कण दल इष्टतमीकरण

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कम्प्यूटेशनल विज्ञान में, कण झुंड अनुकूलन (पीएसओ)[1] कम्प्यूटेशनल विधि है जो गणितीय अनुकूलन गुणवत्ता के दिए गए माप के संबंध में उम्मीदवार समाधान में सुधार करने की प्रयास कर समस्या का अनुकूलन करती है। उम्मीदवार समाधानों की आबादी, यहां डब किए गए बिंदु कणों, और इन कणों को कण की स्थिति (वेक्टर) और वेग पर सरल सूत्र के अनुसार स्थानांतरित करके समस्या हल करता है। प्रत्येक कण की गति उसकी स्थानीय सर्वोत्तम ज्ञात स्थिति से प्रभावित होती है, परन्तु खोज-स्थान में सर्वोत्तम ज्ञात स्थितियों की ओर भी निर्देशित होती है, जो अन्य कणों द्वारा श्रेष्ठतर स्थिति पाए जाने पर अपडेट(नवीनतम) की जाती हैं। इससे झुंड को सर्वोत्तम समाधानों की ओर ले जाने की अपेक्षा है।

पीएसओ का श्रेय मूल रूप से जेम्स कैनेडी (सामाजिक मनोवैज्ञानिक), रसेल सी. एबरहार्ट और आप शि करेंगे को दिया जाता है[2][3] पहले कंप्यूटर सिमुलेशन(अनुकरण) सामाजिक व्यवहार के लिए अभिप्रेत था,[4]एक पक्षी झुंड (व्यवहार) या मछली स्कूल में जीवों के आंदोलन के एक शैलीगत प्रतिनिधित्व के रूप में है। कलनविधि को सरल बनाया गया था और यह देखा गया था कि यह अनुकूलन कर रहा है। केनेडी और एबरहार्ट की पुस्तक[5] पीएसओ और झुंड खुफिया के कई दार्शनिक पहलुओं का वर्णन करता है। पीएसओ अनुप्रयोगों का व्यापक सर्वेक्षण रिकार्डो पोली द्वारा किया गया है।[6][7]हाल ही में, पीएसओ पर सैद्धांतिक और प्रायोगिक कार्यों की व्यापक समीक्षा बोनयाडी और माइकलविक्ज़ द्वारा प्रकाशित की गई है।[1]

पीएसओ मेटाह्यूरिस्टिक है क्योंकि यह समस्या को अनुकूलित करने के बारे में कोई धारणा नहीं बनाता है और उम्मीदवार समाधानों के बहुत बड़े स्थान खोज सकता है। साथ ही, पीएसओ ऑप्टिमाइज़(अनुकूलित) की जा रही समस्या के ग्रेडियेंट का उपयोग नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि पीएसओ के लिए यह आवश्यक नहीं है ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या विभेदक कार्य हो जैसा कि क्लासिक अनुकूलन विधियों जैसे कि ग्रेडिएंट डिसेंट और क्वैसी-न्यूटन विधियों द्वारा आवश्यक है। चूंकि, पीएसओ जैसे मेटाह्यूरिस्टिक्स इस बात की आश्वासन नहीं देते हैं कि सर्वोत्तम समाधान कभी मिल सकता है।

कलनविधि

पीएसओ कलनविधि का मूल संस्करण उम्मीदवार समाधान (कण कहा जाता है) की आबादी (झुंड कहा जाता है) के द्वारा कार्य करता है। इन कणों को सरल सूत्रों के अनुकूल खोज-स्थान में इधर-उधर घुमाया जाता है।[8] कणों के आंदोलनों को खोज-स्थान में उनकी अपनी सबसे प्रसिद्ध स्थिति के साथ-साथ पुरे झुंड की सबसे प्रसिद्ध स्थिति द्वारा निर्देशित किया जाता है। जब बेहतर स्थिति की खोज की जा रही है तो ये झुंड के आंदोलनों का मार्गदर्शन करने के लिए आएंगे।सभी प्रक्रिया को दोहराया जाता है और ऐसा करने से यह आशा की जाती है, परन्तु इसकी गारंटी नहीं है कि अंत में संतोषजनक समाधान खोज लिया जाएगा।

