कठोर रोटर

"आणविक घुमाव" redirects here. For अणु के भीतर बंध-घूर्णन, see रूपात्मक समरूपता।.

रोटरडायनामिक्स में, कठोर रोटर घूर्णन प्रणालियों का यांत्रिक मॉडल है। स्वेच्छाचारी कठोर रोटर 3-आयामी कठोर वस्तु है, जैसे शीर्ष। अंतरिक्ष में ऐसी वस्तु को उन्मुख करने के लिए तीन कोणों की आवश्यकता होती है, जिन्हें यूलर कोण कहा जाता है। विशेष कठोर रोटर रैखिक रोटर है, जिसे वर्णन करने के लिए केवल दो कोणों की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए डायटोमिक अणु। अधिक सामान्य अणु 3-आयामी होते है, जैसे पानी (असममित रोटर), अमोनिया (सममित रोटर), या मीथेन (गोलाकार रोटर)।

रैखिक रोटर

रैखिक कठोर रोटर मॉडल में द्रव्यमान के केंद्र से निश्चित दूरी पर स्थित दो बिंदु द्रव्यमान होते हैं। दो द्रव्यमानों और द्रव्यमानों के मूल्यों के बीच की निश्चित दूरी कठोर मॉडल की एकमात्र विशेषता है। तथापि, कई वास्तविक डायटोमिक्स के लिए यह मॉडल बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक है क्योंकि दूरियाँ सामान्यतः पूरी तरह से तय नहीं होती हैं। दूरी में छोटे बदलावों की भरपाई के लिए कठोर मॉडल में सुधार किए जा सकते हैं। ऐसे मामले में भी कठोर रोटर मॉडल प्रस्थान का उपयोगी बिंदु है (शून्य-क्रम मॉडल)।

शास्त्रीय रैखिक कठोर रोटर

शास्त्रीय रैखिक रोटर में दो बिंदु द्रव्यमान होते हैं $m_{1}$ और $m_{2}$ (कम द्रव्यमान के साथ ${\textstyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$) दूरी पर एक दूसरे के $R$ रोटर कठोर है अगर $R$ समय से स्वतंत्र है। रैखिक कठोर रोटर की शुद्धगतिकी को सामान्यतः गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक के माध्यम से वर्णित किया जाता है, जो R³ की समन्वय प्रणाली बनाते है। ^{भौतिकी परिपाटी में निर्देशांक सह-अक्षांश (आंचल) कोण होते हैं $\theta \,$, अनुदैर्ध्य (दिगंश) कोण $\varphi \,$ और दूरी $R$. कोण अंतरिक्ष में रोटर के उन्मुखीकरण को निर्दिष्ट करते हैं। गतिज ऊर्जा रैखिक कठोर रोटर $T$ द्वारा दिया जाता है}

$$2T=\mu R^{2}\left[{\dot {\theta }}^{2}+({\dot {\varphi }}\,\sin \theta )^{2}\right]=\mu R^{2}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}&{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}=\mu {\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}&{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{\theta }^{2}&0\\0&h_{\varphi }^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}},$$

जहाँ $h_{\theta }=R\,$ और $h_{\varphi }=R\sin \theta \,$ स्केल (या अपूर्ण) कारक हैं।

क्वांटम यांत्रिक अनुप्रयोगों के लिए स्केल कारक महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे घुमावदार निर्देशांक में व्यक्त लाप्लासियन में प्रवेश करते हैं। हाथ में मामले में (निरंतर $R$)

$$\nabla ^{2}={\frac {1}{h_{\theta }h_{\varphi }}}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {h_{\varphi }}{h_{\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\frac {h_{\theta }}{h_{\varphi }}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right]={\frac {1}{R^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right].$$

रैखिक कठोर रोटर का शास्त्रीय हैमिल्टनी फलन है

$$H={\frac {1}{2\mu R^{2}}}\left[p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right].$$

क्वांटम यांत्रिक रैखिक कठोर रोटर

डायटोमिक अणु की घूर्णी ऊर्जा की भविष्यवाणी करने के लिए रैखिक कठोर रोटर मॉडल का उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में किया जा सकता है। घूर्णी ऊर्जा प्रणाली के लिए जड़त्व के क्षण पर निर्भर करती है, $I$. जन संदर्भ फ्रेम के केंद्र में, जड़त्व का क्षण बराबर होता है:

$$I=\mu R^{2}$$

जहाँ $\mu$ अणु का घटा हुआ द्रव्यमान है और $R$ दो परमाणुओं के बीच की दूरी है।

क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार, श्रोडिंगर समीकरण को हल करके प्रणाली के ऊर्जा स्तर को निर्धारित किया जा सकता है

$${\displaystyle }$$