कक्षा (भौतिकी)

This article is about गुरुत्वाकर्षण के कारण आकाशीय यांत्रिकी में कक्षाएँ. For other uses, see कक्षा (भौतिकी) (disambiguation).

आकाशीय यांत्रिकी में कक्षा भौतिक घुमावदार प्रक्षेपवक्र है जैसे किसी तारे के चारों ओर किसी ग्रह का प्रक्षेप वक्र, या किसी ग्रह के चारों ओर प्राकृतिक उपग्रह, या किसी वस्तु के चारों ओर उपग्रह या अंतरिक्ष में स्थिति जैसे ग्रह, चंद्रमा, क्षुद्रग्रह, या भाषा बिंदु सामान्यतः उस कक्षा में नियमित रूप से दोहराए जाने वाले प्रक्षेपवक्र को संदर्भित करती है, चूंकि यह गैर-दोहराए जाने वाले प्रक्षेपवक्र को भी संदर्भित कर सकती है। निकट सन्निकटन के लिए ग्रह और उपग्रह अण्डाकार कक्षाओं का अनुसरण करते हैं, केन्द्रक को दीर्घवृत्त के केंद्र बिंदु पर परिक्रमा करते हुए, जैसा कि केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों द्वारा वर्णित है।

अधिकांश स्थितियों के लिए, कक्षीय गति को न्यूटोनियन यांत्रिकी द्वारा पर्याप्त रूप से अनुमानित किया जाता है, जो न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करने वाले बल के रूप में समझाता है। चूंकि, अल्बर्ट आइंस्टीन का सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत, जो अंतरिक्ष-समय की वक्रता के कारण गुरुत्वाकर्षण के लिए संलग्न करता है, भूगर्भ विज्ञान के पश्चात की कक्षाओं के साथ, कक्षीय गति के सटीक यांत्रिकी की अधिक सटीक गणना और समझ प्रदान करता है।

इतिहास

ऐतिहासिक रूप से, ग्रहों की स्पष्ट गतियों का वर्णन यूरोपीय और अरबी दार्शनिकों द्वारा खगोलीय क्षेत्रों के विचार का उपयोग करके किया गया था। इस मॉडल ने सही गतिमान क्षेत्रों या छल्लों के अस्तित्व को प्रस्तुत किया जिससे तारे और ग्रह जुड़े हुए थे। यह मान लिया गया था कि आकाश गोलों की गति से अलग और गुरुत्वाकर्षण की समझ के बिना विकसित किया गया था। ग्रहों की गति को अधिक सटीक रूप से मापने के पश्चात, सैद्धांतिक तंत्र जैसे डिफ्रेंट और एपिसायकल संयोजित किया गया था। चूंकि यह मॉडल आकाश में ग्रहों की स्थिति का यथोचित सटीक अनुमान लगाने में सक्षम था, अधिक से अधिक एपिसायकल की आवश्यकता थी क्योंकि माप अधिक सटीक हो गए थे, इसलिए मॉडल तेजी से विलुप्त हो गये थे। इस प्रकार मूल रूप से भूकेंद्रित मॉडल, इसे कोपरनिकस द्वारा संशोधित किया गया था जिससे कि मॉडल को सरल बनाने में सहयोग के लिए सूर्य को केंद्र में रखा जा सके। 16 वीं शताब्दी के समय मॉडल को और चुनौती दी गई, क्योंकि धूमकेतुओं को क्षेत्रों में घूमते हुए देखा गया था।

