चरघातांकी बंटन

Not to be confused with संभाव्यता वितरण का घातीय परिवार.

Exponential

Probability density function plot of the probability density function of the exponential distribution
Cumulative distribution function Cumulative distribution function
Parameters	$\lambda >0,$ rate, or inverse scale
Support	$x\in [0,\infty )$
PDF	$\lambda e^{-\lambda x}$
CDF	$1-e^{-\lambda x}$
Quantile	$-{\frac {\ln(1-p)}{\lambda }}$
Mean	${\frac {1}{\lambda }}$
Median	${\frac {\ln 2}{\lambda }}$
Mode	$0$
Variance	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Skewness	$2$
Ex. kurtosis	$6$
Entropy	$1-\ln \lambda$
MGF	${\frac {\lambda }{\lambda -t}},{\text{ for }}t<\lambda$
CF	${\frac {\lambda }{\lambda -it}}$
Fisher information	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Kullback-Leibler divergence	$\ln {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1$

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, चरघातांकी बंटन या नकारात्मक चरघातांकी बंटन एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया में घटनाओं के बीच समय का संभाव्यता बंटन है, अर्थात, एक प्रक्रिया जिसमें घटनाएं लगातार और स्वतंत्र रूप से एक स्थिर औसत दर पर होती हैं। यह गामा बंटन का एक विशेष मामला है। यह ज्यामितीय बंटन का निरंतर अनुरूप है, और इसमें स्मृतिहीन होने का प्रमुख गुण है। पॉइसन बिंदु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने के अतिरिक्त यह विभिन्न अन्य संदर्भों में पाया जाता है।

घातीय बंटन बंटन के चरघातांकी परिवार के वर्ग के समान नहीं है। यह संभाव्यता बंटन का एक बड़ा वर्ग है जिसमें इसके सदस्यों में से एक के रूप में चरघातांकी बंटन सम्मलित है, लेकिन इसमें कई अन्य बंटन भी सम्मलित हैं, जैसे सामान्य बंटन, द्विपद बंटन, गामा बंटन और पॉइसन बंटन।

परिभाषाएँ

संभाव्यता घनत्व फलन

एक चरघातांकी बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है

$f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

यहाँ λ > 0 बंटन का मापदंड है, जिसे अधिकांशत: वेग मापदंड कहा जाता है। बंटन अंतराल पर समर्थित है[0, ∞). यदि एक यादृच्छिक चर X का यह बंटन है, तो हम लिखते हैंX ~ Exp(λ).

चरघातांकी बंटन अनंत विभाज्यता (संभावना) प्रदर्शित करता है।

संचयी बंटन फलन

संचयी बंटन फलन द्वारा दिया गया है

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

वैकल्पिक प्राचलीकरण

मापनी प्राचल के संदर्भ में चरघातांकी बंटन को कभी-कभी प्राचलीकरण किया जाता है β = 1/λ, जो माध्य भी है:

$$f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$$

गुण

माध्य, प्रसरण, चरण और माध्यिका

File:Mean exp.svg

माध्य संभाव्यता जन केंद्र है, अर्थात पहला चरण।

File:Median exp.svg

माध्यिका preimage F है⁻¹(1/2).

वेग मापदंड λ के साथ एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर X का माध्य या अपेक्षित मान इसके द्वारा दिया गया है

$$\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.$$

नीचे दिए गए उदाहरणों के आलोक में, यह समझ में आता है: यदि आप 2 प्रति घंटे की औसत दर से फोन कॉल प्राप्त करते हैं, तो आप प्रत्येक कॉल के लिए आधा घंटा प्रतीक्षा करने की अपेक्षा कर सकते हैं। X का प्रसरण किसके द्वारा दिया गया है

$$\operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},$$

इसलिए