जाएगा और फिर विभाजन ऊपर की तरह आगे बढ़ेगा।

ऑस्ट्रिया, जर्मनी और स्विट्ज़रलैंड में, सामान्य समीकरण के सांकेतिक रूप का उपयोग किया जाता है। <भाज्य> : <भाजक> = <भागफल>, अपूर्ण विराम ":" के साथ विभाजन संचालक ("/" या "÷" के अनुरूप) के लिए एक द्विआधारी मध्यप्रत्यय प्रतीक को दर्शाता है। इन क्षेत्रों में दशमलव विभाजक को अल्पविराम के रूप में लिखा जाता है (सीएफ़. उपरोक्त लैटिन अमेरिकी देशों का पहला खंड, जहाँ यह वस्तुतः उसी तरह किया गया है):

    127 : 4 = 31,75
   -12
     07
     −4
      30
     −28
       20
      −20
        0

डेनमार्क, नॉर्वे, बुल्गारिया, उत्तर मैसेडोनिया, पोलैंड, क्रोएशिया, स्लोवेनिया, हंगरी, चेक गणराज्य, स्लोवाकिया, वियतनाम और सर्बिया में एक ही संकेतन अपनाया जाता है।

नीदरलैंड में, निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है:

   12 / 135 \ 11,25
        12
         15
         12
          30
          24
           60
           60
            0

फिनलैंड में, ऊपर वर्णित इतालवी पद्धति को 1970 के दशक में एंग्लो-अमेरिकन द्वारा परिवर्तित कर दिया गया था। हालाँकि, 2000 के दशक के प्रारंभ में, कुछ पाठ्यपुस्तकों ने जर्मन पद्धति को अपनाया है क्योंकि यह भाजक और भाज्य के मध्य के क्रम को बनाए रखता है।

यादृच्छिक आधार के लिए कलन विधि

See also: विभाजन कलन विधि § दीर्घ विभाजन

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ को अव्यवस्थिततः संख्या आधार में विशिष्ट रूप $b>1$ से दर्शाया जा सकता है, संख्यात्मक अंक के अनुक्रम $n=\alpha _{0}\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha _{k-1}$के रूप में, जहाँ $0\leq \alpha _{i}<b$ सभी $0\leq i<k$ के लिए, जहाँ $k$ में अंकों की संख्या $n$ है। $n$ का मान है इसके अंकों और आधार के संदर्भ में है।

$n=\sum _{i=0}^{k-1}\alpha _{i}b^{k-i-1}$

मान लीजिए कि $n$ भाज्य और $m$ विभाजक है, जहाँ $l$ में अंकों की संख्या $m$ है। यदि $k<l$, तब भागफल $q=0$ और शेष $r=n$ है, अन्यथा, हम $0\leq i\leq k-l$, अवरोधन से पूर्व पुनरावृति करते हैं।

प्रत्येक पुनरावृत्ति $i$ के लिए, मान लीजिए कि $q_{i}$ अब तक निकाला गया भागफल $d_{i}$, मध्यवर्ती भाज्य $r_{i}$, मध्यवर्ती शेष $\alpha _{i}$ मूल भाज्य का अगला अंक और $\beta _{i}$ भागफल का अगला अंक हैं। आधार में अंकों की परिभाषा के द्वारा $b$, $0\leq \beta _{i}<b$ हैं। शेष की परिभाषा के अनुसार, $0\leq r_{i}<m$ हैं। सभी मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं। हम आरंभ करते हैं:

$q_{-1}=0$

$r_{-1}=\sum _{i=0}^{l-2}\alpha _{i}b^{l-2-i}$

पहला $l-1$ का अंक $n$ हैं।

प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ, तीन समीकरण सत्य हैं:

$d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}$

$r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}$

$q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}$

ऐसा केवल एक ही $\beta _{i}$ उपस्थित है जैसे कि $0\leq r_{i}<m$ हैं।

$\beta _{i}$ के अस्तित्व और विशिष्टता का प्रमाण है।

शेष $r_{i}$ के परिभाषा के अनुसार ,

$0\leq r_{i}<m$

$0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}<m$

$m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}+1)$

असमानता के बाईं ओर के लिए, हम सबसे बड़ा $\beta _{i}$ चुनते हैं, जैसे कि

$m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}$

सदैव ऐसा सबसे बड़ा $\beta _{i}$ होता है, चूंकि $0\leq \beta _{i}<b$ और यदि $\beta _{i}=0$, तब