कक्षाओं की आधुनिक समझ का आधार सबसे पहले जोहान्स केप्लर द्वारा तैयार किया गया था, जिसके परिणामों को ग्रहीय गति के उनके तीन नियमों में संक्षेपित किया गया है। सबसे पहले, उन्होंने पाया कि हमारे सौर मंडल में ग्रहों की कक्षाएँ अण्डाकार हैं, वृत्त (या ग्रहचक्र) नहीं, जैसा कि पहले माना जाता था, और यह कि सूर्य कक्षाओं के केंद्र में स्थित नहीं है, इसके अतिरिक्त इसका मान फोकस पर आधारित रहता है। दूसरा, उन्होंने पाया कि प्रत्येक ग्रह की कक्षीय गति स्थिर नहीं है, जैसा कि पहले सोचा गया था, बल्कि यह कि गति सूर्य से ग्रह की दूरी पर निर्भर करती है। तीसरा, केपलर ने सूर्य की परिक्रमा करने वाले सभी ग्रहों के कक्षीय गुणों के बीच सार्वभौमिक संबंध पाया था। इस प्रकार ग्रहों के लिए, सूर्य से उनकी दूरी के घन उनकी कक्षीय अवधि के वर्गों के समानुपाती होते हैं। क्रमशः बृहस्पति और शुक्र, उदाहरण के लिए, क्रमशः सूर्य से लगभग 5.2 और 0.723 खगोलीय इकाई दूर हैं, उनकी कक्षीय अवधि क्रमशः लगभग 11.86 और 0.615 वर्ष है। आनुपातिकता इस तथ्य से देखी जाती है कि बृहस्पति के लिए अनुपात 5.2³/11.86² है, व्यावहारिक रूप से शुक्र के संबंध के अनुसार 0.723³/0.615² के बराबर है। इन नियमों को पूरा करने वाली आदर्श कक्षाओं को केपलर कक्षाओं के रूप में जाना जाता है।

आइजैक न्यूटन ने प्रदर्शित किया कि केप्लर के नियम उनके गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत से व्युत्पन्न थे और सामान्यतः, गुरुत्वाकर्षण के अधीन पिंडों की कक्षाएँ शंक्वाकार खंड थीं, यह मानता है कि गुरुत्वाकर्षण बल तुरंत फैलता है। न्यूटन ने दिखाया कि पिंडों की जोड़ी के लिए, कक्षाओं का आकार उनके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है, और यह कि वे पिंड अपने द्रव्यमान के सामान्य केंद्र की परिक्रमा करते हैं। जहां पिंड दूसरे की तुलना में बहुत अधिक विशाल है (जैसा कि ग्रह की परिक्रमा करने वाले कृत्रिम उपग्रह की स्थिति हैं), यह द्रव्यमान के केंद्र को अधिक विशाल पिंड के केंद्र के साथ मेल खाने के लिए सुविधाजनक सन्निकटन है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी में अग्रिमों का उपयोग तब केपलर कक्षाओं के पीछे की सरल धारणाओं से भिन्नताओं का पता लगाने के लिए किया गया था, जैसे कि अन्य पिंडों के कारण क्षोभ, या गोलाकार पिंडों के अतिरिक्त गोलाकार प्रभाव के कारण जोसेफ-लुई लाग्रेंज ने न्यूटोनियन यांत्रिकी के लिए बल से अधिक ऊर्जा पर जोर देने के लिए लैग्रैन्जियन यांत्रिकी विकसित की और लैग्रैंगियन बिंदुओं की खोज करते हुए तीन-शरीर की समस्या पर प्रगति की हैं। मौलिक यांत्रिकी के नाटकीय समर्थन में, 1846 में शहरी ले वेरियर अरुण ग्रह की कक्षा में अस्पष्ट त्रुटि के आधार पर नेपच्यून की स्थिति की भविष्यवाणी करने में सक्षम थे।

