कैरी (अंकगणित)
प्रारंभिक अंकगणित में, कैरी एक संख्यात्मक अंक होता है जिसे अंकों के एक कॉलम से अधिक महत्वपूर्ण अंकों के दूसरे कॉलम में स्थानांतरित किया जाता है। यह दाएं अंकों से प्रारंभ करके और बाईं ओर कार्य, करके संख्याओं को एक साथ जोड़ने के मानक कलन विधि का भाग होता है। उदाहरण के लिए, जब 13 बनाने के लिए 6 और 7 को जोड़ा जाता है, तो "3" को उसी कॉलम में लिखा जाता है और "1" को बाईं ओर ले जाया जाता है। जब घटाव में उपयोग किया जाता है तो संक्रिया को उधार लेना कहा जाता है।
पारंपरिक गणित को ले जाने पर जोर दिया जाता है, जबकि पुनः संभावन गणित पर आधारित पाठ्यक्रम सही उत्तर खोजने के लिए किसी विशिष्ट विधि पर जोर नहीं देता है।[citation needed]
उच्च गणित में कैरी करने कुछ उपस्थिति होती है। कंप्यूटिंग में, कैरी योजक (इलेक्ट्रॉनिक्स) परिपथ का एक महत्वपूर्ण फलन होता है।
नियमावली अंकगणित
कैरी का एक विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित पेंसिल-और-पेपर जोड़ में है:
1
27 +59 ---- 86
7 + 9 = 16, और अंक 1 (संख्या) कैरी है।
इसके विपरीत, उधार लेना है
−1
47 −19 ---- 28
यहाँ, 7 − 9 = −2, इसलिए (10 − 9) + 7 = 8, और 10 बाईं ओर के अगले अंक से ("उधार") 1 लेकर प्राप्त किया जाता है। इसे सामान्यतः दो विधियों से सिखाया जाता है:
- दहाई को अगले अंक से बाईं ओर ले जाया जाता है, इस उदाहरण में दहाई कॉलम में 3 - 1 रह जाता है। इस पद्धति के अनुसार, "उधार" शब्द एक मिथ्या नाम है, क्योंकि दस का भुगतान कभी नहीं किया जाता है।
- दस को अगले बचे अंक से कॉपी किया जाता है, और फिर उसे उस कॉलम में वियोजक में जोड़कर 'वापस भुगतान' किया जाता है, जहां से इसे 'उधार' लिया गया था, इस उदाहरण में दहाई कॉलम में 4 - (1 + 1) दिया गया है।
गणित शिक्षा
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परंपरागत रूप से, प्राथमिक विद्यालय के दूसरे या पहले वर्ष के अंत में बहु-अंकीय संख्याओं को जोड़ना सिखाया जाता है। चूँकि, 20वीं सदी के उत्तरार्ध से, संयुक्त राज्य अमेरिका में कई व्यापक रूप से अपनाए गए पाठ्यक्रम विकसित हुए, जैसे कि टीईआरसी ने आविष्कृत अंकगणितीय विधियों और रंग, जोड़-तोड़ और चार्ट का उपयोग करने वाली विधियों के पक्ष में पारंपरिक कैरी पद्धति के निर्देशों को छोड़ दिया गया था। इस तरह की चूक की गणितीय रूप से सही जैसे समूहों द्वारा आलोचना की गई थी, और कुछ राज्यों और जिलों ने तब से इस प्रयोग को छोड़ दिया है, चूँकि इसका उपयोग व्यापक रूप से किया जाता है।[citation needed]
उच्च गणित
कुमेर के प्रमेय में कहा गया है कि आधार में दो संख्याओं को जोड़ने में कैरी की संख्या सम्मलित होती है की उच्चतम घात के घातांक के बराबर है एक निश्चित द्विपद गुणांक को विभाजित करता है।
जब कई अंकों की कई यादृच्छिक संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, तो कैरी अंकों के आँकड़े यूलेरियन संख्याओं और रिफ़ल शफ़ल क्रमपरिवर्तन के आँकड़ों के साथ एक अप्रत्याशित संबंध रखते हैं।[1][2][3][4]