औपचारिक रूप से, मान लीजिए f: ℝn → ℝ लागत फलन हो जिसे न्यूनतम किया जाना चाहिए। फलन एक उम्मीदवार समाधान को वास्तविक संख्याओं के एक पंक्ति वेक्टर तर्क के रूप में लेता है और आउटपुट के रूप में वास्तविक संख्या उत्पन्न करता है जो दिए गए उम्मीदवार समाधान के उद्देश्य फलन मान को इंगित करता है। F की प्रवणता ज्ञात नहीं है। लक्ष्य समाधान 'a' खोजना है जिसके लिए खोज-स्थान में सभी 'b' के लिए f('a') ≤ f('b') है, जिसका अर्थ 'a' वैश्विक न्यूनतम है।

मान लीजिए S झुंड में कणों की संख्या है, प्रत्येक की स्थिति 'x' हैi∈ ℝn खोज-स्थान में और वेग 'v'i∈ ℝn. pi कण i की सबसे अच्छी ज्ञात स्थिति हो और 'g' पूरे झुंड की सबसे अच्छी ज्ञात स्थिति हो। लागत फलन को कम करने के लिए मूल पीएसओ कलनविधि है:[9] 

for each particle i = 1, ..., S do
    Initialize the particle's position with a uniformly distributed random vector: xi ~ U(blo, bup)
    Initialize the particle's best known position to its initial position: pi ← xi
    if f(pi) < f(g) then
        update the swarm's best known position: g ← pi
    Initialize the particle's velocity: vi ~ U(-|bup-blo|, |bup-blo|)
while a termination criterion is not met do:
    for each particle i = 1, ..., S do
        for each dimension d = 1, ..., n do
            Pick random numbers: rp, rg ~ U(0,1)
            Update the particle's velocity: vi,d ← w vi,d + φp rp (pi,d-xi,d) + φg rg (gd-xi,d)
        Update the particle's position: xi ← xi + vi
        if f(xi) < f(pi) then
            Update the particle's best known position: pi ← xi
            if f(pi) < f(g) then
                Update the swarm's best known position: g ← pi

समाप्ति मानदंड प्रदर्शन किए गए पुनरावृत्तियों की संख्या हो सकता है, या समाधान जहां पर्याप्त उद्देश्य फलन मान पाया जाता है।[10]पैरामीटर डब्ल्यू, φp, और φg व्यवसायी द्वारा चुने जाते हैं और पीएसओ विधि (पैरामीटर चयन) के व्यवहार और प्रभावकारिता को नियंत्रित करते हैं।







पैरामीटर चयन

प्रदर्शन परिदृश्य दिखा रहा है कि दो पीएसओ मापदंडों को बदलते समय एक साधारण पीएसओ वेरिएंट कई बेंचमार्क समस्याओं पर कुल मिलाकर कैसा प्रदर्शन करता है।

पीएसओ पैरामीटर के चुनाव का अनुकूलन प्रदर्शन पर बड़ा प्रभाव पड़ सकता है। अच्छा प्रदर्शन देने वाले पीएसओ पैरामीटर का चयन इसलिए बहुत शोध का विषय रहा है।[11][12][13][14][15][16][17][18][19]

विचलन (विस्फोट) को रोकने के लिए जड़ता का वजन 1 से कम होना चाहिए। फिर दो अन्य मापदंडों को निर्माण दृश्टिकोण या स्वतंत्र प्रकार से चुने जाने के लिए दिया जा सकता है,परन्तु विश्लेषण अभिसरण डोमेन को विवश करने का सुझाव देते हैं। [16] विशिष्ट मान में हैं .

पीएसओ मापदंडों को अन्य ओवरलेइंग ऑप्टिमाइज़र का उपयोग करके देखा जा सकता है, एक अवधारणा जिसे मेटा-अनुकूलन के रूप में जाना जाता है,[20][21][22][23]ऑप्टिमाइज़ेशन की अवधि में परिष्कृत किया जाता है, उदाहरण के लिए, फ़ज़ी लॉजिक के माध्यम से होता है।[24][25]

विभिन्न अनुकूलन परिदृश्यों के लिए पैरामीटर्स को भी देखा गया है।[26][27]


