थॉमस-फर्मी मॉडल

थॉमस-फर्मी (TF) मॉडल, लेवेलिन थॉमस और एनरिको फर्मी के नाम पर रखा गया, श्रोडिंगर समीकरण की शुरुआत के तुरंत बाद अर्धशास्त्रीय विकसित कई-निकाय प्रणालियों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना के लिए एक क्वांटम यांत्रिक सिद्धांत है। यह केवल इलेक्ट्रॉनिक घनत्व के संदर्भ में तैयार किए जाने के रूप में तरंग फलन सिद्धांत से अलग है और इसे आधुनिक घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के अग्रदूत के रूप में देखा जाता है। थॉमस-फर्मी मॉडल केवल अनंत परमाणु आवेश की सीमा में ही सही है। यथार्थवादी प्रणालियों के लिए सन्निकटन का उपयोग करने से खराब मात्रात्मक भविष्यवाणियां होती हैं, यहां तक ​​कि घनत्व की कुछ सामान्य विशेषताओं जैसे परमाणुओं में आवरण संरचना और ठोस पदार्थों में फ्रीडेल दोलन को पुन: उत्पन्न करने में विफल रहता है। यद्यपि, इसने कई क्षेत्रों में विश्लेषणात्मक रूप से गुणात्मक प्रवृत्तियों को निकालने की क्षमता के माध्यम से आधुनिक अनुप्रयोग प्राप्त किये जिससे और आसानी से मॉडल को हल किया जा सकता है। थॉमस-फर्मी सिद्धांत की गतिज ऊर्जा अभिव्यक्ति का उपयोग आधुनिक कक्षीय-मुक्त घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत के भीतर गतिज ऊर्जा के अधिक परिष्कृत घनत्व सन्निकटन में एक घटक के रूप में भी किया जाता है।

स्वतंत्र रूप से कार्य करते हुए, थॉमस और फर्मी ने 1927 में एक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के वितरण का अनुमान लगाने के लिए इस सांख्यिकीय मॉडल का उपयोग किया। यद्यपि इलेक्ट्रॉनों को एक परमाणु में असमान रूप से वितरित किया जाता है, एक अनुमान लगाया गया था कि इलेक्ट्रॉनों को प्रत्येक छोटे आयतन तत्व ΔV ( अर्थात् स्थानीय रूप से) में समान रूप से वितरित किया जाता है लेकिन इलेक्ट्रॉन घनत्व $n(\mathbf {r} )$ अभी भी एक छोटी मात्रा के तत्व से दूसरे में भिन्न हो सकते हैं।

गतिज ऊर्जा

एक छोटे आयतन वाले तत्व ΔV के लिए, और इसकी मूल अवस्था में परमाणु के लिए, हम एक गोलाकार संवेग स्थान आयतन V_F फर्मी गति p_F भर सकते हैं तक, और इस तरह,

$V_{\rm {F}}={\frac {4}{3}}\pi p_{\rm {F}}^{3}(\mathbf {r} )$

जहाँ $\mathbf {r}$ ΔV में एक बिंदु का स्थिति सदिश है।

इसी की चरण स्थान मात्रा है

$\Delta V_{\rm {ph}}=V_{\rm {F}}\ \Delta V={\frac {4}{3}}\pi p_{\rm {F}}^{3}(\mathbf {r} )\ \Delta V.$

ΔV_ph में इलेक्ट्रॉन इस फेज़ स्पेस वॉल्यूम का प्रति h³ दो इलेक्ट्रॉनों के साथ समान रूप से वितरित किए जाते हैं, जहाँ h प्लैंक स्थिरांक है। फिर ΔV_ph में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है

$\Delta N_{\rm {ph}}={\frac {2}{h^{3}}}\ \Delta V_{\rm {ph}}={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{\rm {F}}^{3}(\mathbf {r} )\ \Delta V.$

ΔV  में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है

$\Delta N=n(\mathbf {r} )\ \Delta V$

जहाँ $n(\mathbf {r} )$ इलेक्ट्रॉन संख्या घनत्व है।

ΔV में इलेक्ट्रॉनों की संख्या को ΔV_ph में बराबर करनादेता है,

$n(\mathbf {r} )={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{\rm {F}}^{3}(\mathbf {r} ).$

$\mathbf {r}$ पर इलेक्ट्रॉनों का अंश जिसका संवेग p और p+dp के बीच है,

${\begin{aligned}F_{\mathbf {r} }(p)dp&={\frac {4\pi p^{2}dp}{{\frac {4}{3}}\pi p_{\mathrm {F} }^{3}(\mathbf {r} )}}\qquad \qquad p\leq p_{\rm {F}}(\mathbf {r} )\\&=0\qquad \qquad \qquad \quad {\text{otherwise}}\\\end{aligned}}$

द्रव्यमान m_e के साथ एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के लिए शास्त्रीय अभिव्यक्ति का उपयोग करना, गतिज ऊर्जा प्रति इकाई आयतन पर $\mathbf {r}$ परमाणु के इलेक्ट्रॉनों के लिए है,

$\begin{array}{rl}t(\mathbf{r})& =\end{array}$