कारक विश्लेषण

कारक विश्लेषण सांख्यिकी पद्धति है जिसका उपयोग प्रेक्षित, सहसंबद्ध वेरिएबल (गणित) के मध्य विचरण का वर्णन करने के लिए संभावित रूप से कम संख्या में न देखे गए वेरिएबल के संदर्भ में किया जाता है जिन्हें कारक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यह संभव है कि छह देखे गए वेरिएबलों में भिन्नताएं मुख्य रूप से दो न देखे गए (अंतर्निहित) वेरिएबलों में भिन्नताएं दर्शाती हैं। कारक विश्लेषण न देखे गए अव्यक्त वेरिएबलों की प्रतिक्रिया में ऐसी संयुक्त विविधताओं की खोज करता है। इसको देखे गए वेरिएबल के आंकड़ों के संदर्भ में संभावित कारकों और त्रुटियों और अवशेषों के रैखिक संयोजन के रूप में तैयार किया गया है, इसलिए कारक विश्लेषण को वेरिएबल-में-त्रुटि मॉडल के विशेष स्तिथियों के रूप में माना जा सकता है। ^[1] सीधे शब्दों में कहें तब, किसी वेरिएबल का कारक लोडिंग उस सीमा को निर्धारित करता है, जिस सीमा तक वेरिएबल किसी दिए गए कारक से संबंधित होता है। ^[2]

कारक विश्लेषणात्मक विधियों के पीछे सामान्य तर्क यह है कि देखे गए वेरिएबल के मध्य अन्योन्याश्रितताओं के बारे में प्राप्त सूचना का उपयोग और इसके पश्चात में डेटासमुच्चय में वेरिएबल के समुच्चय को कम करने के लिए किया जा सकता है। कारक विश्लेषण का उपयोग सामान्यतः साइकोमेट्रिक्स, व्यक्तित्व मनोविज्ञान, जीव विज्ञान, विपणन, उत्पाद प्रबंधन, संचालन अनुसंधान, वित्त और यंत्र अधिगम में किया जाता है। यह उन डेटा समुच्चयों से डील करने में सहायता कर सकता है जहां बड़ी संख्या में देखे गए वेरिएबल हैं जो अंतर्निहित/अव्यक्त वेरिएबल की लघु संख्या को प्रतिबिंबित करते हैं। यह सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली अंतर-निर्भरता तकनीकों में से है और इसका उपयोग तब किया जाता है जब वेरिएबल का प्रासंगिक समुच्चय व्यवस्थित अंतर-निर्भरता दिखाता है और इसका उद्देश्य उन अव्यक्त कारकों का पता लगाना है जो समानता बनाते हैं।

सांख्यिकीय मॉडल

परिभाषा

मॉडल प्रत्येक $n$ व्यक्तियों में $k$ सामान्य कारकों $f_{i,j}$ के समुच्चय के साथ $p$ अवलोकनों के समुच्चय को समझाने का प्रयास करता है, जहां प्रति इकाई अवलोकनों की तुलना में प्रति इकाई कम कारक $k<p$ होते हैं। प्रत्येक व्यक्ति के समीप अपने स्वयं के सामान्य कारक $k$ होते हैं, और यहएकल अवलोकन के लिए, कारक लोडिंग आव्युह $L\in \mathbb {R} ^{p\times k}$ के माध्यम से अवलोकनों से संबंधित होते हैं।

x_{i,m}-\mu _{i}=l_{i,1}f_{1,m}+\dots +l_{i,k}f_{k,m}+\varepsilon _{i,m}

जहाँ

$x_{i,m}$ $m$ वें व्यक्ति के $i$ वें अवलोकन का मान है,
$\mu _{i}$ $i$ वें अवलोकन के लिए अवलोकन माध्य है,
$l_{i,j}$ $j$ वें कारक के $i$ वें अवलोकन के लिए लोडिंग है,
$f_{j,m}$ $m$ वें व्यक्ति के $j$ वें कारक का मान है, और
$\varepsilon _{i,m}$ माध्य शून्य और परिमित विचरण के साथ $(i,m)$ वां अवलोकित स्टोकेस्टिक त्रुटि शब्द है।

आव्युह नोटेशन में

X-\mathrm {M} =LF+\varepsilon

जहां अवलोकन आव्यूह $X\in \mathbb {R} ^{p\times n}$ , लोडिंग आव्यूह $L\in \mathbb {R} ^{p\times k}$ , कारक आव्यूह $F\in \mathbb {R} ^{k\times n}$ , त्रुटि टर्म आव्यूह $\varepsilon \in \mathbb {R} ^{p\times n}$ और माध्य आव्यूह $\mathrm {M} \in \mathbb {R} ^{p\times n}$ है, जिससे $(i,m)$ वां अवयव सिर्फ $\mathrm {M} _{i,m}=\mu _{i}$ है।

इसके अतिरिक्त हम $F$ निम्नलिखित धारणाएँ भी प्रयुक्त करेंगे :

$F$ और $\varepsilon$ स्वतंत्र हैं.
$\mathrm {E} (F)=0$ ; जहां $\mathrm {E}$ अपेक्षा है
$\mathrm {Cov} (F)=I$ जहाँ $\mathrm {Cov}$ सहप्रसरण आव्युह है, यह सुनिश्चित करने के लिए कि कारक असंबंधित हैं, और $I$ पहचान आव्युह है.