के-वितरण

K-distribution

Parameters	$\mu \in (0,+\infty )$, $\alpha \in [0,+\infty )$, $\beta \in [0,+\infty )$
Support	$x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),$
Mean	$\mu$
Variance	$\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}$
MGF	$\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right)$

प्रायिकता और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत के-वितरण निरंतर प्रायिकता वितरण का तीन-पैरामीटर वर्ग है। इस प्रकार से वितरण दो गामा वितरणों को संयोजित करके उत्पन्न होता है। प्रत्येक स्थिति में, गामा वितरण के वर्ग के सामान्य रूप का पुन: प्राचलीकरण उपयोग किया जाता है, जैसे कि पैरामीटर हैं:

• वितरण का माध्य,
• सामान्य आकार पैरामीटर।

के-वितरण विचरण-गामा वितरण का विशेष स्थिति है, जो इसके स्थान पर सामान्यीकृत अतिपरवलयिक वितरण का विशेष स्थिति है। अतः सामान्यीकृत के-वितरण के सरल विशेष स्थिति को प्रायः द के-वितरण के रूप में जाना जाता है।

घनत्व

इस प्रकार से मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ में माध्य $\sigma$ और आकार पैरामीटर $\alpha$ के साथ गामा वितरण होता है, $\sigma$ को एक अन्य गामा वितरण वाले यादृच्छिक चर के रूप में माना जाता है, इस बार माध्य $\mu$ और आकार पैरामीटर $\beta$ के साथ। अतः परिणाम यह है कि $X$ में $x>0$ के लिए निम्नलिखित प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) का उपयोग किया जाता है:

$f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),$

जहाँ $K$ दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है। ध्यान दें कि दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फलन के लिए, हमारे निकट $K_{\nu }=K_{-\nu }$ है। इस व्युत्पत्ति में, K-वितरण मिश्रित प्रायिकता वितरण है। अतः यह गुणनफल वितरण भी है: यह दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के गुणनफल का वितरण है, एक में माध्य 1 और आकार पैरामीटर $\alpha$ के साथ गामा वितरण होता है, दूसरे में माध्य $\mu$ और आकार पैरामीटर $\beta$ के साथ गामा वितरण होता है।

इस प्रकार से के-वितरण का एक सरल दो पैरामीटर औपचारिकीकरण $\beta =1$ समूहित करके प्राप्त किया जा सकता है।

$f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),$

जहाँ $v=\alpha$