कॉची मुख्य मान

This article is about अनुचित समाकलों को मान निर्दिष्ट करने की एक विधि. For एकल शाखा से संबद्ध जटिल फलन के मान, see मुख्य मान. For लॉरेंट श्रृंखला का नकारात्मक-शक्ति वाला भाग, see मुख्य भाग.

गणित में, ऑगस्टिन लुइस कॉची के नाम पर कॉची मुख्य मान, कुछ अनुचित पूर्णांकी को मान निर्दिष्ट करने की विधि है जो अन्यथा अपरिभाषित होगी।

सूत्रीकरण

इंटीग्रैंड f में गणितीय विलक्षणता के प्रकार के आधार पर, कॉची मुख्य मान को निम्नलिखित नियमों के अनुसार परिभाषित किया गया है:

परिमित संख्या b पर विलक्षणता के लिए

$$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]$$

$a<b<c$ के साथ और जहाँ b कठिन बिंदु है, जिस पर फलन f का व्यवहार ऐसा है कि

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad$$

किसी $a<b$ के लिए

$$\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad$$

किसी $b<c.$ के लिए ( अंकन ± और ∓ के सटीक उपयोग के लिए प्लस या माइनस देखें .)

अनंत ($\infty$) पर एक विलक्षणता के लिए

$$\lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$$

जहाँ

$$\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty$$

और

$$\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .$$

कुछ स्तिथियों में एक परिमित संख्या b और अनंत पर दोनों विलक्षणताओं से एक साथ निपटना आवश्यक है। यह सामान्यतः प्रपत्र की एक सीमा द्वारा किया जाता है

$$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].$$

उन स्तिथियों में जहां समाकल को दो स्वतंत्र, परिमित सीमाओं में विभाजित किया जा सकता है,

$$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty$$

और

$$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,$$

तो फलन सामान्य अर्थों में पूर्णांक है। मुख्य मूल्य के लिए प्रक्रिया का परिणाम साधारण अभिन्न के समान है; चूँकि यह अब परिभाषा से मेल नहीं खाता, यह तकनीकी रूप से एक प्रमुख मूल्य नहीं है। कॉची मुख्य मान को संकुल-मूल्य फलन $f(z):z=x+i\,y\;$ के साथ $x,y\in \mathbb {R} \;$ के समोच्च एकीकरण के तरीके के रूप में भी समोच्च पर एक स्तम्भ C के साथ परिभाषित किया जा सकता है। $C(\varepsilon )$ को उसी समोच्च के रूप में परिभाषित करें, जहां ध्रुव के चारों ओर त्रिज्या ε की चक्रिका के अंदर का हिस्सा हटा दिया गया है। बशर्ते कि फलन $f(z)$ $C$