जॉर्डन आव्यूह

आव्यूह (गणित) के गणित अनुशासन में, जॉर्डन आव्यूह, जिसका नाम केमिली जॉर्डन के नाम पर रखा गया है, इस प्रकार वलय (गणित) के ऊपर ब्लॉक आव्यूह है R (जिसका पहचान तत्व 0 (संख्या) 0 और 1 (संख्या) 1 है), जहां विकर्ण के साथ प्रत्येक ब्लॉक, जिसे जॉर्डन ब्लॉक कहा जाता है, निम्न रूप है:

$${\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.$$

परिभाषा

प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक को उसके आयाम n और उसके इगेनवैल्यू द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है , और $\lambda \in R$ के रूप में दर्शाया गया है यह J_λ,n है $n\times n$ विकर्ण को छोड़कर प्रत्येक समिष्ट शून्य का आव्यूह, जो $\lambda$ भरा हुआ है जो अतिविकर्ण से बना है।

कोई भी ब्लॉक विकर्ण आव्यूह जिसके ब्लॉक जॉर्डन ब्लॉक हैं उसे जॉर्डन आव्यूह कहा जाता है। इस प्रकार यह (n₁ + ⋯ + n_r) × (n₁ + ⋯ + n_r) वर्ग आव्यूह, से मिलकर r विकर्ण ब्लॉकों को सघन रूप $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}$ या $\mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)$ से दर्शाया जा सकता है , जहां i-th J_λi,ni जॉर्डन ब्लॉक है .

उदाहरण के लिए, आव्यूह

$$J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]$$

10 × 10 जॉर्डन आव्यूह A के साथ 3 × 3 इगेनवैल्यू के साथ ब्लॉक करें 0, दो 2 × 2 काल्पनिक इकाई को इगेनवैल्यू i के साथ ब्लॉक करता है , और A 3 × 3 इगेनवैल्यू 7 के साथ ब्लॉक इसकी जॉर्डन-ब्लॉक संरचना या तो $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$ या diag(J_0,3, J_i,2, J_i,2, J_7,3).लिखी गई है

रेखीय बीजगणित

कोई n × n वर्ग आव्यूह A जिनके तत्व बीजगणितीय रूप से संवर्त क्षेत्र में हैं K जॉर्डन आव्यूह J, मे भी $\mathbb {M} _{n}(K)$ के समान आव्यूह है, इस प्रकार जो अपने विकर्ण ब्लॉकों के क्रम परिवर्तन तक अद्वितीय है। इस प्रकार J को जॉर्डन A का सामान्य रूप कहा जाता है और विकर्णीकरण प्रक्रिया के सामान्यीकरण से मेल खाता है। विकर्णीय आव्यूह, वास्तव में, जॉर्डन आव्यूह के विशेष स्थिति के समान है: वह आव्यूह 1 × 1 जिसके सभी ब्लॉक हैं .

अधिक सामान्यतः, जॉर्डन आव्यूह $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$ दिया गया है , अर्थात्, किसका kवां विकर्ण ब्लॉक, $1\leq k\leq N$, जॉर्डन ब्लॉक J_λk,mk है और जिनके विकर्ण तत्व $\lambda _{k}$ सभी अलग-अलग नहीं हो सकते है, ज्यामितीय बहुलता $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->$