डायाडिक्स

गणित में विशेष रूप से बहुरेखीय बीजगणित, डाइएडिक या डायाडिक टेंसर, टेन्सर की आंतरिक परिभाषा है, जो सदिश क्षेत्रीय टेन्सर के उत्पादों के माध्यम से उत्पन्न होती हैं, हम इसे संकेतन में लिख सकते हैं और यह सदिश बीजगणित के साथ संलग्न रहती है।

दो यूक्लिडियन सदिशों को गुणा करने की अनेक विधियाँ उपयोग की जा सकती हैं। डॉट उत्पादों को दो वैक्टर के द्वारा उपयोग में लाया जा सकता हैं और क्रॉस उत्पाद के समय भौतिकी स्केलर द्वारा इसका मान प्राप्त होता है। इस प्रकार यह स्यूडो सदिश लौटाता है। इन दोनों की विभिन्न रूपों में महत्वपूर्ण ज्यामितीय व्याख्याएँ भी होती हैं और इनका व्यापक रूप से गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है। डाइएडिक उत्पाद मुख्यतः दो वैक्टर वापस करता हैं और इस संदर्भ में 'डाइडिक' नामक दूसरे क्रम का टेंसर वापस होता हैं। डाइडिक का उपयोग भौतिक या ज्यामितीय जानकारी को सम्मिलित करने के लिए किया जा सकता है, चूंकि सामान्यतः इसकी ज्यामितीय व्याख्या करने की कोई सीधी विधि नहीं होती हैं।

डाइएडिक गुणन सदिश को संयोजित करने पर वितरणात्मक गुण प्राप्त होता है, और अदिश गुणन के साथ साहचर्य के नियम का पालन करता हैं। इस कारण युग्मक गुणनफल इसके दोनों संकार्यों में रैखिक रूप से प्राप्त होता हैं। सामान्यतः दो डाइएडिक्स को और डाइएडिक प्राप्त करने के लिए संयोजित किये जा सकते हैं, और डायाडिक स्थिति को स्केल करने के लिए संख्याओं द्वारा स्केलर गुणन किया जाता है। चूंकि, उत्पाद मुख्यतः विनिमेय प्रकार के नहीं होते हैं, इसलिए सदिशों के क्रम को परिवर्तित करने के परिणामस्वरूप भिन्न द्विगुणक मान प्राप्त होते हैं।

डायाडिक बीजगणित की औपचारिकता सदिश बीजगणित के विस्तार से प्राप्त होती हैं जिसमें सदिशों के डाइएडिक उत्पाद सम्मिलित रहते हैं। डाइएडिक उत्पाद डॉट और क्रॉस उत्पादों के साथ अन्य वैक्टरों के साथ भी संयोजित रहता है, जो डॉट तथा क्रॉस और डाइएडिक उत्पादों को अन्य स्केलर, वैक्टर या डाइएडिक्स प्राप्त करने के लिए संयोजित करने की अनुमति देता है।

इसमें आव्यूह बीजगणित के कुछ भाग भी सम्मिलित रहते हैं, क्योंकि वैक्टर के संख्यात्मक घटकों को पंक्ति और स्तंभ वैक्टर में व्यवस्थित किया जा सकता है, और स्क्वायर आव्यूह में दूसरे क्रम के टेंसरों को भी साथ ही, डॉट, क्रॉस और डायाडिक उत्पाद सभी को आव्यूह रूप में व्यक्त किया जा सकता है। डायाडिक अभिव्यक्तियां आव्यूह समकक्षों के समान हो सकती हैं।

किसी सदिश के साथ डाइएडिक का डॉट उत्पाद और सदिश मान देता है, और इसके परिणामस्वरूप डॉट उत्पाद लेने से डायाडिक से प्राप्त स्केलर प्राप्त होता हैं। किसी दिए गए डायाडिक का अन्य सदिशों पर पड़ने वाले प्रभावों के अप्रत्यक्ष भौतिक या ज्यामितीय व्याख्या को प्रदान कर सकता हैं।

डाइएडिक संकेतन पहली बार 1884 में योशिय्याह विलार्ड गिब्स द्वारा स्थापित किया गया था। संकेतन और शब्दावली आज अपेक्षाकृत अप्रचलित हैं। भौतिकी में इसके उपयोग में सातत्य यांत्रिकी और विद्युत चुंबकत्व सम्मिलित रहते हैं।

इस लेख में अपर-केस बोल्ड वेरिएबल्स डायाडिक्स (डाइड्स सहित) को दर्शाते हैं जबकि लोअर-केस बोल्ड वेरिएबल्स वैक्टर को दर्शाते हैं। वैकल्पिक संकेतन क्रमशः डबल और सिंगल ओवर- या अंडरबार्स का उपयोग करता है।

परिभाषाएं और शब्दावली

डायाडिक, बाहरी और टेंसर उत्पाद

एक रंगद टेन्सर क्रम दो और टेंसर रैंक का टेन्सर है, और दो यूक्लिडियन वैक्टर (सामान्य रूप से जटिल वैक्टर) का डायाडिक उत्पाद है, जबकि डाइएडिक टेंसर क्रम दो का सामान्य टेन्सर प्राप्त होते हैं (जो पूर्ण रैंक हो सकता है या नहीं इस बात का ध्यान रखा जाता हैं)।

इस उत्पाद के लिए कई समतुल्य शब्द और संकेतन होते हैं:

• दो सदिशों का 'डाइडिक गुणनफल $\mathbf {a} \mathbf {b}$ ' जिसे $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ द्वारा निरूपित किया जाता है (जुड़े हुए; कोई प्रतीक नहीं, गुणन चिह्न, क्रॉस, बिंदु, आदि)।
• दो कॉलम सदिश का बाहरी उत्पाद $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ के रूप में निरूपित और परिभाषित किया गया है, इस प्रकार $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ या $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}$, जहाँ ${\mathsf {T}}$ तात्पर्य खिसकाना हैं,
• दो वैक्टर का टेंसर उत्पाद $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ के $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ निरूपित किया जाता है।

डायाडिक संदर्भ में उन सभी की ही परिभाषा और अर्थ है, और समानार्थक रूप से उपयोग किया जाता है, चूंकि टेन्सर उत्पाद शब्द के अधिक सामान्य और अमूर्त उपयोग का उदाहरण है।

डिराक का ब्रा-केट संकेतन डाईएड्स और डाइएडिक्स के उपयोग को सहज रूप से स्पष्ट करता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष

समतुल्य उपयोग को स्पष्ट करने के लिए, त्रि-आयामी स्थान पर विचार करें, इस प्रकार त्रि-आयामी यूक्लिडियन क्षेत्र के लिए मान लें:

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}$

दो वैक्टर बनें जहां i, j, k (इसे E₁ E₂,E₃ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस सदिश अंतरिक्ष में मानक आधार वैक्टर रहते हैं (कार्टेशियन निर्देशांक भी देखें)। फिर a और b के डायडिक उत्पाद को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}$

या पंक्ति और स्तंभ सदिशों से विस्तार द्वारा, 3×3 आव्यूह के रूप में प्रदर्शित होता हैं ( इस प्रकार ए और बी के बाहरी उत्पाद या टेन्सर उत्पाद का परिणाम भी सम्मिलित रहता हैं):

$\mathbf{a}\mathbf{b}\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathbf{a}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathbf{b}\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathbf{a}\mathbf{b}}^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right)=(\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_{}\end{array}$