क्रमिक अंकगणित

समुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, क्रमिक अंकगणित क्रमसूचक संख्याओं के योग, गुणन और घातांक पर तीन सामान्य संक्रियाओं का वर्णन करता है। प्रत्येक को अनिवार्य रूप से दो भिन्न-भिन्न विधियों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, या तो परिमित प्रत्यावर्तन का उपयोग करके अथवा स्पष्ट सुव्यवस्थित समुच्चय का निर्माण करके जो ऑपरेशन के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। कैंटर सामान्य रूप क्रमसूचक संख्याओं को लिखने की मानकीकृत विधि प्रदान करता है। इन सामान्य क्रमसूचक संक्रियाओं के अतिरिक्त, क्रमसूचकों का "प्राकृतिक" अंकगणित और निम्बर संक्रियाएँ भी होती हैं।

जोड़

दो भिन्न-भिन्न सुव्यवस्थित समुच्चय S और T का संघ (समुच्चय सिद्धांत) व्यवस्थित हो सकता है। उस संघ का क्रम-प्रकार क्रमसूचक है जो S और T के क्रम-प्रकारों को जोड़ने से उत्पन्न होता है। यदि दो सुव्यवस्थित समुच्चय पूर्व से ही असंयुक्त नहीं हैं तो उन्हें क्रम-समरूपी असंयुक्त समुच्चय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, S को {0} × S से और T को {1} × T से प्रतिस्थापित किया गया है। इस प्रकार सुव्यवस्थित समुच्चय S को सुव्यवस्थित समुच्चय T के बाईं ओर अंकित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि S $\cup$ T पर क्रम परिभाषित किया गया है जिसमें S का प्रत्येक तत्व T के प्रत्येक तत्व से छोटा है। समुच्चय (गणित) S और T स्वयं उनके निकट उपस्थित पूर्व क्रम को बनाए रखते हैं।

योग α + β की परिभाषा, β पर परिमित प्रत्यावर्तन द्वारा प्राप्त की जा सकती है:

• α + 0 = α
• α + S(β) = S(α + β), जहाँ S उत्तराधिकारी क्रमसूचक फलन को दर्शाता है।
• $\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ जब β सीमा क्रमसूचक है।

प्राकृतिक संख्याओं पर क्रमसूचक जोड़ मानक जोड़ के समान होता है। प्रथम पारसिमित क्रमसूचक ω सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, जिसके पश्चात ω + 1, ω + 2, आदि हैं। क्रमसूचक ω + ω, प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य क्रम में दो प्रतियों द्वारा प्राप्त किया जाता है और द्वितीय प्रति पूर्ण रूप से प्रथम प्रति के दाईं ओर होती है। द्वितीय प्रति के लिए 0' <1' < 2' <... अंकित करने पर ω + ω, 0 <1 <2 <3 <... <0' <1' <2' <... जैसा दिखता है।

यह ω से भिन्न होता है क्योंकि ω में केवल 0 का प्रत्यक्ष पूर्ववर्ती नहीं होता है यद्यपि ω + ω में दो तत्वों 0 और 0' का प्रत्यक्ष पूर्ववर्ती नहीं होता है।

गुण

साधारण जोड़ सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं है। उदाहरण के लिए 3 + ω = ω है, चूँकि 3 + ω के लिए क्रम संबंध 0 < 1 < 2 < 0 '< 1' < 2 ' <... होता है, जिसे ω में रिस्तरीय किया जा सकता है। इसके विपरीत ω + 3, ω के समान नहीं है क्योंकि क्रम संबंध 0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2' में सबसे बड़ा तत्व (अर्थात्, 2') और ω नहीं है (ω और ω + 3 सामर्थ्यवान हैं, किन्तु क्रम-समरूपी नहीं हैं)।

साधारण जोड़ अभी भी साहचर्य है; जिसे निम्नलिखित उदाहरण द्वारा अवलोकित किया जा सकता है- (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω

जोड़ जटिलता से विस्तारित हो रहा है और उचित तर्क में निरंतर है-

$\alpha <\beta \Rightarrow \gamma +\alpha <\gamma +\beta$

किन्तु समान संबंध बाएँ तर्क के लिए मान्य नहीं है; इसके अतिरिक्त हमारे निकट है-

$\alpha <\beta \Rightarrow \alpha +\gamma \leq \beta +\gamma$

यदि α + β = α + γ और β = γ है, तो क्रमसूचक योग बायाँ-निरस्त होता है। इसके अतिरिक्त, कोई क्रमसूचक β ≤ α के लिए बाएं विभाजन को परिभाषित कर सकता है: अद्वितीय γ उपस्थित है जैसे α = β + γ दूसरी ओर, उचित निरस्तीकरण कार्य नहीं होता है-

