गैबोर परिवर्तन

गैबोर परिवर्तन, जिसका नाम डेनिस गैबोर के नाम पर रखा गया है, कम समय के फूरियर परिवर्तन की विशेष स्थिति है। इसका उपयोग संकेत के स्थानीय खंडों की ज्या तरंग आवृत्ति और चरण (तरंगों) विवरण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह समय के साथ बदलता है। रूपांतरित किए जाने वाले फलन को पहले गॉसियन फलन से गुणा किया जाता है, जिसे गवाक्ष फलन के रूप में माना जा सकता है, और परिणामी फलन को समय-आवृत्ति विश्लेषण प्राप्त करने के लिए फूरियर परिवर्तन के साथ रूपांतरित किया जाता है। गवाक्ष फलन का अर्थ है कि विश्लेषण किए जा रहे समय के निकट संकेत का भार अधिक होगा। संकेत x(t) का गैबोर रूपांतरण इस सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$

गाऊसी फलन का परिमाण.

इस प्रकार से गॉसियन फलन की सीमा अनंत है और यह कार्यान्वयन के लिए अव्यावहारिक है। यद्यपि, गॉसियन फलन के वितरण के लिए महत्व का स्तर चुना जा सकता है (उदाहरण के लिए 0.00001)।

${\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a\right|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}$

अतः समाकलन की इन सीमाओं ($\left|a\right|>1.9143$) के बाहर गाऊसी फलन इतना छोटा है कि इसे अनदेखा किया जा सकता है। इस प्रकार गैबोर परिवर्तन का संतोषजनक रूप से

$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$ के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।

इस प्रकार से यह सरलीकरण गैबोर परिवर्तन को व्यावहारिक और साकार करने योग्य बनाता है।

अतः कुछ चुने हुए $\alpha$ के लिए ${-{\pi }(t-\tau )^{2}}$ को ${-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}$ से प्रतिस्थापित करके किसी विशेष अनुप्रयोग के लिए समय-आवृत्ति विभेदक समन्वयन को अनुकूलित करने के लिए गवाक्ष फलन की चौड़ाई को भी बदला जा सकता है।

व्युत्क्रम गैबोर रूपांतरण

इस प्रकार से गैबोर परिवर्तन व्युत्क्रम है। क्योंकि यह अति-पूर्ण है, मूल संकेत को विभिन्न विधियों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गैर गवाक्षन दृष्टिकोण का उपयोग किसी भी $\tau _{0}\in (-\infty ,\infty )$ के लिए भी किया जा सकता है :

$x(t)=e^{\pi (t-\tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega$

वैकल्पिक रूप से, समय के सभी घटकों को साथ जोड़ा जा सकता है:

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega \,d\tau$

गैबोर परिवर्तन के गुण

इस प्रकार से गैबोर परिवर्तन में फूरियर परिवर्तन के जैसे कई गुण हैं। ये गुण निम्नलिखित तालिकाओं में सूचीबद्ध हैं।

	संकेत	गैबोर परिवर्तन	विचार
	$x(t)\,$	$G_x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x(t)e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}^2}{e}^{-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$