पड़ोस और टोपोलॉजी

झुंड की टोपोलॉजी कणों के उपसमुच्चय को परिभाषित करती है जिसके साथ प्रत्येक कण सूचना का आदान-प्रदान कर सकता है।[28]एल्गोरिदम का मूल संस्करण झुंड संचार संरचना के प्रकार में वैश्विक टोपोलॉजी का उपयोग करता है।[10]टोपोलॉजी सभी कणों को अन्य सभी कणों के साथ संवाद करने की अनुमति देती है, इस प्रकार पूरा झुंड कण से समान सर्वोत्तम स्थिति साझा करता है। चूंकि, यह दृष्टिकोण झुंड को स्थानीय न्यूनतम में फँसाने का कारण बन सकता है,[29] इस प्रकार कणों के बीच सूचना के प्रवाह को नियंत्रित करने के लिए विभिन्न टोपोलॉजी का उपयोग किया गया है। उदाहरण के लिए, स्थानीय टोपोलॉजी में, कण केवल कणों के उपसमुच्चय के साथ सूचना साझा करते हैं।[10]यह उपसमुच्चय ज्यामितीय हो सकता है[30] - उदाहरण के लिए m निकटतम कण - या अत्यधिक बार , सामाजिक, अर्थात कणों का समूह जो किसी भी दूरी पर निर्भर नहीं होता है। ऐसे स्थिति में, पीएसओ प्रकार को स्थानीय सर्वोत्तम (आधारभूत पीएसओ के लिए वैश्विक सर्वश्रेठ) कहा जाता है।

सामान्य तौर पर उपयोग की जाने वाली झुंड टोपोलॉजी रिंग है, जिसमें प्रत्येक कण के सिर्फ दो पड़ोसी होते हैं,परन्तु कई अन्य भी होते हैं।[10]टोपोलॉजी स्थिर नहीं है। वास्तव में, चूंकि टोपोलॉजी कणों के संचार की विविधता से संबंधित है,[31]अनुकूली टोपोलॉजी बनाने के लिए कुछ प्रयास किए गए हैं (एसपीएसओ,[32] एपीएसओ,[33] स्टोकेस्टिक स्टार,[34] जनजाति,[35] साइबर झुंड,[36] और सी-पीएसओ[37]).

आंतरिक कामकाज

पीएसओ एल्गोरिद्म अनुकूलन क्यों और कैसे कर सकता है, इस पर विचार के कई स्कूल हैं।

शोधकर्ताओं के बीच साधारण धारणा यह है कि झुंड का व्यवहार खोजपूर्ण व्यवहार के बीच भिन्न होता है, अर्थात, खोज-स्थान के व्यापक क्षेत्र की खोज, और शोषणकारी व्यवहार, जो कि स्थानीय रूप से उन्मुख खोज है जिससे (संभवतः स्थानीय) के करीब पहुंच सकते हैं। पीएसओ की स्थापना के बाद से विचार का यह विद्यालय प्रचलित रहा है।[3][4][12][16]इस स्कूल ऑफ थिंक का तर्क है कि पीएसओ कलनविधि और इसके मापदंडों को चुना जाना चाहिए जिससे स्थानीय अनुकूलतम के लिए समय से पहले अभिसरण से बचने के लिए अन्वेषण और शोषण के बीच ठीक से संतुलन बनाया जा सके, फिर अनुकूलतम के अभिसरण अनुक्रम की अच्छी दर सुनिश्चित की जा सके। यह विश्वास कई पीएसओ वेरिएंट का अग्रगामी है, वेरिएंट देख सकते हैं।

विचार का अन्य स्कूल यह है कि पीएसओ झुंड का व्यवहार वास्तविक अनुकूलन प्रदर्शन को कैसे प्रभावित करता है, विशेष प्रकार से उच्च-आयामी खोज-स्थानों और अनुकूलन समस्याओं के संदर्भ में अच्छी तरह से नहीं समझा जाता है जो असतत, शोर और समय-भिन्न हो सकते हैं। विचार का यह स्कूल पीएसओ एल्गोरिदम और पैरामीटर खोजने की प्रयास करता है जो अच्छे प्रदर्शन का कारण बनता है, भले ही झुंड के व्यवहार की व्याख्या कैसे की जा सकती है। अन्वेषण और शोषण। इस तरह के अध्ययनों से पीएसओ कलनविधि का सरलीकरण हुआ है, सरलीकरण देख सकते हैं।

अभिसरण

पीएसओ के संबंध में शब्द अभिसरण सामान्यतः दो अलग-अलग परिभाषाओं को संदर्भित करता है:

  • समाधानों के अनुक्रम का अभिसरण (उर्फ, स्थिरता विश्लेषण, अभिसरण अनुक्रम) जिसमें सभी कण खोज-स्थान में बिंदु पर अभिसरण करते हैं, जो अनुकूलतम हो सकता है या नहीं भी हो सकता है,
  • स्थानीय अनुकूलतम के लिए अभिसरण जहां सभी व्यक्तिगत सर्वश्रेष्ठ 'p' या, वैकल्पिक प्रकार से, झुंड की सबसे अच्छी ज्ञात स्थिति 'g', झुंड कैसे व्यवहार करता है, इस पर ध्यान दिए बिना समस्या के स्थानीय अनुकूलतम तक पहुंचता है।

समाधान के क्रम के अभिसरण की पीएसओ के लिए जांच की गई है।[15][16][17]इन विश्लेषणों के परिणामस्वरूप पीएसओ मापदंडों का चयन करने के लिए दिशा-निर्देश दिए गए हैं, जिनके बारे में माना जाता है कि वे एक बिंदु पर अभिसरण का कारण बनते हैं और झुंड के कणों के विचलन को रोकते हैं (कण असीमित प्रकार से आगे नहीं बढ़ते हैं और कहीं न कहीं अभिसरण करता है)। चूंकि, पेडर्सन द्वारा विश्लेषण की आलोचना की गई थी[22]अत्यधिक सरलीकृत होने के लिए क्योंकि वे मानते हैं कि झुंड में केवल कण है, यह स्टोकेस्टिक चर का उपयोग नहीं करता है और आकर्षण के बिंदु है, अर्थात कण की सबसे अच्छी ज्ञात स्थिति p और झुंड की सबसे अच्छी ज्ञात स्थिति g, अनुकूलन प्रक्रिया की अवधि में स्थिर रहती है। चूंकि दर्शाया गया है [38] कि ये सरलीकरण इन अध्ययनों द्वारा पैरामीटर के लिए पाई गई सीमाओं को प्रभावित नहीं करते हैं जहां झुंड अभिसरण है। पीएसओ के स्थिरता विश्लेषण की अवधि में उपयोग की जाने वाली मॉडलिंग धारणा को कमजोर करने के लिए निकट के वर्षों में काफी प्रयास किए गए हैं,[39]सबसे निकट सामान्यीकृत परिणाम के साथ कई पीएसओ प्रकारों पर लागू होता है और जो न्यूनतम आवश्यक मॉडलिंग धारणाओं के रूप में दिखाया गया था उसका उपयोग किया जाता है।[40]

पीएसओ के लिए एक स्थानीय अनुकूलतम के अभिसरण का विश्लेषण किया गया है[41] और।[42]यह सिद्ध हो चुका है कि स्थानीय अनुकूलतम खोजने की गारंटी के लिए पीएसओ में कुछ संशोधन की आवश्यकता है।

इसका मतलब यह है कि विभिन्न पीएसओ एल्गोरिदम और पैरामीटर की अभिसरण क्षमताओं का निर्धारण अभी भी अनुभवजन्य परिणामों पर निर्भर करता है। इस आशय को संबोधित करने का प्रयास p और g के बीच संबंध में पहले से सम्मिलित जानकारी के उत्तम उपयोग के लिए ओर्थोगोनल सीखने की रणनीति का विकास है,जिससे कि प्रमुख अभिसरण उदाहरण तैयार किया जा सके और किसी भी पीएसओ टोपोलॉजी के साथ प्रभावी हो सके। इसका उद्देश्य समग्र प्रकार से पीएसओ के प्रदर्शन में सुधार करना है, जिसमें तेजी से वैश्विक अभिसरण, उच्च समाधान गुणवत्ता और मजबूती सम्मिलित है।[43]चूंकि, ऐसे अध्ययन वास्तव में उनके दावों को साबित करने के लिए सैद्धांतिक प्रमाण प्रदान नहीं करते हैं।

