घन पारस्परिकता

घन पारस्परिकता संख्या सिद्धांत प्राथमिक संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत में प्रमेयों का संग्रह है इस प्रकार जो उन स्थितियों को बताता है जिनके अनुसार मॉड्यूलर अंकगणित x³ ≡ p (mod q) हल करने योग्य है; "पारस्परिकता" शब्द प्रमेय के कथन के रूप से आया है, जिसमें कहा गया है कि यदि p और q आइज़ेंस्टीन पूर्णांक के वलय में प्राथमिक संख्याएं हैं, तब दोनों 3 के सहअभाज्य हैं, सर्वांगसमता x³ ≡ p (mod q) हल करने योग्य है यदि और केवल यदि x³ ≡ q (mod p) हल करने योग्य है।

इतिहास

वर्ष 1748 से कुछ समय पहले यूलर ने छोटे पूर्णांकों के घन अवशिष्ट के बारे में पहला अनुमान लगाया था, किन्तु उनकी मृत्यु के पश्चात् वर्ष 1849 तक वह प्रकाशित नहीं हुए थे।

गॉस के प्रकाशित कार्यों में घन अवशेषों और पारस्परिकता का तीन बार उल्लेख किया गया है: अंकगणितीय विवेचन (1801) में घन अवशेषों से संबंधित परिणाम है। इस प्रकार द्विघात पारस्परिकता के पांचवें और छठे प्रमाण के परिचय में (1818) उन्होंने कहा कि वह इन प्रमाणों को प्रकाशित कर रहे हैं क्योंकि उनकी विधि (क्रमशः गॉस की लेम्मा और गॉसियन रकम) को घन और द्विघात पारस्परिकता पर प्रयुक्त किया जा सकता है। इस प्रकार अंत में, द्विघात पारस्परिकता (1832) पर दूसरे (दो में से) मोनोग्राफ के फ़ुटनोट में कहा गया है कि घन पारस्परिकता को आइज़ेंस्टीन पूर्णांकों के वृत्त में सबसे आसानी से वर्णित किया गया है।

उनकी डायरी और अन्य अप्रकाशित स्रोतों से, ऐसा प्रतीत होता है कि गॉस सत्र 1805 तक पूर्णांकों के घन और चतुर्थक अवशिष्टता के नियमों को जानते थे, और इस प्रकार सत्र 1814 के आसपास घन और द्विघात पारस्परिकता के पूर्ण विकसित प्रमेयों और प्रमाणों की खोज की। इनके प्रमाण उनके मरणोपरांत कागजात में पाए गए, किन्तु यह स्पष्ट नहीं है कि वह उनके हैं या आइज़ेंस्टीन के हैं।

कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने सत्र 1827 में घन अवशिष्टता के बारे में अनेक प्रमेय प्रकाशित किए, किन्तु कोई प्रमाण नहीं मिला। सत्र 1836-37 के अपने कोनिग्सबर्ग व्याख्यान में जैकोबी ने प्रमाण प्रस्तुत किये। इस प्रकार सबसे पहले प्रकाशित प्रमाण आइज़ेंस्टीन (1844) द्वारा थे।

पूर्णांक

एक घन अवशेष (mod p) पूर्णांक (mod p) की तीसरी घात के अनुरूप कोई भी संख्या है। यदि x³ ≡ a (mod p) का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है, a 'घन अवशिष्ट' (mod p) है।

जैसा कि संख्या सिद्धांत में अधिकांशतः होता है, मॉड्यूलो अभाज्य संख्याओं पर काम करना आसान होता है, इसलिए इस खंड में सभी मॉड्यूल p , q , आदि को धनात्मक , विषम अभाज्य माना जाता है।

हम पहले ध्यान दें कि यदि q ≡ 2 (mod 3) अभाज्य है तब प्रत्येक संख्या घन अवशेष मॉड्यूल q है। मान लीजिए q = 3n + 2; चूँकि 0 = 0³ स्पष्ट रूप से घन अवशेष है, मान लें कि x, q से विभाज्य नहीं है। फिर फ़र्मेट के छोटे प्रमेय द्वारा,

