ट्रंकेशन त्रुटि

For other uses, see ट्रंकेशन त्रुटि (संख्यात्मक एकीकरण).

संख्यात्मक विश्लेषण और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में, ट्रंकेशन त्रुटि गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाने के कारण हुई त्रुटि है।

उदाहरण

अनंत श्रृंखला

$e^{x}$ के लिए योग अनंत श्रृंखला द्वारा दिया जाता है

$$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$$

वास्तव में, इन शब्दों में केवल सीमित संख्या का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि इन सभी का उपयोग करने के लिए अनंत मात्रा में कम्प्यूटेशनल समय लगेगा। तो मान लीजिए श्रृंखला में केवल तीन शब्दों का उपयोग करते हैं, जो इस प्रकार है:

$$e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}$$

इस स्थिति में, ट्रंकेशन त्रुटि है

${\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

उदाहरण ए:

निम्नलिखित अनंत श्रृंखला को देखते हुए, x = 0.75 के लिए ट्रंकेशन त्रुटि ज्ञात की जाती है, यदि श्रृंखला के केवल पूर्व तीन शब्दों का उपयोग किया जाता है।

$$S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.$$

समाधान

श्रंखला के केवल प्रथम तीन पदों का प्रयोग करने पर प्राप्त होता है, जो इस प्रकार है:

$${\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}$$

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का योग है:

$$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1$$

जो इस प्रकार है:

$$S={\frac {a}{1-r}}$$

श्रृंखला के लिए, a = 1 और r = 0.75, है:

$$S={\frac {1}{1-0.75}}=4$$

ट्रंकेशन त्रुटि इसलिए है

$$\mathrm {TE} =4-2.3125=1.6875$$

अवकलन

फलन के त्रुटिहीन व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा दी गई है

$$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

चूँकि, यदि हम संख्यात्मक रूप से व्युत्पन्न की गणना कर रहे हैं, $h$ परिमित होना है। चयन में त्रुटि के कारण $h$ परिमित होना विभेदीकरण की गणितीय प्रक्रिया में ट्रंकेशन त्रुटि है।

उदाहरण ए:

$f(x)=5x^{3}$ के प्रथम अवकलज की गणना में ट्रंकेशन ज्ञात कीजिए, $x=7$ के चरण आकार में $h=0.25$ का उपयोग करना:

समाधान:

$f(x)=5x^{3}$ का प्रथम व्युत्पन्न है:

$$f'(x)=15x^{2},$$

और कम से $x=7$,

$$f'(7)=735.$$

अनुमानित मूल्य द्वारा दिया गया है:

$$f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625$$

ट्रंकेशन त्रुटि इसलिए है:

$$\mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625$$

समाकलन

किसी फलन के त्रुटिहीन अभिन्न की परिभाषा $f(x)$ से $a$ को $b$ निम्नानुसार दिया गया है।

जहाँ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ अंतराल (गणित) शब्दावली पर परिभाषित फलन हो $[a,b]$ वास्तविक संख्याओं में से, $\mathbb {R}$, और

$$P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},$$

I का अंतराल का विभाजन हो, जहां

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.$$

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}$$

जहां $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ और $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$.

इसका तात्पर्य यह है कि अनंत आयतों का उपयोग करके वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं। चूँकि, यदि संख्यात्मक रूप से अभिन्न की गणना कर रहे हैं, तो केवल आयतों की सीमित संख्या का उपयोग कर सकते हैं। आयतों की अनंत संख्या के विपरीत परिमित संख्या के चयन के कारण होने वाली त्रुटि समाकलन की गणितीय प्रक्रिया में ट्रंकेशन त्रुटि है।

उदाहरण ए.

अभिन्न के लिए

$$\int _{3}^{9}x^{2}{dx}$$

ट्रंकेशन त्रुटि को ज्ञात किया जाता है यदि दो-खंड बाएं हाथ के रीमैन योग का उपयोग खंडों की समान चौड़ाई के साथ किया जाता है।

समाधान

हमारे पास त्रुटिहीन मूल्य है

$${\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}$$

वक्र के अंतर्गत क्षेत्र (चित्र 2 देखें) को अनुमानित करने के लिए समान चौड़ाई के दो आयतों का उपयोग करना, अभिन्न का अनुमानित मूल्य है:

$${\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\text{Truncation Error}}&={\text{Exact Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}$$

कभी-कभी, त्रुटिपूर्ण रूप से, राउंड-ऑफ त्रुटि (कंप्यूटर पर परिमित त्रुटिहीन अस्थायी बिंदु नंबरों का उपयोग करने का परिणाम) को ट्रंकेशन त्रुटि भी कहा जाता है, प्रायः यदि संख्या को विभक्त करके गोल किया जाता है। यह ट्रंकेशन त्रुटि का उत्तम उपयोग नहीं है; चूँकि किसी संख्या को छोटा करना स्वीकार्य हो सकता है।

जोड़

ट्रंकेशन त्रुटि का कारण बन सकता है $(A+B)+C\neq A+(B+C)$ जब कंप्यूटर में $A=-10^{25},B=10^{25},C=1$ क्योंकि $(A+B)+C=(0)+C=1$ (जैसा होना चाहिए), जबकि $A+(B+C)=A+(B)=0$. यहाँ, $A+(B+C)$ ट्रंकेशन त्रुटि 1 के समान है। यह ट्रंकेशन त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि कंप्यूटर अधिक बड़े पूर्णांक को कम से कम महत्वपूर्ण अंकों को संग्रहीत नहीं करते हैं।

यह भी देखें

• परिमाणीकरण त्रुटि

संदर्भ

• Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, p. 20, ISBN 978-0-471-50023-0
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 1, ISBN 978-0-387-95452-3.