अनुकूली तंत्र

अभिसरण ('शोषण') और विचलन ('अन्वेषण') के बीच व्यापार-बंद की आवश्यकता के बिना,अनुकूली तंत्र प्रस्तुत किया जा सकता है। अनुकूली कण झुंड अनुकूलन (एपीएसओ) [44]मानक पीएसओ की तुलना में सर्वोत्तम खोज दक्षता प्रदान करता है। A पीएसओ उच्च अभिसरण गति के साथ संपूर्ण खोज स्थान पर वैश्विक खोज कर सकता है। यह चलाने के समय पर जड़ता वजन, त्वरण गुणांक और अन्य कलनविधि मापदंडों के स्वत: नियंत्रण को सक्षम बनाता है, जिससे एक ही समय में खोज प्रभावशीलता और दक्षता में सुधार होता है। इसके अतिरिक्त, एपीएसओ संभावित स्थानीय ऑप्टिमा से बाहर निकलने के लिए विश्व स्तर पर सर्वश्रेष्ठ कण पर कार्य कर सकता है। चूंकि, एपीएसओ नए कलनविधि मापदंडों को प्रस्तुत करेगा, फिर भी यह अतिरिक्त डिज़ाइन या कार्यान्वयन जटिलता का परिचय नहीं देता है।

वेरिएंट

मूलभूत पीएसओ कलनविधि के भी कई प्रकार संभव हैं। उदाहरण के लिए, कणों और वेगों को आरंभ करने के विभिन्न तरीके हैं (उदाहरण के लिए इसके बजाय शून्य वेग से शुरू करें), वेग को कैसे कम करें, केवल p को अपडेट करेंi और g के बाद पूरे झुंड को अद्यतन किया गया है, आदि। साहित्य में इनमें से कुछ विकल्पों और उनके संभावित प्रदर्शन प्रभाव पर चर्चा की गई है।[14]

प्रमुख शोधकर्ताओं द्वारा मानक कार्यान्वयन की श्रृंखला बनाई गई है, जिसका उद्देश्य तकनीक में सुधार के प्रदर्शन परीक्षण के लिए आधार रेखा के रूप में उपयोग करना और व्यापक अनुकूलन समुदाय के लिए पीएसओ का प्रतिनिधित्व करना है। प्रसिद्ध, सख्ती से परिभाषित मानक एल्गोरिदम होने से तुलना का मूल्यवान बिंदु प्रदान होता है जिसका प्रयोग अनुसंधान के क्षेत्र में नई प्रगति का सर्वश्रेष्ठ परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है।[10] नवीनतम मानक पीएसओ 2011 (S पीएसओ-2011) है।[45]

संकरण

अनुकूलन प्रदर्शन को अच्छा बनाने के प्रयास में नए और अधिक परिष्कृत पीएसओ संस्करण लगातार प्रस्तुत किए जा रहे हैं। उस शोध में कुछ रुझान हैं; अन्य अनुकूलक के साथ संयुक्त पीएसओ का उपयोग करके एक संकर अनुकूलन विधि बनाना है,[46][47][48]उदाहरण., जैवभूगोल-आधारित अनुकूलन के साथ संयुक्त पीएसओ,[49] प्रभावी शिक्षण पद्धति का समावेश है।[43]

समयपूर्व अभिसरण को कम करें

अन्य शोध प्रवृत्ति समय से पहले अभिसरण (अर्थात, अनुकूलन ठहराव) को कम करने की प्रयास करना है, उदाहरण के लिए पीएसओ कणों की गति को उलटने या परेशान करने से,[19][50][51][52]समयपूर्व अभिसरण से निपटने के लिए अन्य दृष्टिकोण एकाधिक झुंडों का उपयोग है[53] (बहु-झुंड अनुकूलन)। बहु-उद्देश्य अनुकूलन को लागू करने के लिए बहु-झुंड दृष्टिकोण का भी उपयोग किया जा सकता है।[54] अंत में, अनुकूलन की अवधि में पीएसओ के व्यवहार संबंधी मापदंडों को अपनाने में विकास हुआ है।[44][24]

सरलीकरण

विचार का अन्य स्कूल यह है कि पीएसओ को इसके प्रदर्शन को खराब किए बिना जितना संभव हो उतना सरल बनाया जाना चाहिए; सामान्य अवधारणा को अधिकांशतः ओकाम का रेज़र कहा जाता है। सरलीकृत पीएसओ मूल रूप से केनेडी द्वारा सुझाया गया था[4]और अत्यधिक व्यापक ढंग से अध्ययन किया गया है,[18][21][22][55]जहां ऐसा प्रतीत हुआ कि अनुकूलन प्रदर्शन में सुधार हुआ है, और मापदंडों को ट्यून करना सरल था और उन्होंने विभिन्न अनुकूलन समस्याओं में लगातार बहुत प्रदर्शन किया है।