$0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}$

चूंकि $b>1$, $r_{i-1}\geq 0$, $\alpha _{i+l-1}\geq 0$, यह सदैव सत्य होता है। असमानता के दाहिने पक्ष के लिए हम मानते हैं कि सबसे छोटा $\beta _{i}^{\prime }$ उपस्थित है, जैसे कि

$br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}^{\prime }+1)$

चूंकि सबसे छोटा $\beta _{i}^{\prime }$ है, असमानता सत्य है, इसका अर्थ यह होना चाहिए कि $\beta _{i}^{\prime }-1$ के लिए,

$br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}\geq m\beta _{i}^{\prime }$

जो पूर्णतया असमानता के बाएँ पक्ष के समान है। इस प्रकार, $\beta _{i}=\beta _{i}^{\prime }$ है। जैसे $\beta _{i}$ सदैव उपस्थित रहेगा, इसलिए $\beta _{i}^{\prime }$ , $\beta _{i}$ के बराबर है, और केवल एक ही अद्वितीय $\beta _{i}$ है, जो असमानता के लिए मान्य है। इस प्रकार हमने के अस्तित्व और विशिष्टता $\beta _{i}$ को सिद्ध किया है।

अंतिम अंश $q=q_{k-l}$ और अंतिम शेषफल $r=r_{k-l}$ हैं।

उदाहरण

दशमलव में, उपरोक्त उदाहरण: $n=1260257$ और $m=37$ का उपयोग करके, प्रारंभिक मान $q_{-1}=0$ और $r_{-1}=1$ है।

$0\leq i\leq k-l$	$\alpha _{i+l-1}$	$d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}$	$\beta _{i}$	$r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}$	$q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}$
0	2	$10\cdot 1+2=12$	0	$12-37\cdot 0=12$	$10\cdot 0+0=0$
1	6	$10\cdot 12+6=126$	3	$126-37\cdot 3=15$	$10\cdot 0+3=3$
2	0	$10\cdot 15+0=150$	4	$150-37\cdot 4=2$	$10\cdot 3+4=34$
3	2	$10\cdot 2+2=22$	0	$22-37\cdot 0=22$	$10\cdot 34+0=340$
4	5	$10\cdot 22+5=225$	6	$225-37\cdot 6=3$	$10\cdot 340+6=3406$
5	7	$10\cdot 3+7=37$	1	$37-37\cdot 1=0$	$10\cdot 3406+1=34061$

इस प्रकार, $q=34061$ और $r=0$ है।

आधार 16 में, $n={\text{f412df}}$ और $m=12$ के साथ, प्रारंभिक मान $q_{-1}=0$ और $r_{-1}={\text{f}}$ है।

$0\leq i\leq k-l$	$\alpha _{i+l-1}$	$d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}$	$\beta _{i}$	$r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}$	$q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}$
0	4	$10\cdot {\text{f}}+4={\text{f4}}$	${\text{d}}$	${\text{f4}}-12\cdot {\text{d}}={\text{a}}$	$10\cdot 0+{\text{d}}={\text{d}}$
1	1	$10\cdot {\text{a}}+1={\text{a1}}$	8	${\text{a1}}-12\cdot 8=11$	$10\cdot {\text{d}}+8={\text{d8}}$
2	2	$10\cdot 11+2=112$	${\text{f}}$	$112-12\cdot {\text{f}}=4$	$10\cdot {\text{d8}}+{\text{f}}={\text{d8f}}$
3	${\text{d}}=13$	$10\cdot 4+{\text{d}}={\text{4d}}$	4	${\text{4d}}-12\cdot 4=5$	$10\cdot {\text{d8f}}+4={\text{d8f4}}$
4	${\text{f}}=15$	$10\cdot 5+{\text{f}}={\text{5f}}$	5	${\text{5f}}-12\cdot 5=5$	$10\cdot {\text{d8f4}}+5={\text{d8f45}}$

इस प्रकार, $q={\text{d8f45}}$ और $r={\text{5}}$ है।

यदि किसी के पास विचार किए गए आधार b के लिए जोड़, घटाव या गुणन सारणी नहीं है, तो यह कलन विधि तब भी कार्य करता है जब संख्याओं को दशमलव में परिवर्तित कर दिया जाता है और और अंत में वापस आधार b में परिवर्तित कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण के साथ,