$x^{q}\equiv x{\bmod {q}},\qquad x^{q-1}\equiv 1{\bmod {q}}$

हमारे पास उपस्तिथ दो सर्वांगसमताओं को गुणा करना

$x^{2q-1}\equiv x{\bmod {q}}$

अभी q के लिए 3n + 2 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$x^{2q-1}=x^{6n+3}=\left(x^{2n+1}\right)^{3}.$

इसलिए, एकमात्र रोचक मामला तब है जब मापांक p ≡ 1 (mod 3) हो‚ इस स्थितियों में गैर-शून्य अवशेष वर्ग (mod p) को तीन समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, प्रत्येक में (p −1)/3 संख्याएं होती हैं। मान लीजिए e घन गैर-अवशेष है। पहला समुच्चय घन अवशेष है; दूसरा है पहले समुच्चय की संख्याओं का e गुना, और तीसरा है पहले सेट की संख्याओं का e2 गुना। इस प्रकार विभाजन का वर्णन करने की दूसरी प्रणाली यह है कि ई को आदिम मूल मॉड्यूलो एन (mod p ) माना जाए; तब पहला (सम्मान दूसरा, तीसरा) समुच्चय वह संख्याएं हैं जिनके इस मूल के संबंध में सूचकांक 0 (सम्मान 1, 2) (mod 3) के अनुरूप हैं। समूह सिद्धांत की शब्दावली में, पहला समुच्चय गुणक समूह के उपसमूह 3 के सूचकांक का उपसमूह है $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ और अन्य दो इसके सहसमुच्चय हैं।

प्राइम्स ≡ 1 (mod 3)

फ़र्मेट के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक अभाज्य p ≡ 1 (mod 3) को p = a² + 3b² के रूप में लिखा जा सकता है और (ए और बी के संकेतों को छोड़कर) यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है।

मान लीजिए m = a + b और n = a − b, हम देखते हैं कि यह p = m² − mn + n² के सामान्तर है (जो (n − m)² − (n − m)n + n² = m² + m(n − m) + (n − m)² के सामान्तर है), इसलिए m और n विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं हैं)। इस प्रकार,

${\begin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}\end{aligned}}$

और यह दिखाने के लिए सीधा अभ्यास है कि वास्तव में m, n, या m - n में से 3 का गुणज है, इसलिए

$p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}),$

और यह प्रतिनिधित्व एल और एम के संकेतों तक अद्वितीय है।

अपेक्षाकृत अभाज्य पूर्णांकों m और n के लिए 'तर्कसंगत घन अवशेष प्रतीक' को इस प्रकार परिभाषित करें

$\left[{\frac {m}{n}}\right]_{3}={\begin{cases}1&m{\text{ is a cubic residue }}{\bmod {n}}\\-1&m{\text{ is a cubic non-residue }}{\bmod {n}}\end{cases}}$

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इस प्रतीक में लीजेंड्रे प्रतीक के गुणक गुण नहीं हैं; इसके लिए, हमें नीचे परिभाषित वास्तविक घन वर्ण की आवश्यकता है।

'यूलर के अनुमान.' मान लीजिए p = a² + 3b² एक अभाज्य है। फिर निम्नलिखित होल्ड करें:

$\begin{array}{rl}{\left[\frac{2}{p}\right]}_3=1& ⟺<!--\; ⟺\; -->3\mid <!--\; \mid \; -->b\\ {\left[\frac{3}{p}\right]}_3=1& ⟺<!--\; ⟺\; -->9\mid <!--\; \mid \; -->b\text{ or }9\mid <!--\; \mid \; -->(a\pm <!--\; \pm \; -->b)\\ {\left[\frac{5}{p}\right]}_3=1& ⟺<!--\; ⟺\; -->15\mid <!--\; \mid \; -->b\text{ or }3\mid <!--\; \mid \; -->b\text{ and }5\mid <!--\; \mid \; -->a\text{ or }15\mid <!--\; \mid \; -->(a\pm <!--\; \pm \; -->b)\text{ or }15\mid <!--\; \mid \; -->(2a\pm <!--\; \pm \; -->b)\\ {\left[\frac{6}{p}\right]}_3=1& ⟺<!--\; ⟺\; -->\end{array}$