अमूर्त बीजगणित में, दो अंकों की संख्याओं के लिए कैरी संक्रिया को समूह कोहोलॉजी की भाषा का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जा सकता है।[5][6][7] इस दृष्टिकोण को वास्तविक संख्याओं के वैकल्पिक लक्षण वर्णन पर लागू किया जा सकता है।[8][9]
यांत्रिक कैलकुलेटर
कैरी मैकेनिकल कैलकुलेटर के डिजाइनरों और बिल्डरों के सामने आने वाली बुनियादी चुनौतियों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। उन्हें दो बुनियादी जटिलताओ का सामना करना पड़ता है: पहला इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि एक कैरी को बदलने के लिए कई अंकों की आवश्यकता हो सकती है: 999 में 1 जोड़ने के लिए, यंत्र को 4 अलग-अलग अंक बढ़ाने पड़ते हैं। एक और चुनौती इस तथ्य से है कि अगले अंक के अतिरिक्त संचालन समाप्त होने से पहले कैरी "विकसित" हो सकती है।
अधिकांश यांत्रिक कैलकुलेटर जोड़ के बाद एक अलग कैरी चक्र निष्पादित करके कैरी लागू करते हैं। जोड़ के समय, प्रत्येक कैरी को निष्पादित करने के अतिरिक्त "संकेत" दिया जाता है, और कैरी चक्र के समय, यंत्र ट्रिगर अंकों के ऊपर अंकों को बढ़ा देती है। इस संचालन को क्रमिक रूप से निष्पादित किया जाना चाहिए, इकाई अंक से प्रारंभ करके, फिर दहाई, सैकड़ों और इसी तरह, क्योंकि कैरी जोड़ने से अगले अंक में एक नई कैरी उत्पन्न हो सकती है।
कुछ यंत्र, विशेष रूप से पास्कल का कैलकुलेटर, बनाया जाने वाला दूसरा ज्ञात कैलकुलेटर, और सबसे पुराना अवशिष्ट, अलग विधि का उपयोग करते हैं: अंक को 0 से 9 तक बढ़ाना, ऊर्जा संग्रहीत करने के लिए एक यांत्रिक उपकरण को कॉक करता है, और अगला वेतन वृद्धि, जो अंक को स्थानांतरित करता है 9 से 0 तक, अगले अंक को 1 बढ़ाने के लिए इस ऊर्जा को छोड़ता है। पास्कल ने अपनी यंत्र में वजन और गुरुत्वाकर्षण का उपयोग किया। इसी तरह की पद्धति का उपयोग करने वाली एक और उल्लेखनीय मशीन 19वीं शताब्दी का अत्यधिक सफल कंप्टमीटर है, जिसने वज़न को स्प्रिंग्स से बदल दिया जाता है।
कुछ नवीन मशीनें निरंतर संचरण का उपयोग करती हैं: किसी भी अंक में 1 जोड़ने पर, अगले को 1/10 से आगे बढ़ा दिया जाता है (जो बदले में अगले को 1/100 से आगे बढ़ा देता है और इसी तरह)। कुछ नवीन प्रारंभिक कैलकुलेटर, विशेष रूप से 1870 से पफनुटी चेबीशेव कैलकुलेटर,[10] और 1886 से सेलिंग द्वारा एक डिजाइन,[11] ने इस पद्धति का उपयोग किया, किन्तु दोनों ही सफल नहीं हुए। 1930 की प्रारम्भिक में, मर्चेंट कैलकुलेटर ने बड़ी सफलता के साथ निरंतर संचरण को लागू किया, जिसकी प्रारम्भिक उपयुक्त नाम "नीरव चाल" कैलकुलेटर से हुई। मर्चेंट (जो बाद में एससीएम निगम बना) ने इसका उपयोग और सुधार जारी रखा और 1960 के दशक के अंत तक, मैकेनिकल कैलकुलेटर युग के अंत तक, अद्वितीय गति के साथ निरंतर-संचरण कैलकुलेटर बनाए रखता है।
कंप्यूटिंग
योजक जैसे डिजिटल परिपथ की बात करते समय, कैरी शब्द का प्रयोग समान अर्थ में किया जाता है।