$n={\text{f412df}}_{16}=15\cdot 16^{5}+4\cdot 16^{4}+1\cdot 16^{3}+2\cdot 16^{2}+13\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}$

और

$m={\text{12}}_{16}=1\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}=18$

के साथ $b=16$ है। प्रारंभिक मान $q_{-1}=0$ और $r_{-1}=15$ है।

$0\leq i\leq k-l$	$\alpha _{i+l-1}$	$d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}$	$\beta _{i}$	$r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}$	$q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}$
0	4	$16\cdot 15+4=244$	$13={\text{d}}$	$244-18\cdot 13=10$	$16\cdot 0+13=13$
1	1	$16\cdot 10+1=161$	8	$161-18\cdot 8=17$	$16\cdot 13+8$
2	2	$16\cdot 17+2=274$	$15={\text{f}}$	$274-18\cdot 15=4$	$16\cdot (16\cdot 13+8)+15=16^{2}\cdot 13+16\cdot 8+15$
3	${\text{d}}=13$	$16\cdot 4+13=77$	4	$77-18\cdot 4=5$	$16\cdot (16^{2}\cdot 13+16\cdot 8+15)+4=16^{3}\cdot 13+16^{2}\cdot 8+16\cdot 15+4$
4	${\text{f}}=15$	$16\cdot 5+15=95$	5	$95-18\cdot 5=5$	$16\cdot (16^{3}\cdot 13+16^{2}\cdot 8+16\cdot 15+4=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5$

इस प्रकार, $q=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5={\text{d8f45}}_{16}$ और $r=5={\text{5}}_{16}$ है।

यह कलन विधि उसी प्रकार के अंकनी और कागज अंकन पद्धति का उपयोग करके किया जा सकता है जैसा कि उपरोक्त अनुभागों में दर्शाया गया है।

           d8f45 r. 5
    12) f412df
        ea
        a1
        90
        112
        10e
          4d
          48
           5f
           5a
            5

परिमेय भागफल

यदि भागफल एक पूर्णांक होने के लिए विवश नहीं है, तो कलन विधि $i>k-l$ के लिए समाप्त नहीं होता है। इसके बजाय, यदि $i>k-l$, तब परिभाषा के अनुसार $\alpha _{i}=0$ है। यदि शेषफल $r_{i}$ किसी भी पुनरावृति पर शून्य के बराबर है, तो भागफल $b$-एडिक अंश है और आधार $b$ स्थितीय संकेतन में परिमित दशमलव विस्तार के रूप में दर्शाया गया है। अन्यथा, यह अभी भी एक परिमेय संख्या है परन्तु a नहीं, $b$-ऐडिक परिमेय और इसके बजाय आधार $b$ स्थितीय संकेतन में अनंत दोहराए जाने वाले दशमलव विस्तार के रूप में दर्शाया गया है।

द्विआधारी विभाजन

See also: विभाजन कलन विधि §  शेष के साथ (असंकेतित) पूर्णांक विभाजन, and द्विआधारी संख्या § विभाजन

द्विआधारी संख्या के भीतर गणना सरल है, क्योंकि पाठ्यक्रम में प्रत्येक अंक केवल 1 या 0 हो सकता है - पहचान तत्व या अवशोषित तत्व में परिणाम के गुणा के रूप में गुणा की आवश्यकता नहीं होती है।

यदि यह एक परिकलक पर होता, तो 10 से गुणा को बाईं ओर 1 की थोड़ी बिट विस्थापन द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है और निष्कर्ष $\beta _{i}$ तार्किक संचालन $d_{i}\geq m$ को कम करता है, जहां सत्य = 1 और असत्य = 0 है। प्रत्येक पुनरावृत्ति $0\leq i\leq k-l$ के साथ, निम्नलिखित क्रियाएं की जाती हैं:

${\begin{aligned}\alpha _{i+l-1}\ &{\mathtt {=}}\ n\ {\mathtt {\&}}\ (1\ {\mathtt {<<}}\ (k+1-i-l))\\d_{i}\ &{\mathtt {=}}\ r_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\alpha _{i+l-1}\\\beta _{i}\ &{\mathtt {=}}\ {\mathtt {!}}(d_{i}<m)\\r_{i}\ &{\mathtt {=}}\ d_{i}-m\ {\mathtt {\&}}\ \beta _{I}\\q_{i}\ &{\mathtt {=}}\ q_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\beta _{I}\end{aligned}}$

