जटिल विभेदक रूप

गणित में, सम्मिश्र विभेदक रूप मैनिफोल्ड (सामान्यतः सम्मिश्र मैनिफोल्ड) पर विभेदक रूप होता है जिसमें सम्मिश्र संख्या गुणांक रखने की अनुमति होती है।

विभेदक ज्यामिति में सम्मिश्र रूपों का व्यापक अनुप्रयोग होता है और सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स पर, वे मौलिक हैं और अधिकांश बीजगणितीय ज्यामिति, काहलर मीट्रिक काहलर ज्यामिति और हॉज सिद्धांत के आधार के रूप में कार्य करते रहते हैं।इस प्रकार गैर-सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स पर, वे लगभग सम्मिश्र संरचनाओं, स्पिनरों के सिद्धांत और सीआर संरचनाओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते रहते हैं।

सामान्यतः, कुछ वांछनीय अपघटन के कारण सम्मिश्र रूपों पर विचार किया जाता है जिन्हें प्रपत्र स्वीकार करते हैं। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र मैनिफ़ोल्ड पर, किसी भी सम्मिश्र k-रूप को विशिष्ट रूप से तथाकथित (P, Q)-रूप के योग में विघटित किया जा सकता है: इस प्रकार सामान्यतः, K वेजेस P होलोमोर्फिक का बाहरी व्युत्पन्न उनके सम्मिश्र संयुग्मों के Q विभेदक के साथ समन्वय करता रहता है। और (P, Q)-रूपों का समूह अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, इस तरह K-रूपों की तुलना में मैनिफोल्ड उत्तम ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, ऐसे स्थितियों में जहां हॉज सिद्धांत प्रयुक्त होता है, वहाँ पर और भी उत्तम संरचनाएं उपस्थितहोती हैं|

मान लीजिए कि M सम्मिश्र आयाम N का एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड होता है। और फिर स्थानीय समन्वय प्रणाली होती है इस प्रकार जिसमें N सम्मिश्र-मूल्य वाले फलन z¹, ..., zⁿ सम्मिलित होते हैं जैसे कि एक पैच से दूसरे पैच में समन्वय संक्रमण इन चर के होलोमोर्फिक फलन होते हैं। और सम्मिश्र रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मूल रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य केवल सुचारू होने के अतिरिक्त होलोमोर्फिक भी होते हैं|

एकरूप

हम एकरूप के स्थितियों से प्रारम्भ करते हैं।और सबसे पहले सम्मिश्र निर्देशांकों को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करते हैं:और z^j = x^j + iy^j प्रत्येक j के लिए दे सकते हैं |

$dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},$

इस प्रकार कोई देखता है कि सम्मिश्र गुणांक वाले किसी भी विभेदक रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है|

$\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).$

केवल युक्त सम्मिश्र विभेदक रूपों का स्थान होता है| $dz$'s और Ω^0,1 केवल युक्त प्रपत्रों का स्थान $d{\bar {z}}$'s हो। इस प्रकार कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा कोई यह दिखा सकता है कि रिक्त स्थान Ω^1.0और Ω^0,1होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के अनुसार स्थिर होता हैं। और दूसरे शब्दों में, यदि कि भि कि विकल्प चुनता है_i तो होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प चुनता हैं, तो Ω^1,0 के अवयव टेंसरीली रूपांतरित होते हैं जैसे Ω^0,1 के अवयवों की तरह करते रहते है| इस प्रकार रिक्त स्थान Ω^0.1और Ω^1,0 सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर सम्मिश्र सदिश बंडल निर्धारित करते हैं ।

उच्च-डिग्री फॉर्म

सम्मिश्र विभेदक रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों की तरह ही परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि p और q गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों ≤ n का युग्म होता है।

(p, q)-रूपों का स्थान Ω^p,q , Ω^1,0 से p अवयवों और Ω^0,1 से q अवयवों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है।

$\Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}$

जहां Ω^1,0 के p कारक और Ω^0,1 के q कारक होते हैं। 1-रूपों के दो स्थानों की तरह हैं, इस प्रकार ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों की अनुसार स्थिर होते हैं, और इसलिए यह सदिश बंडलों का निर्धारण करते हैं।

यदि E^k की कुल डिग्री k के सभी सम्मिश्र विभेदक रूपों का स्थान होता है, इस प्रकार फिर E^k का प्रत्येक अवयव को रिक्त स्थान Ω^p,q के बीच से अवयवों के रैखिक संयोजन के रूप में p + q = k के साथ एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। और ये अधिक संक्षेप में, प्रत्यक्ष योग का अपघटन है|

$E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.$

क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के अनुसार स्थिर होता है, और यह सदिश बंडल के अपघटन को भी निर्धारित करता है। इसलिए

विशेष रूप से,यह प्रत्येक k और प्रत्येक p और q के लिए p + q = k के साथ, सदिश बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण होता है|

$\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.$

डॉल्बुल्ट ऑपरेटर्स

सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है और इसके $d:{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^r\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{}$