चार-सदिश

Not to be confused with पी-सदिश.

विशेष सापेक्षता में, एक चतुर्विम-सदिश (या 4-सदिश) एक प्रकार की वस्तु है जिसके चार घातक होते है, जिसका रूपांतरण लोरेंत्ज़ रूपांतरणों के अधीन विशिष्ट रूप से किया जाता है। विशेष रूप से, चतुर्विम-सदिश एक चतुर्विमीय सदिश समष्टि का एक भाग या अंश होता है जिसे लोरेंत्ज़ समूह के मानक निरूपण का निरूपण समष्टि, (1/2,1/2) निरूपण के रूप में माना जाता है। यह यूक्लिडियन सदिश से भिन्न होता है कि इसका परिमाण कैसे निर्धारित किया जाता है। इस परिमाण को संरक्षित करने वाले रूपांतरण लोरेंत्ज़ रूपांतरण कहलाते हैं, जिसमें स्थानिक घूर्णन और बूस्ट सम्मिलित होते हैं (एक नियत वेग द्वारा एक अन्य जड़त्वीय निर्देश तंत्र में परिवर्तन)। 

चतुर्विम-सदिश वर्णन करते हैं, किसी अवस्था के लिए, मिंकोव्स्की समष्टि के रूप में मॉडल किए गए दिक्काल में स्थिति x^μ, एक कण का चतुर्विम-संवेग p^μ, दिक्काल में बिंदु x पर विद्युत चुम्बकीय चतुर्विम-विभव A^μ(x) का आयाम, और डायराक बीजगणित के अंतर्गत गामा आव्यूहों द्वारा विस्तरित उपसमष्‍टि के तत्व है।

लोरेंत्ज़ समूह को 4×4 आव्यूह Λ द्वारा दर्शाया जा सकता है। प्रविष्टियों में किसी जड़त्वीय तंत्र के संबंध में कार्तीय निर्देशांक के साथ एक स्तंभ सदिश के रूप में माने जाने वाले एक सामान्य प्रतिपरिवर्ती चतुर्विम-सदिश X (ऊपर दिए गए उदाहरणों की तरह) पर लोरेंत्ज़ रूपांतरण की क्रिया, निम्न द्वारा दी गई है

$$X'=\Lambda X,$$

(आव्यूह गुणा) जहाँ प्राथमिक वस्तु के घटक नए तंत्र को संदर्भित करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरणों से संबंधित जो प्रतिपरिवर्ती सदिशों के रूप में दिए गए हैं, सहसंयोजक सदिश x_μ, p_μ और A_μ(x) भी हैं। ये नियमानुसार परिवर्तित होते हैं

$$X'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\textrm {T}}X,$$

जहाँ ^T आव्यूह पक्षांतर को दर्शाता है। यह नियम ऊपर दिए गए नियम से अलग है। यह मानक निरूपण के द्वैत निरूपण के अनुरूप होता है। हालाँकि, लोरेंत्ज़ समूह के लिए किसी भी निरूपण का द्वैत मूल निरूपण के बराबर है। इस प्रकार सहसंयोजक सूचकांकों वाली वस्तुएँ चतुर्विम-सदिश भी हैं।

विशेष सापेक्षता में एक शिष्ट चतुर्विम घटक वस्तु के उदाहरण के लिए, जो कि चतुर्विम-सदिश नहीं है, बिस्पिनर देखें। इसे समान रूप से परिभाषित किया गया है, अंतर यह है कि लोरेंत्ज़ रूपांतरणों के तहत रूपांतरण नियम मानक निरूपण के अलावा अन्य निरूपण द्वारा दिया जाता है। इस स्थिति में, नियम X′ = Π(Λ)X पढ़ता है, जहाँ Π(Λ) Λके अलावा 4×4 आव्यूह है। इसी तरह की टिप्पणी उन वस्तुओं पर लागू होती है जिनमें कम या अधिक घटक होते हैं जो लोरेंत्ज़ रूपांतरणों के तहत अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं। इनमें अदिश, स्पिनर, टेंसर और स्पिनोर-टेंसर सम्मिलित हैं।

लेख विशेष सापेक्षता के संदर्भ में चतुर्विम-सदिशों पर विचार करता है। हालांकि चतुर्विम-सदिश की अवधारणा सामान्य सापेक्षता तक भी फैली हुई है, इस लेख में बताए गए कुछ परिणामों में सामान्य सापेक्षता में संशोधन की आवश्यकता है।

संकेतन

इस लेख में संकेतन हैं: त्रि-विमीय सदिश के लिए नीचे लिखे छोटे धृष्ट अक्षर (लोअरकेस), त्रि-विमीय इकाई सदिश के लिए हैट, चतुर्विमीय सदिश के लिए बड़े धृष्ट अक्षर (चतुर्विम-प्रवणता को छोड़कर), और टेंसर सूचक संकेतन।

चतुर्विम-सदिश बीजगणित

वास्तविक-मूल्यवान बेसिस में चतुर्विम-सदिश

एक चतुर्विम-सदिश A एक "काल सदृश" घटक और तीन "स्पेसलाइक" घटकों वाला एक सदिश है, और इसे विभिन्न समकक्ष संकेतन में लिखा जा सकता है:

$${\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\\&=A^{\mu }\end{aligned}}$$

जहाँ अंतिम रूप में परिमाण घटक और बेसिस सदिश को एक ही भाग में जोड़ा गया है।

ऊपरी सूचकांक प्रतिपरिवर्ती घटकों को दर्शाते हैं। यहाँ मानक परिपाटी यह है कि लैटिन सूचकांक स्थानिक घटकों के लिए मान लेते हैं, ताकि i = 1, 2, 3, और यूनानी सूचकांक स्थान और समय घटकों के लिए मान लें, इसलिए α = 0, 1, 2, 3, योग सम्मेलन के साथ उपयोग किया जाता है। समय घटक और स्थानिक घटकों के बीच विभाजन अन्य टेन्सर मात्राओं के साथ एक चार सदिश के संकुचन का निर्धारण करते समय उपयोगी होता है, जैसे कि आंतरिक गुणनफलों में लोरेंत्ज़ अचर की गणना के लिए (उदाहरण नीचे दिए गए हैं), या सूचकांकों को ऊपर उठाना और कम करना।

विशेष सापेक्षता में, स्पेसलाइक बेसिस E₁, E₂, E₃ और घटक A¹, A², A³ प्रायः कार्तीय बेसिस और घटक होते हैं:

$${\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}$$

हालाँकि, अवश्य ही, किसी अन्य बेसिस और घटकों का उपयोग किया जा सकता है, जैसे गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}& =\left(A_t,A_r,A_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}},A_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}\right)\\ & =A_t{\mathbf{E}}_t+A_r{\mathbf{E}}_r+{}_{}\end{array}$$