उदाहरण के लिए, $n=10111001$ और $m=1101$ के साथ, प्रारंभिक मान $q_{-1}=0$ और $r_{-1}=101$ हैं।

$0\leq i\leq k-l$	$\alpha _{i+l-1}\ {\mathtt {=}}\ n\ {\mathtt {\&}}\ (1\ {\mathtt {<<}}\ (k+1-i-l))$	$d_{i}\ {\mathtt {=}}\ r_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\alpha _{i+l-1}$	$\beta _{i}\ {\mathtt {=}}\ !(d_{i}<m)$	$r_{i}\ {\mathtt {=}}\ d_{i}-m\ {\mathtt {\&}}\ \beta _{i}$	$q_{i}\ {\mathtt {=}}\ q_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\beta _{i}$
0	1	1011	0	1011 − 0 = 1011	0
1	1	10111	1	10111 − 1101 = 1010	1
10	0	10100	1	10100 − 1101 = 111	11
11	0	1110	1	1110 − 1101 = 1	111
100	1	11	0	11 − 0 = 11	1110

इस प्रकार, $q=1110$ और $r=11$ है।

निष्पादन

प्रत्येक पुनरावृत्ति पर, सबसे अधिक समय लेने वाला कार्य $\beta _{i}$चयन करना है। हम जानते हैं कि हैं, $b$ संभावित मान है, इसलिए हम $\beta _{i}$ का उपयोग करके $O(\log(b))$ प्राप्त कर सकते हैं। प्रत्येक तुलना के मानांकन $d_{i}-m\beta _{i}$ की आवश्यकता होगी। मान लीजिए कि $k$ भाज्य में अंकों की संख्या $n$ और $l$ भाजक में अंकों की संख्या $m$ है। $d_{i}\leq l+1$ में अंकों की संख्या है। $m\beta _{i}$ का गुणन, इसलिए $O(l)$ है और इसी तरह $d_{i}-m\beta _{i}$का घटाव है। इस प्रकार, $O(l\log(b))$ लेता है, $\beta _{i}$ का चयन करता है। $q_{i}$ और $r_{i}$ बाईं ओर एक अंक कलन विधि के शेष जोड़ और अंक-स्थानांतरण हैं और इसलिए $O(k)$ और $O(l)$ आधार $b$ में, समय लगता है। इसलिए प्रत्येक $O(l\log(b)+k+l)$, या केवल $O(l\log(b)+k)$ में पुनरावृत्ति लेता है। सभी $k-l+1$ अंक के लिए, कलन विधि $O((k-1)(l\log(b)+k))$, या आधार $b$ में $O(kl\log(b)+k^{2})$ समय लगता है।

सामान्यीकरण

परिमेय संख्या

जब तक वे परिमेय संख्या हैं, तब तक पूर्णांकों के दीर्घ विभाजन को गैर-पूर्णांक भाज्यों को सम्मिलित करने के लिए सरलता से बढ़ाया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या का आवर्ती दशमलव प्रसार होता है। इस प्रक्रिया को उन विभाजकों को सम्मिलित करने के लिए भी बढ़ाया जा सकता है जिनका एक परिमित या समाप्ति दशमलव विस्तार (अर्थात दशमलव अंश) है। इस स्थिति में प्रक्रिया में भाजक और भाज्य को दस की उपयुक्त घात से गुणा करना सम्मिलित है ताकि नया भाजक एक पूर्णांक हो - इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि a ÷ b = (ca) ÷ (cb) - और फिर ऊपर के रूप में आगे बढ़ें।

बहुपद

इस पद्धति का एक सामान्यीकृत संस्करण जिसे बहुपद दीर्घ विभाजन कहा जाता है, का उपयोग बहुपदों को (कभी-कभी संश्लिष्ट विभाजन नामक आशुलिपि संस्करण का उपयोग करके) विभाजित करने के लिए भी किया जाता है।

यह भी देखें

• प्रतीकगणित
• यादृच्छिक-सटीक अंकगणित
• मिस्र गुणा और भाग
• प्राथमिक अंकगणित
• फूरियर विभाजन
• बहुपद दीर्घ विभाजन
• n वें वर्गमूल कलन विधि को स्थानांतरित करना - किसी संख्या का वर्गमूल या कोई n वें वर्गमूल खोजने के लिए
• लघु विभाजन

बाहरी संबंध

• Long Division Algorithm
• Long Division and Euclid's Lemma