$3+\omega =0+\omega =\omega$ किन्तु $3\neq 0$ है

β ≤ α के लिए उचित घटाव कार्य नहीं करता उदाहरण के लिए, तब γ उपस्थित नहीं होता है जैसे कि γ + 42 = ω

यदि α से अल्प क्रमांक योग के अंतर्गत संवृत और 0 होते हैं तो α को कभी-कभी γ संख्या कहा जाता है (जोड़ने योग्य अविभाज्य क्रमसूचक देखें)। ये पूर्णतः ωβ रूप के क्रमसूचक हैं।

गुणन

असंयुक्त संघ { (0,n) : n ∈ ℕ } ∪ { (1,n) : n ∈ ℕ } का क्रम प्रकार $\omega \cdot 2$ है।

लेक्सिकोग्राफिक क्रम के अंतर्गत, समुच्चय { (n,0), (n,1) : n ∈ ℕ } का क्रम प्रकार $2\cdot \omega$ है।

कार्तीय गुणन S×T, दो सुव्यवस्थित समुच्चय S और T के लेक्सिकोग्राफिक क्रम विधि द्वारा उचित रूप से व्यवस्थित किये जा सकते है जो कम से कम महत्वपूर्ण स्थिति को प्रथम रखता है। प्रभावी रूप से, T के प्रत्येक तत्व को S की असंयुक्त प्रति द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। कार्तीय गुणन का क्रम-प्रकार क्रमसूचक है जो S और T के क्रम-प्रकारों को गुणा करने से उत्पन्न होता है।

गुणन की परिभाषा आगमनात्मक रूप से भी दी जा सकती है (निम्नलिखित प्रेरण β पर है)-

• α·0 = 0.
• α · S(β) = (α · β) + α, उत्तराधिकारी क्रमसूचक S(β) के लिए है।
• $\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )$, जब β सीमा क्रमसूचक है।

उदाहरण के रूप में, जहाँ ω·2 के लिए क्रम संबंध है-

0₀ < 1₀ < 2₀ < 3₀ < ... < 0₁ < 1₁ < 2₁ < 3₁ <...,

जिसका क्रम प्रकार ω + ω के समान है। इसके विपरीत, 2·ω इस प्रकार दिखता है-

0₀ < 1₀ < 0₁ < 1₁ < 0₂ < 1₂ < 0₃ < 1₃ <...

और पुनः स्तरीय करने के पश्चात, यह पूर्णतः ω जैसा दिखता है।

इस प्रकार, ω·2 = ω+ω ≠ ω = 2·ω, यह दर्शाता है कि क्रमांकों का गुणन सामान्य क्रमविनिमेय नहीं है।

प्राकृतिक संख्याओं पर पुनः क्रमसूचक गुणन मानक गुणन के समान है।

गुण

α·0 = 0·α = 0, और शून्य-उत्पाद गुण α·β = 0 $\Rightarrow$ α = 0 या β = 0 धारण करता है। क्रमसूचक 1, गुणक प्रमाण α·1 = 1·α = α है। गुणन संबद्ध (α·β)·γ = α·(β·γ) है। गुणन जटिलता से विस्तारित हो रहा है और उचित तर्क में निरंतर (α < β और γ > 0) $\Rightarrow$ γ·α < γ·β है। बाएं तर्क में गुणन जटिलता से विस्तारित नहीं हो रहा है, उदाहरण के लिए, 1 < 2 किन्तु 1·ω = 2·ω = ω है। चूँकि, यह विस्तारित हो रहा है अर्थात α ≤ β $\Rightarrow$ α·γ ≤ β·γ.

क्रमसूचकों का गुणन सामान्य क्रमविनिमेय नहीं है। विशेष रूप से, 1 से अधिक प्राकृतिक संख्या कभी भी किसी भी अनंत क्रमसूचक के साथ नहीं चलती है और यदि α^m = βⁿ है तो कुछ धनात्मक प्राकृतिक संख्या m और n के लिए दो अनंत क्रमसूचक α, β के साथ चलती है। संबंध α, β के साथ संचार करता है, 1 से अधिक क्रमांक पर तुल्यता संबंध है, और सभी तुल्यता वर्ग अनगिनत रूप से अनंत हैं।

वितरणता, α(β + γ) = αβ + αγ में बाईं ओर होती है। चूँकि, दाईं ओर वितरण नियम (β + γ)α = βα+γα सामान्यतः सत्य नहीं है: (1 + 1)·ω = 2·ω = ω यद्यपि 1·ω + 1·ω = ω+ω, जो भिन्न है। यदि α > 0 और α·β = α·γ हैं तो β = γ होगा, यह बायां निरस्तीकरण नियम है। उचित निरस्तीकरण कार्य नहीं करता है, उदाहरण के लिए 1·ω = 2·ω = ω, किन्तु 1 और 2 भिन्न हैं। शेष गुण के साथ बाएँ विभाजन के लिए α और β मान्य है यदि β> 0, तब γ और δ अद्वितीय हैं जैसे कि α = β·γ + δ और δ < β, उचित विभाजन कार्य नहीं करते हैं: ऐसा α नहीं है जैसे कि α·ω ≤ ω^ω ≤ (α + 1)·ω.

