जैकोबी रोटेशन

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में, जैकोबी रोटेशन n-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के 2-आयामी रैखिक(गणित) उप-स्थान का रोटेशन Q_kℓ है, A तब समान आव्युह के रूप में प्रयुक्त किया जाता है | जब n × n वास्तविक संख्या सममित आव्युह, की ऑफ-मेन विकर्ण प्रविष्टियों की सममित जोड़ी को शून्य करने के लिए चुना जाता है,

$A\mapsto Q_{k\ell }^{T}AQ_{k\ell }=A'.\,\!$

${\begin{bmatrix}{*}&&&\cdots &&&*\\&\ddots &&&&&\\&&a_{kk}&\cdots &a_{k\ell }&&\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\&&a_{\ell k}&\cdots &a_{\ell \ell }&&\\&&&&&\ddots &\\{*}&&&\cdots &&&*\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}{*}&&&\cdots &&&*\\&\ddots &&&&&\\&&a'_{kk}&\cdots &0&&\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\&&0&\cdots &a'_{\ell \ell }&&\\&&&&&\ddots &\\{*}&&&\cdots &&&*\end{bmatrix}}.$

यह जैकोबी आइजेनवैल्यू एल्गोरिथम में मुख्य ऑपरेशन है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर है और समानांतर प्रोसेसर पर कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त है। .

केवल A की पंक्तियाँ k और ℓ और कॉलम k और ℓ से प्रभावित होंगे, और वह A′ सममित रहता हैं इसके अतिरिक्त , Q_kℓ के लिए स्पष्ट आव्युह इसकी गणना संभवतः ही कभी की जाती है; इसके अतिरिक्त, सहायक मानों की गणना की जाती है और A को कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर विधियों से अद्यतन किया जाता है। चूँकि, संदर्भ के लिए, हम आव्युह को इस प्रकार लिख सकते हैं

$Q_{k\ell }={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&0&\\&&c&\cdots &s&&\\&&\vdots &\ddots &\vdots &&\\&&-s&\cdots &c&&\\&0&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}.$

अर्थात् Q_kℓ की चार प्रविष्टियों को छोड़कर इसकी पहचान आव्युह होती है, तथा दोनों विकर्ण पर q_kk और q_ℓℓ, दोनों c के समान हैं) और दो सममित रूप से विकर्ण से दूर रखे गए (q_kℓ और q_ℓk, क्रमशः s और −s के समान ) होते हैं। यहां कुछ कोण θ के लिए c=cosθ और s=sinθ किन्तु रोटेशन प्रयुक्त करने के लिए कोण की ही आवश्यकता नहीं होती है। क्रोनकर डेल्टा नोटेशन का उपयोग करके, आव्युह प्रविष्टियाँ लिखी जा सकती हैं

$q_{ij}=\delta _{ij}+(\delta _{ik}\delta _{jk}+\delta _{i\ell }\delta _{j\ell })(c-1)+(\delta _{ik}\delta _{j\ell }-\delta _{i\ell }\delta _{jk})s.\,\!$

मान लीजिए h, k या ℓ के अतिरिक्त सूचकांक है (जो स्वयं भिन्न होना चाहिए)। फिर समानता अद्यतन, बीजगणितीय रूप से, उत्पन्न करता है

$a'_{hk}=a'_{kh}=ca_{hk}-sa_{h\ell }\,\!$

$a'_{h\ell }=a'_{\ell h}=ca_{h\ell }+sa_{hk}\,\!$

$a_{k\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\prime }=$