तंग अवधि

मीट्रिक ज्यामिति में, मीट्रिक स्पेस M का मीट्रिक लिफ़ाफ़ा या तंग अवधि एक अंतःक्षेपक मीट्रिक स्पेस है जिसमें M को जोड़ा जा सकता है। माना कुछ अर्थों में इस M के बिंदुओं के मध्य में प्रत्येक बिंदु होते हैं, जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में स्थापित बिंदु के उत्तल हल के समान होते हैं। तंग अवधि को कभी-कभी 'M' के अंतःक्षेपक एनवेलप या हाइपरकोनवेक्स हल के रूप में भी जाना जाता है। इसे अंतःक्षेपक हल भी कहा जाता है, परंतु बीजगणित में एक मॉड्यूल के अंतःक्षेपक हल के सापेक्ष भ्रमित नहीं होना चाहिए, तथा एक अवधारणा जिसमें मीट्रिक रिक्त स्पेस के अतिरिक्त 'R '-मॉड्यूल की श्रेणी के सापेक्ष समान विवरण होता है ।

तंग अवधि का वर्णन सबसे पहले इसबेल (1964) द्वारा वर्णित किया गया था , और इसका अध्ययन 1960 के दशक में होल्स्ज़्Tस्की द्वारा प्रारंभ किया गया था। इसके उपरांत में ड्रेस (1984) और क्रोबक और & लारमोर (1994) ने स्वतंत्र रूप से पुनः खोजा था इस इतिहास के लिए चेपोई (1997) ने दर्शाया कि तंग अवधि T-सिद्धांत के केंद्रीय निर्माणों में से एक है।

परिभाषा

एक मीट्रिक स्पेस की तंग अवधि को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। माना (X,d) एक मीट्रिक स्पेस हैं, और T(X) को X पर 'चरम फलन' का समुच्चय बनाया जाता हैं, तथा हम X को 'एक्सट्रीमल फलन' कहते हैं, जिसका अर्थ X से 'R ' तक एक फलन f है जैसे कि

1. X में किसी x, y के लिए, d(x,y) ≤ f(x) + f(y), और
2. X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.हैं।

विशेष रूप से (ऊपर विशेषता 1 में x = y लेने पर) प्रत्येक x के लिए f(x) ≥ 0। ऊपर दी गई पहली आवश्यकता की व्याख्या करने की यह एक विधि है जोकि f कुछ नए बिंदु से X के बिंदुओं तक संभावित दूरी के एक समुच्चय को परिभाषित करता है जो कि (X, d) में दूरियों के सापेक्ष त्रिकोण असमानता को पूरा करना चाहता है। दूसरी आवश्यकता बताती है कि त्रिभुज असमानता का उल्लंघन किए बिना इनमें से किसी भी दूरी को न्यूनतम नहीं किया जा सकता है।

(X, d) का 'तंग अवधि' मीट्रिक स्पेस (T (X), δ) है, जहां

$$\delta =(\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|g(x)-f(x)|\leq C{\text{ for all }}x\in X\})_{f,g\in T(X)}=(\|g-f\|_{\infty })_{f,g\in T(X)}$$

ℓ^∞ मानदंड से प्रेरित मीट्रिक के अनुरूप है। (यदि d बाध्य है, तो δ ℓ^∞ मानदंड से प्रेरित मीट्रिक द्वारा प्रेरित उप-मीट्रिक मीट्रिक होता है। यदि d बाध्य नहीं है, तो X पर प्रत्येक चरम फलन असीमित होता है और इसलिए $T(X)\not \subseteq \ell ^{\infty }(X).$ यह सच होगा कि T(X) में किसी भी f,g के लिए, अंतर $g-f$ का है अर्थात $\ell ^{\infty }(X)$ बाउंडेड है।

चरम फलनों की समतुल्य परिभाषाएँ

X से 'R ' तक एक फलन f के लिए पहली आवश्यकता को पूरा करने के लिए, दूसरी आवश्यकता के निम्नलिखित संस्करण समतुल्य हैं:

• X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y में X}.होता हैं
• f पूर्वोक्त पहली आवश्यकता के संबंध में बिंदुवार न्यूनतम है, अर्थात, X से 'R' तक किसी भी फलन g के लिए ऐसा है कि d(x,y) ≤ g(x) + g(y) प्रत्येक x,y के लिए X में , अगर g≤f बिन्दुवार, तो f=g होता है.
• X = ∅ या X में उपस्थित है जैसे X में प्रत्येक X के लिए, f (X) ≤ d (a, X) उपस्थित होता है।
  

मूल गुण और उदाहरण

• X में प्रत्येक X के लिए, $0\leq f(x).$ होता हैं।
• X में प्रत्येक X के लिए, $(d(x,y))_{y\in X}$ अतिवादी होता है। (प्रमाण: समरूपता और त्रिभुज असमानता मेट्रिक स्पेस का उपयोग करते हैं।)
• यदि X परिमित है, तो X से 'R' तक किसी भी फलन f के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है,तथा दूसरी और आवश्यकता में इस शर्त के समान है कि X में प्रत्येक x के लिए, X में y उपस्थित है जैसे कि f(x) + f (y) = d (X, y) होता है। (अगर $X=\emptyset ,$ तो दोनों स्थितियाँ सत्य हैं। अगर $X\neq \emptyset ,$ तब श्रेष्ठता ग्रहण की जाती है, और पहली आवश्यकता तुल्यता को दर्शाती है।)
• माना |X|=2, और विशिष्ट a, b चुनें जैसे कि X={a, b} चुनते हैं। तब $T(X)=\{f\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{X}:f(a)+f(b)=d(a,b)\}$ का उत्तल हल है{{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}}. [ शीर्षक: यदि X = {0,1}, तो $T(X)=\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{2}:v_{0}+v_{1}=d(0,1)\}$ {(0,1),(1,0)} का उत्तल हल है।]
• X पर प्रत्येक चरम फलन f कातेतोव होता है: f पहली आवश्यकता को संतुष्ट करता है और

$\forall x,y\in X\quad f(x)\leq d(x,y)+f(y),$ या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और

$\forall x,y\in X\quad |f(y)-f(x)|\leq d(x,y)$ (1-लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है), और

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->Xsup\{f(y)-<!--\; -\; -->d(x,y):y\in <!--\; \in \; -->X\}=f$