केवियन

ज्यामिति में, केवियन रेखा खंड होता है, जो त्रिभुज के शीर्ष (ज्यामिति) को त्रिभुज के विपरीत दिशा में बिंदु से जोड़ता है। मेडियन (ज्यामिति) एवं कोण द्विभाजक केवियन के विशेष विषय हैं। केवियन नाम इतालवी गणितज्ञ जियोवानी सेवा से आया है, जिन्होंने केवियन के विषय में प्रसिद्ध प्रमेय को सिद्ध किया। जिसमें उनका नाम भी है।

लंबाई

लंबाई d के केवियन के साथ त्रिकोण

स्टीवर्ट की प्रमेय

केवियन की लंबाई स्टीवर्ट के प्रमेय द्वारा निर्धारित की जा सकती है: आरेख में, केवियन की लंबाई d सूत्र द्वारा दी गई है।

$\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$

सामान्यतः यह निम्नलिखित स्मरक द्वारा भी दर्शाया गया है (कुछ पुनर्व्यवस्था के साथ)।

${\underset {{\text{A }}man{\text{ and his }}dad}{man\ +\ dad}}=\!\!\!\!\!\!{\underset {{\text{put a }}bomb{\text{ in the }}sink.}{bmb\ +\ cnc}}$

मध्य

यदि केवियन माध्यिका (त्रिकोण) होता है (इस प्रकार भुजा को समद्विभाजित करता है), तो इसकी लंबाई सूत्र से निर्धारित की जा सकती है।

$\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})$

या

$\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}$

तब से

$\,a=2m.$

इसलिए इस स्थिति में

$d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.$

कोण द्विभाजक

यदि केवियन समद्विभाजक कोण ​​द्विभाजक होता है, तो इसकी लंबाई सूत्रों का पालन करती है।

$\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),$

एवं

$d^{2}+mn=bc$

एवं

$d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}$

जहां अर्द्धपरिधि $s={\tfrac {a+b+c}{2}}.$लम्बाई a की भुजा को b : c के अनुपात में बांटा गया है।

ऊँचाई

यदि केवियन ऊंचाई (त्रिकोण) होता है एवं इस प्रकार इस तरफ लंबवत होता है, तो इसकी लंबाई सूत्रों का पालन करती है।

$\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}$

एवं

$d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},$

जहां अर्द्धपरिधि $s={\tfrac {a+b+c}{2}}.$

अनुपात गुण

File:Ceva's theorem 1.svg

सामान्य बिंदु से प्रवाहित होने वाले तीन केवियन

तीन सेवियों द्वारा बनाई गई लंबाई के अनुपात के विभिन्न गुण हैं जो सभी आंतरिक बिंदु से प्रवाहित होते हैं, दाईं ओर आरेख का वर्णन करते है।

$\begin{array}{rl}& \frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AF}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{FB}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BD}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{CE}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{EA}}=1\\ & \end{array}$