क्रमसूचक संख्याएँ बाएँ निकट-सेमीरिंग बनाती हैं, किन्तु वलय (बीजगणित) नहीं बनाती हैं। इसलिए क्रमसूचकों यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, क्योंकि वे वलय भी नहीं हैं – इसके अतिरिक्त, यूक्लिडियन मानदंड बाएं विभाजन का उपयोग करके क्रमसूचक-महत्वपूर्ण होता है।

δ-संख्या (गुणात्मक रूप से अविघटनीय क्रमसूचक देखें) 1 से बड़ा क्रमसूचक β है जैसे कि αβ=β, जब 0 < α < β होता है। इनमें क्रमसूचक 2 और β = ω^ωγ रूप के क्रमांक सम्मिलित हैं।

घातांक

क्रम प्रकार के माध्यम से परिभाषा को सबसे सरलता से वॉन न्यूमैन की क्रमसूचक परिभाषा का उपयोग करके सभी छोटे क्रमसूचकों के समुच्चय के रूप में अध्यन्न किया गया है। तत्पश्चात, क्रम प्रकार αβ का समुच्चय बनाने के लिए β से α तक सभी फलनों पर विचार करें जैसे कि डोमेन β के तत्वों की केवल 1 परिमित संख्या α के गैर शून्य तत्व के लिए विचार करती है (अनिवार्य रूप से, हम सीमित समर्थन (गणित) के साथ फलनों पर विचार करते हैं)। क्रम प्रथम अतिअल्प महत्वपूर्ण स्थिति के साथ लेक्सिकोग्राफ़िक है।

घातांक की परिभाषा भी आगमनात्मक रूप से प्राप्त की जा सकती है (निम्नलिखित प्रेरण β, घातांक पर है)-

• α⁰ = 1
• α^S(β) = (α^β) · α, उत्तराधिकारी क्रमसूचक S(β) के लिए है।
• $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$, जब β सीमा क्रमसूचक है।

परिमित घातांक के लिए क्रमसूचक घातांक की परिभाषा सरल है। यदि घातांक परिमित संख्या है, तो घात पुनरावृत्त गुणन का परिणाम है। उदाहरण के लिए, ω² = ω·ω क्रमसूचक गुणन की संक्रिया का प्रयोग करें। ध्यान दें कि ω·ω को 2 = {0,1} से ω = {0,1,2,...} तक के फलनों के सेट का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, महत्वपूर्ण स्थिति के साथ लेक्सिकोग्राफ़िक क्रम है-

(0,0) <(1,0) <(2,0) <(3,0) <... <(0,1) <(1,1) <(2,1) <(3, 1) <... <(0,2) <(1,2) <(2,2) <...

जहाँ संक्षिप्तता के लिए, हमने फलन {(0,k), (1,m)} को क्रमित जोड़ी (k, m) से प्रतिस्थापित कर दिया है।

इसी प्रकार, किसी परिमित घातांक n के लिए, $\omega ^{n}$ को n (डोमेन) से प्राकृतिक संख्याओं (कोडोमेन) तक के फलनों के समुच्चय का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। इन फलनों को प्राकृतिक संख्याओं के n-टपल्स के रूप में संक्षिप्त किया जा सकता है।

किन्तु अपरिमित घातांकों के लिए, परिभाषा स्पष्ट नहीं हो सकती है। सीमा क्रमसूचक, जैसे ω^ω, सभी छोटे क्रमांकों का सर्वोच्च है। प्राकृतिक संख्याओं के सभी अनंत अनुक्रमों के समुच्चय का उपयोग करके ω^ω को परिभाषित करना स्वाभाविक प्रतीत हो सकता है। चूँकि, हम प्राप्त करते हैं कि इस समुच्चय पर निरपेक्षता (गणितीय तर्क) से परिभाषित क्रम सुव्यवस्थित नहीं है। इस समस्या के समाधान के लिए परिभाषा समुच्चय को अनुक्रमों तक सीमित करती है जो केवल तर्कों की सीमित संख्या के लिए अशून्य होते हैं। यह स्वाभाविक रूप से आधार की परिमित घातों की सीमा के रूप में प्रेरित होता है (बीजगणित में प्रतिफल की अवधारणा के समान)। इसे अपरिमित संघ $\bigcup _{n<\omega }\omega ^{n}$ भी माना जा सकता है।

