क्रम सांख्यिकीय

यूनिट स्केल मापदंड के साथ एक घातीय वितरण से आकार n = 5 के नमूने के लिए क्रम सांख्यिकी की संभाव्यता घनत्व फलन

सांख्यिकी में, एक सांख्यिकीय नमूने का kth 'क्रम सांख्यिकीय' उसके kth-सबसे छोटे मान के बराबर होता है। श्रेणी के साथ, क्रम सांख्यिकी अप्राचलिक सांख्यिकी और अप्राचलिक अनुमान में सबसे बुनियादी उपकरणों में से एक हैं।

क्रम सांख्यिकी के महत्वपूर्ण विशेष स्थितियोंे एक नमूने के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं, और (नीचे चर्चा की गई कुछ योग्यताओं के साथ) नमूना माध्यिका और अन्य मात्राएँ हैं।

सतत संभाव्यता वितरण से यादृच्छिक नमूनों के क्रम सांख्यिकी का विश्लेषण करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग करते समय, संचयी वितरण फलन का उपयोग समान वितरण (निरंतर) के क्रम सांख्यिकी के स्थितियोंे में विश्लेषण को कम करने के लिए किया जाता है।

संकेतन और उदाहरण

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि चार संख्याएँ देखी या दर्ज की गईं, जिसके परिणामस्वरूप आकार 4 का एक नमूना प्राप्त हुआ, यदि नमूना मान हैं

6, 9, 3, 8,

क्रम सांख्यिकी दर्शाए जाएंगे

$x_{(1)}=3,\ \ x_{(2)}=6,\ \ x_{(3)}=8,\ \ x_{(4)}=9,\,$

जहां अधोलेख (i) कोष्ठकों में संलग्न इंगित करता है iनमूने का वां क्रम सांख्यिकीय है।

प्रथम क्रम सांख्यिकीय (या सबसे छोटा क्रम सांख्यिकीय) हमेशा नमूने का न्यूनतम होता है, अर्थात,

$X_{(1)}=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}$

जहां, एक सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, हम यादृच्छिक चर को संदर्भित करने के लिए बड़े अक्षरों का उपयोग करते हैं, और उनके वास्तविक देखे गए मानों को संदर्भित करने के लिए लघु अक्षरों (जैसा कि ऊपर) का उपयोग करते हैं।

इसी प्रकार, आकार के नमूने के लिए n, और nवें क्रम का सांख्यिकी (या सबसे बड़े क्रम का सांख्यिकी) अधिकतम है, अर्थात,

$X_{(n)}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}.$

नमूना सीमा अधिकतम और न्यूनतम के बीच का अंतर है। यह क्रम सांख्यिकी का एक कार्य है:

${\rm {Range}}\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}=X_{(n)}-X_{(1)}.$

अन्वेषी आँकड़ा विश्लेषण में एक समान महत्वपूर्ण सांख्यिकी जो कि केवल क्रम सांख्यिकी से संबंधित है, नमूना अन्तःचतुर्थक श्रेणी है।

नमूना माध्यिका एक क्रम सांख्यिकी हो भी सकता है और नहीं भी, क्योंकि संख्या होने पर केवल एक ही मध्य मान होता है n प्रेक्षणों की संख्या सम और विषम संख्या है। अधिक सटीक रूप से, यदि n = 2m+1 कुछ पूर्णांक के लिए m, तो नमूना माध्यिका है $X_{(m+1)}$ और ऐसा ही एक क्रम सांख्यिकी है। दूसरी ओर, जब n सम और विषम संख्या है, n = 2m और दो मध्य मान हैं, $X_{(m)}$ और $X_{(m+1)}$, और नमूना माध्यिका दोनों का कुछ कार्य है (सामान्यत: औसत) और इसलिए कोई क्रम सांख्यिकी नहीं है। समान टिप्पणियाँ सभी नमूना मात्राओं पर लागू होती हैं।

प्रायिकतात्मक विश्लेषण

किसी यादृच्छिक चर को देखते हुए X₁, X₂..., X_n, क्रम सांख्यिकी X₍₁₎, X₍₂₎, ..., X_(n) ये यादृच्छिक चर भी हैं, जिन्हें X₁, ..., X_n के मानों (प्राप्ति (संभावना)) को क्रमबद्ध करके परिभाषित किया गया है बढ़ते क्रम में।

जब यादृच्छिक चर X₁, X₂..., X_n एक नमूना (सांख्यिकी) बनाएं, वे स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं। इस स्थितियोंे का इलाज नीचे किया गया है। सामान्य तौर पर, यादृच्छिक चर X₁, ..., X_n एक से अधिक जनसंख्या से नमूना लेने से उत्पन्न हो सकता है। फिर वे स्वतंत्र (सांख्यिकी) हैं, लेकिन आवश्यक रूप से समान रूप से वितरित नहीं हैं, और उनका संयुक्त संभाव्यता वितरण बापट-बेग प्रमेय द्वारा दिया गया है।

अब से, हम मान लेंगे कि विचाराधीन यादृच्छिक चर निरंतर संभाव्यता वितरण हैं और, जहां सुविधाजनक हो, हम यह भी मान लेंगे कि उनके पास संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) है, अर्थात, वे पूर्ण निरंतरता हैं। बिंदुओं को द्रव्यमान निर्दिष्ट करने वाले वितरणों के विश्लेषण की विशिष्टताओं (विशेष रूप से, असतत वितरण) पर अंत में चर्चा की गई है।

क्रम सांख्यिकी का संचयी वितरण फलन

ऊपर बताए अनुसार यादृच्छिक नमूने के लिए, संचयी वितरण के साथ $F_{X}(x)$, उस नमूने के क्रम सांख्यिकी का संचयी वितरण निम्नानुसार है (जहाँ r निर्दिष्ट करता है कि कौन सा क्रम सांख्यिकीय है):

$F_{X_{(r)}}(x)=\sum _{j=r}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}$

संबंधित संभाव्यता घनत्व फलन इस परिणाम से प्राप्त किया जा सकता है, और पाया जाता है

$f_{X_{(r)}}(x)={\frac {n!}{(r-1)!(n-r)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{r-1}[1-F_{X}(x)]^{n-r}.$

इसके अतिरिक्त, दो विशेष स्थितियोंे हैं, जिनमें सीडीएफ हैं जिनकी गणना करना आसान है।

$F_{X_{(n)}}(x)=\mathrm{Prob}<!--\; \; -->(max\{X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_{}$