ज्या नियम

ज्या का नियम

File:Law of sines in plane trigonometry-20201220.svg

चित्र 1, परिवृत्त के साथ

File:Law of sines (simple).svg

चित्र 2, परिवृत्त के बिना

ज्या के नियम के घटकों के साथ लेबल किए गए दो त्रिकोण α, β और γ बड़े A, B पर शीर्षों से जुड़े कोण हैं, और C, क्रमशः लोअर-केस a, b, और c उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई हैं। (a, α, आदि के विपरीत है।)

[[त्रिकोणमिति]] में, ज्या का नियम, ज्या नियम, ज्या सूत्र, या साइन नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को उसके कोणों की ज्या से संबंधित समीकरण के रूप में संदर्भित करता है। नियम के अनुसार,

$${\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,$$

जहाँ a, b, और c एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं, और α, β, और γ विपरीत कोण हैं (आकृति 2 देखें), जबकि R त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या है। जब समीकरण के अंतिम भाग का उपयोग नहीं किया जाता है, तो नियम को कभी-कभी गुणक व्युत्क्रम का उपयोग करके कहा जा सकता है;

$${\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.$$

ज्या के नियम का उपयोग त्रिभुज की शेष भुजाओं की गणना करने के लिए किया जा सकता है जब दो कोण और एक भुजा ज्ञात हो—एक तकनीक जिसे त्रिभुजन के रूप में जाना जाता है। इसका उपयोग तब भी किया जा सकता है जब दो भुजाएँ और एक असंबद्ध कोण ज्ञात हो। ऐसे कुछ सन्दर्भों में, त्रिभुज इस डेटा द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है (जिसे अस्पष्ट परिस्थिति कहा जाता है) और तकनीक संलग्न कोण के लिए दो संभावित मान देती है।

ज्या का नियम दो त्रिकोणमितीय समीकरणों में से एक है, जिसे सामान्यतः त्रिभुज प्रकार के त्रिभुज में लंबाई और कोण खोजने के लिए लागू किया जाता है, जबकि दूसरा कोज्या का नियम है।

ज्या के नियम को निरंतर वक्रता वाली सतहों पर उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

इतिहास

उबिरतन डी एम्ब्रोसियो और हेलेन सेलिन के अनुसार, ज्या के वृत्ताकार नियम की खोज 10वीं शताब्दी में हुई थी। इसे अबू-महमूद खोजंदी, अबू अल-वफा 'बुज्जानी, नासिर अल-दीन अल-तुसी और अबू नासिर मंसूर के लिए उत्तरदायी ठहराया गया है।

इब्न मुआद अल-जैअर्थात की 11वीं शताब्दी में एक गोले के अज्ञात चापों की पुस्तक में जीवाओं का सामान्य नियम सम्मिलित है। 13वीं शताब्दी में नासिर अल-दीन अल-तुसी द्वारा सीन्स के समान नियम को बाद में कहा गया था। अपने ऑन द सेक्टर चित्र में, उन्होंने समतल और गोलीय त्रिभुजों के लिए ज्या के नियम को बताया, और इस नियम के लिए प्रमाण दिए।ग्लेन वान ब्रुमेलेन के अनुसार, सिन्स का नियम वास्तव में पुस्तक IV में समकोण त्रिभुजों के समाधान के लिए रेजीओमोंटानस की नींव है, और ये समाधान बदले में सामान्य त्रिकोणों के उनके समाधान के लिए आधार हैं। रेजीओमोंटानस 15वीं सदी का जर्मन गणितज्ञ था।

प्रमाण

क्षेत्र T किसी भी त्रिभुज की ऊंचाई को उसके आधार के आधे गुणा उसकी ऊंचाई के रूप में लिखा जा सकता है। त्रिभुज की एक भुजा को आधार के रूप में चुनते हुए, उस आधार के सापेक्ष त्रिभुज की ऊँचाई की गणना चुनी हुई भुजा और आधार के बीच के कोण की ज्या की दूसरी भुजा की लंबाई के रूप में की जाती है। इस प्रकार आधार के चयन के आधार पर, त्रिभुज का क्षेत्रफल इनमें से किसी भी रूप में लिखा जा सकता है:

$$T={\frac {1}{2}}b\left(c\sin {\alpha }\right)={\frac {1}{2}}c\left(a\sin {\beta }\right)={\frac {1}{2}}a\left(b\sin {\gamma }\right).$$

इनका गुणा करके 2/abc निर्गत करता है

$${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin {\alpha }}{a}}={\frac {\sin {\beta }}{b}}={\frac {\sin {\gamma }}{c}}\,.$$

त्रिभुज समाधान का अस्पष्ट परिस्थिति

ज्या के नियम का उपयोग करते हुए त्रिभुज की एक भुजा का पता लगाना, एक अस्पष्ट परिस्थिति तब होता है जब दिए गए डेटा से दो अलग-अलग त्रिभुज बनाए जा सकते हैं (अर्थात, त्रिभुज के दो अलग-अलग संभावित समाधान हैं)। नीचे दिखाए गए परिस्थिति में वे त्रिभुज ABC और ABC′ हैं।

सीधा = 3एक सामान्य त्रिकोण को देखते हुए, परिस्थिति अस्पष्ट होने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

• त्रिभुज के बारे में केवल ज्ञात जानकारी α कोण है, और भुजा a और c.
• कोण α कोण है, कोणों के प्रकार (अर्थात, α <90 डिग्री)।
• भुजा a भुजा c से छोटा है (अर्थात, a < c).
• भुजा a ऊंचाई h से अधिक लंबा है, कोण से β, जहाँ h = c sin α (अर्थात, a > h).

यदि उपरोक्त सभी शर्तें सत्य हैं, तो प्रत्येक कोण β और β′ एक वैध त्रिभुज उत्पन्न करता है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित दोनों सत्य हैं:

$${\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.$$

वहां से हम संबंधित पा सकते हैं β और b या β′ और b′ यदि आवश्यक हो, जहां b शीर्षों से घिरा भुजा है A और C और b′ से A और C′ घिरा हुआ है।

उदाहरण

ज्या के नियम का उपयोग करके किसी समस्या को कैसे हल किया जाए, इसके उदाहरण निम्नलिखित हैं।

उदाहरण 1

File:Law of sines (example 01).svg

उदाहरण 1

दिया गया: भुजा a = 20, भुजा c = 24, और कोण γ = 40°. कोण α वांछित है।

ज्या के नियम का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

$${\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.$$

$$\alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.$$

ध्यान दें कि संभावित समाधान α = 147.61° बाहर रखा गया है क्योंकि वह अनिवार्य रूप से α + β + γ > 180° देगा।

उदाहरण 2

File:Law of sines (example 02).svg

उदाहरण 2

यदि त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई a और b के बराबर हैं x, तीसरी भुजा की लंबाई है, और c लंबाई की भुजाओं के विपरीत कोण a, b, और c हैं α, β, और γ क्रमशः तब

$${\displaystyle {\begin{aligned}&$$