उनमें से प्रत्येक अनुक्रम जैसे $\omega ^{n_{1}}c_{1}+\omega ^{n_{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{n_{k}}c_{k}$, $\omega ^{\omega }$ से अल्प क्रमसूचक से युग्मित होता है और $\omega ^{\omega }$ छोटे क्रमसूचकों का सर्वोच्च है।

इस समुच्चय पर लेक्सिकोोग्राफ़िकल क्रम उत्तम क्रम है जो दशमलव अंकन में लिखी गई प्राकृतिक संख्याओं के क्रम के समान होता है, अतिरिक्त इसके कि अंकों की स्थिति को परिवर्तित कर दिया जाए और केवल 0-9 अंकों के साथ आर्बिटरी प्राकृतिक संख्याएँ हैं:

(0,0,0,...) <(1,0,0,0,...) <(2,0,0,0,...) <... <

(0,1,0,0,0,...) <(1,1,0,0,0,...) <(2,1,0,0,0,...) <। .. <

(0,2,0,0,0,...) <(1,2,0,0,0,...) <(2,2,0,0,0,...)

<... <

(0,0,1,0,0,0,...) <(1,0,1,0,0,0,...) <(2,0,1,0,0,0, ...)

<...

सामान्यतः, α^β प्राप्त करने के लिए क्रमसूचक α को दूसरे क्रमसूचक β की घात तक विस्तारित किया जा सकता है।

हम देखतें है,

• 1^ω = 1,
• 2^ω = ω,
• 2^ω+1 = ω·2 = ω+ω.

चूँकि समान संकेतन का उपयोग क्रमसूचक घातांक और कार्डिनल घातांक के लिए किया जाता है, क्रमसूचक घातांक कार्डिनल घातांक से अत्याधिक भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, क्रमसूचक घातांक के साथ $2^{\omega }=\omega$, किन्तु $\aleph _{0}$ के लिए (एलेफ संख्याओं की प्रमुखता $\omega$), $2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}$ है। जहाँ, $2^{\aleph _{0}}$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से लेकर दो तत्वों वाले समुच्चय तक सभी फलनों के समुच्चय की प्रमुखता है। (यह प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के पावरसेट की कार्डिनैलिटी है और ${\mathfrak {c}}$ कॉन्टिनम की कार्डिनैलिटी के समान है।) क्रमसूचक घातांक को कार्डिनल घातांक के साथ भ्रमित करने से बचने के लिए, क्रमसूचक प्रतीकों (जैसे ω) का उपयोग कर सकता है और उसके पश्चात कार्डिनल प्रतीकों (जैसे $\aleph _{0}$) का उपयोग कर सकता है।

गुण

• α⁰ = 1
• यदि 0 <α, तब 0^α = 0
• 1^α = 1
• α¹ = α
• α^β·α^γ = α^{β + γ}
• (α^β)^γ = α^β·γ
• α, β, और γ हैं जिसके लिए (α·β)γ ≠ αγ·βγ हैं। उदाहरण के लिए, (ω·2)² = ω·2·ω·2 = ω²·2 ≠ ω²·4
• क्रमसूचक घातांक जटिलता से विस्तारित हो रहा है और उचित तर्क में निरंतर है: यदि γ> 1 और α < β, तब γα < γβ है।
• यदि α < β, तब αγ ≤ βγ, उदाहरण के लिए ध्यान दें कि 2 < 3 और 2ω = 3ω = ω है।
• यदि α> 1 और αβ = αγ, तब β = γ है। यदि α = 1 या α = 0 तब यह स्थिति नहीं है।
• यदि β > 1 और α > 0 है, तब α और β के लिए अद्वितीय γ, δ, और ρ उपस्थित हैं जैसे कि α = βγ·δ + ρ, 0 < δ < β और ρ < βγ

अर्न्स्ट जैकबस्टल ने दिखाया कि αβ = βα का α ≤ β के साथ एकमात्र समाधान α = β, या α = 2 और β = 4 द्वारा दिया जाता है, या α सीमा क्रमसूचक है और β = εα जहाँ ε, α से बड़ी ε-संख्या है।

घातांक से परे

ऐसे क्रमसूचक संचालन होते हैं जो जोड़, गुणन और घातांक द्वारा प्रारम्भ किए गए अनुक्रम को निरंतर रखते हैं, जिसमें टेट्रेशन, पेंटेशन और हेक्सेशन के क्रमसूचक संस्करण सम्मिलित हैं। वेब्लेन फलन भी देखें।

कैंटर सामान्य रूप

प्रत्येक क्रमसूचक संख्या α को विशिष्ट रूप से ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1}{c}_1+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_2}{c}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k}$