पीएसओ को सरल बनाने के पक्ष में एक और तर्क यह है कि मेटाह्यूरिस्टिक्स केवल सीमित संख्या में अनुकूलन समस्याओं पर कम्प्यूटेशनल प्रयोग करके अनुभवजन्य प्रकार से अपनी प्रभावकारिता प्रदर्शित कर सकता है। इसका मतलब यह है कि पीएसओ जैसे मेटाहेरिस्टिक कार्यक्रम की शुद्धता नहीं हो सकती है और इससे इसके विवरण और कार्यान्वयन में त्रुटियां होने का खतरा बढ़ जाता है। इसका एक अच्छा उदाहरण है[56]एक आनुवंशिक कलनविधि (एक अन्य लोकप्रिय मेटाह्यूरिस्टिक) का आशाजनक संस्करण प्रस्तुत किया गया था, परन्तु बाद में इसे दोषपूर्ण पाया गया क्योंकि यह खोज स्थान में विभिन्न आयामों के लिए समान मूल्यों के प्रति अपनी अनुकूलन खोज में दृढ़ता से समर्थक था, जो सतह का अनुकूलतम हुआ। समस्याओं पर विचार किया। यह समर्थन क प्रोग्रामिंग त्रुटि के कारण था, और अब इसे ठीक कर लिया गया है।[57]

वेगों की प्रारम्भ के लिए अतिरिक्त इनपुट की आवश्यकता हो सकती है। द बेयर बोन्स पीएसओ वैरिएंट[58] 2003 में जेम्स कैनेडी द्वारा प्रस्तावित किया गया है, और इसमें वेग का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है।

एक और सरल संस्करण त्वरित कण झुंड अनुकूलन (एपीएसओ) है,[59] जिसे वेग का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है और कई अनुप्रयोगों में अभिसरण को गति दे सकता है। एपीएसओ का साधारण डेमो कोड उपलब्ध है।[60]

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन

पीएसओ का बहुउद्देश्यीय अनुकूलन बहुउद्देश्यीय समस्याओं पर लागू किया गया है,[61][62][63]जिसमें पीएसओ कणों को स्थानांतरित करते समय उद्देश्य फलन तुलना पारेटो दक्षता को ध्यान में रखती है और गैर-प्रभुत्व वाले समाधानों को संग्रहीत किया जाता है इसलिए कि पारेटो मोर्चे का अनुमान लगाया जा सके।

बाइनरी, डिस्क्रीट और कॉम्बिनेटरियल

ऊपर दिए गए पीएसओ समीकरण वास्तविक संख्याओं पर कार्य करते हैं, असतत समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य तौर पर इस्तेमाल की जाने वाली विधि असतत खोज स्थान को निरंतर डोमेन पर मैप करना है, क्लासिकल पीएसओ लागू करना है, और फिर परिणाम को डीमैप करना है। इस तरह की मैपिंग बहुत सरल हो सकती है (उदाहरण के लिए केवल गोलाकार मानों का उपयोग करके) या अधिक परिष्कृत करके किया जा सकता है।[64] चूंकि, यह ध्यान दिया जा सकता है कि संचलन के समीकरण उन ऑपरेटरों का उपयोग करते हैं जो चार क्रियाएं करते हैं:

  • दो पदों के अंतर की गणना। नतीजा एक वेग है (अधिक सटीक रूप से एक विस्थापन)
  • किसी वेग को संख्यात्मक गुणांक से गुणा करना है
  • दो वेग जोड़ना है
  • किसी स्थिति में वेग लागू करना है

सामान्य तौर पर स्थिति और वेग n वास्तविक संख्याओं द्वारा दर्शाए जाते हैं, और ये संकारक केवल -, *, +, और फिर + होते हैं। परन्तु इन सभी गणितीय वस्तुओं को पूरी तरह से अलग तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, ताकि द्विआधारी समस्याओं (अत्यधिक सामान्य स्तर पर असतत वाले), या संयोजन वाले लोगों का सामना किया जा सके।[65][66][67][68] दृष्टिकोण समूह के आधार पर ऑपरेटरों को फिर से परिभाषित करना है।[69]

यह भी देखें

संदर्भ

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