अधिकांश कंप्यूटरों में, अंकगणितीय संचालन के सबसे महत्वपूर्ण बिट (या शिफ्ट संचालन से बाहर स्थानांतरित बिट) से कैरी को एक विशेष कैरी बिट में रखा जाता है जिसे एकाधिक परिशुद्धता अंकगणित के लिए कैरी-इन के रूप में उपयोग किया जा सकता है, या परीक्षण किया जा सकता है और इसका उपयोग किया जा सकता है कंप्यूटर प्रोग्राम के निष्पादन को नियंत्रित करें। समान कैरी बिट का उपयोग सामान्यतः घटाव में उधार को इंगित करने के लिए भी किया जाता है, चूँकि दो पूरक अंकगणित के प्रभाव के कारण बिट का अर्थ उलटा होता है। सामान्यतः, 1 का कैरी बिट मान दर्शाता है कि अतिरिक्त अंकगणितीय तर्क इकाई को अतिप्रवाह कर देता है, और सीपीयू की तुलना में अधिक लंबाई के डेटा शब्दों को जोड़ते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। घटाया हुआ संचालन के लिए, दो (विपरीत) फलनों को नियोजित किया जाता है क्योंकि अधिकांश उधार पर कैरी फ़्लैग समुच्चय करती हैं, जबकि कुछ यंत्रों (जैसे 6502 और पीआईसी) इसके अतिरिक्त उधार पर कैरी फ़्लैग को (और इसके विपरीत) पुनः समायोजन करती हैं।
संदर्भ
- ↑ Holte, John M. (February 1997), "Carries, Combinatorics, and an Amazing Matrix", The American Mathematical Monthly, 104 (2): 138–149, doi:10.2307/2974981, JSTOR 2974981
- ↑ Diaconis, Persi; Fulman, Jason (August 2009), "Carries, shuffling, and symmetric functions", Advances in Applied Mathematics, 43 (2): 176–196, arXiv:0902.0179, doi:10.1016/j.aam.2009.02.002
- ↑ Borodin, Alexei; Diaconis, Persi; Fulman, Jason (October 2010), "On adding a list of numbers (and other one-dependent determinantal processes)", Bulletin of the American Mathematical Society, 47 (4): 639–670, arXiv:0904.3740, doi:10.1090/S0273-0979-2010-01306-9
- ↑ Nakano, Fumihiko; Sadahiro, Taizo (February 2014), "A generalization of carries processes and Eulerian numbers", Advances in Applied Mathematics, 53: 28–43, doi:10.1016/j.aam.2013.09.005
- ↑ Hegland, M.; Wheeler, W. W. (January 1997), "Linear Bijections and the Fast Fourier Transform", Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, 8 (2): 143–163, doi:10.1007/s002000050059
- ↑ Isaksen, Daniel C. (November 2002), "A Cohomological Viewpoint on Elementary School Arithmetic" (PDF), The American Mathematical Monthly, 109 (9): 796–805, doi:10.2307/3072368, JSTOR 3072368, archived from the original (PDF) on January 16, 2014, retrieved January 22, 2014
- ↑ Borovik, Alexandre V. (2010), Mathematics under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice, AMS, pp. 87–88, ISBN 978-0-8218-4761-9
- ↑ Metropolis, N.; Gian-Carlo, Rota; Tanny, S. (May 1973), "Significance Arithmetic: The Carrying Algorithm", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 14 (3): 386–421, doi:10.1016/0097-3165(73)90013-7
- ↑ Faltin, F.; Metropolis, N.; Ross, B.; Rota, G.-C. (June 1975), "The Real Numbers as a Wreath Product", Advances in Mathematics, 16 (3): 278–304, doi:10.1016/0001-8708(75)90115-2
- ↑ Roegel, Denis (2015). "Chebyshev's continuous adding machine" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2017-08-09.
- ↑ Ernst, Martin (1925). गणना करने वाली मशीनें (PDF). Charles Babbage Institute. p. 96.
बाहरी संबंध
