टोडा दोलक

भौतिकी में, दोलक एक विशेष प्रकार का अरैखिक दोलक है। यह आस-पास के घातीय संभावित संपर्क वाले कणों के बीच की एक श्रृंखला का निर्माण करता हैं । इन अवधारणाओं का नामकरण मोरिकाज़ु टोडा ने किया हैं। टोडा दोलक का उपयोग स्व-स्पंदन की घटना को समझने के लिए एक सरल प्रणाली के रूप में किया जाता है, जो क्षणिक शासन में एक ठोस-अवस्था वाले लेजर की बाहरी तीव्रता का अर्ध-आवधिक स्पंदन है।

परिभाषा

टोडा दोलक किसी भी मूल की एक गतिशील प्रणाली है, जिसे आश्रित समन्वय$~x~$और स्वतंत्र समन्वय $~z~$ के साथ वर्णित किया जाता हैं, विशेष रूप से स्वतंत्र समन्वय के साथ विकास $~z~$ समीकरण से आकलन किया जाता हैं

${\frac {{\rm {d^{2}}}x}{{\rm {d}}z^{2}}}+D(x){\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}+\Phi '(x)=0,$

जहाँ

$~D(x)=ue^{x}+v~$, $~\Phi (x)=e^{x}-x-1~$, तथा अभाज्य, व्युत्पन्न को दर्शाता है।

भौतिक अर्थ

स्वतंत्र समन्वय $~z~$ समय का बोध है। वास्तव में, यह समय$~t~$के साथ अनुक्रमानुपाती होता हैं, जैसे सम्बन्ध$~z=t/t_{0}~$, जहाँ $~t_{0}~$निश्चित होता हैं।

अवकलन$~{\dot {x}}={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}$ निर्देशांक x के साथ कण के वेग का बोध होता हैं; तब $~{\ddot {x}}={\frac {{\rm {d}}^{2}x}{{\rm {d}}z^{2}}}~$ का त्वरण के रूप में व्याख्या की जा सकती है; और ऐसे कण का द्रव्यमान 1 के बराबर होता है।

विघटनकारी फलन$~D~$ गति-आनुपातिक घर्षण के गुणांक का बोध होता हैं।

सामान्यतया, दोनों प्राचलो$~u~$और$~v~$धनात्मक होता हैं; तो यह गति-आनुपातिक घर्षण गुणांक समन्वय$~x~$का वृहद् धनात्मक मान लगातार बढ़ता जाता हैं।

संभाव्यता $~\Phi (x)=e^{x}-x-1~$निश्चित फंक्शन है, जो समकक्ष$~x~$के बड़े धनात्मक मूल्यों पर घातीय वृद्धि भी दर्शाता है .

लेजर भौतिकी के अनुप्रयोग में,$~x~$लेजर कैविटी में फोटॉनों की संख्या के लघुगणक का बोध हो सकता है, जो इसके स्थिर-अवस्था मूल्य से संबंधित है। फिर, ऐसे लेसर की उत्पादन शक्ति के समानुपाती होती है$~\exp(x)~$और के दोलन पर स्पंदन दिखा सकता है $~x~$.

टोडा दोलक के व्यवहार के विश्लेषण में एकता द्रव्यमान कण और फोटॉन की संख्या के लघुगणक के साथ दोनों समानताएं उपयोगी हैं।

ऊर्जा

बहुत काम ही, दोलन केवल $~u=v=0~$समय-समय पर होता है| वास्तव में, स्व-स्पंदन करने वाले लेजर के रूप में टोडा दोलक की प्राप्ति में, इन$~10^{-4}~$मापदंडों के क्रम के मूल्य हो सकते हैं; कई स्पंदों के समय, स्पंदन का आयाम अत्यधिक परिवर्तित नहीं होता है। इस कथन में, हम कार्य के बाद से स्पंदन की आवृत्ति के बारे में बात कर सकते हैं $~x=x(t)~$लगभग आवधिक है।

यदि $~u=v=0~$,दोलन$~z~$की ऊर्जा $~E={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}\right)^{2}+\Phi (x)~$ पर निर्भर नहीं है, और गति के स्थिरांक के रूप में माना जा सकता है। फिर, स्पंदन की अंतराल के समय, $~x~$और$~z~$के बीच संबंध विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

$z=\pm \int _{x_{\min }}^{x_{\max }}\!\!{\frac {{\rm {d}}a}{{\sqrt {2}}{\sqrt {E-\Phi (a)}}}}$

जहाँ$~x_{\min }~$ और $~x_{\max }~$ के न्यूनतम और अधिकतम मान $~x~$हैं ; यह समाधान $$