अल्बर्ट आइंस्टीन ने अपने 1916 के पेपर द फाउंडेशन ऑफ़ द जनरल थ्योरी ऑफ़ रिलेटिविटी में समझाया कि गुरुत्वाकर्षण अंतरिक्ष-समय की वक्रता के कारण था और न्यूटन की इस धारणा को हटा दिया कि परिवर्तन तुरंत फैलता है। इसने खगोलविदों को यह पहचानने के लिए प्रेरित किया कि न्यूटोनियन यांत्रिकी ने कक्षाओं को समझने में उच्चतम सटीकता प्रदान नहीं की थी। सापेक्षता सिद्धांत में, कक्षाएँ जियोडेसिक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करती हैं, जो सामान्यतः न्यूटोनियन भविष्यवाणियों द्वारा बहुत अच्छी तरह से अनुमानित हैं (अतिरिक्त इसके कि जहां बहुत मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और बहुत उच्च गति हैं) किन्तु अंतर मापने योग्य हैं। अनिवार्य रूप से सभी प्रायोगिक साक्ष्य जो सिद्धांतों के बीच अंतर कर सकते हैं, प्रायोगिक माप सटीकता के भीतर सापेक्षता सिद्धांत से सहमत हैं। सामान्य सापेक्षता का मूल समर्थन यह है कि यह सामान्य सापेक्षता के परीक्षणों में शेष अस्पष्टीकृत राशि की मात्रा ज्ञात करने में सक्षम था, बुध का पेरीहेलियन प्रीसेशन या बुध का प्रीसेशन जिसे ले वेरियर ने सबसे पहले नोट किया था। चूंकि, न्यूटन के समाधान का अभी भी अधिकांश अल्पकालिक उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है क्योंकि यह उपयोग करने में अधिक सरल और पर्याप्त रूप से सटीक है।

ग्रहों की परिक्रमा

एक ग्रह प्रणाली के भीतर, ग्रह, बौने ग्रह, क्षुद्रग्रह और अन्य छोटे ग्रह, धूमकेतु, और अंतरिक्ष मलबे अण्डाकार कक्षाओं में प्रणाली के लिए बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (खगोल विज्ञान) की परिक्रमा करते हैं। परवलयिक प्रक्षेपवक्र या अतिपरवलयिक प्रक्षेपवक्र कक्षा में बैरीसेंटर के बारे में धूमकेतु गुरुत्वीय रूप से तारे से बंधा नहीं है और इसलिए इसे तारे की ग्रह प्रणाली का भाग नहीं माना जाता है। पिंड जो ग्रह प्रणाली में ग्रहों में से किसी के लिए गुरुत्वाकर्षण से बंधे हैं, या तो प्राकृतिक उपग्रह या उपग्रह, उस ग्रह के पास या उसके भीतर बेरिकेंटर के बारे में कक्षाओं का पालन करते हैं।

पारस्परिक त्रुटि (खगोल विज्ञान) के कारण, ग्रहों की कक्षाओं की विलक्षणता (कक्षा) समय के साथ परिवर्तित होती रहती हैं। सौर मंडल के सबसे छोटे ग्रह बुध (ग्रह) की कक्षा सबसे अधिक विलक्षण है। वर्तमान युग (खगोल विज्ञान) में, मंगल की अगली सबसे बड़ी विलक्षणता है जबकि सबसे छोटी कक्षीय विलक्षणता शुक्र और नेपच्यून के साथ देखी जाती है।

जैसा कि दो वस्तुएं एक-दूसरे की परिक्रमा करती हैं, पेरीपसिस वह बिंदु है जिस पर दो वस्तुएं एक-दूसरे के सबसे समीप होती हैं और एपौएपस्सि वह बिंदु होता है जिस पर वे सबसे दूर होते हैं। (विशिष्ट पिंडों के लिए अधिक विशिष्ट शब्दों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उपभूभाग और अपभूभाग मुख्य रूप से पृथ्वी के चारों ओर कक्षा के सबसे निचले और उच्चतम भाग हैं, जबकि उपसौर और अपसौर सूर्य के चारों ओर कक्षा के निकटतम और सबसे दूर के बिंदु हैं।)

किसी तारे की परिक्रमा करने वाले ग्रहों की स्थिति में, तारे और उसके सभी उपग्रहों के द्रव्यमान की गणना बिंदु पर की जाती है जिसे बेरिकेंटर कहा जाता है। इस प्रकार तारे के सभी उपग्रहों के पथ उस बेरिकेंटर के चारों ओर अण्डाकार कक्षाएँ हैं। उस प्रणाली के प्रत्येक उपग्रह की अपनी अण्डाकार कक्षा होगी जिसमें उस दीर्घवृत्त के केंद्र बिंदु पर बेरिकेंटर होगा। अपनी कक्षा के साथ किसी भी बिंदु पर, किसी भी उपग्रह के पास बायर्सेंटर के संबंध में गतिज और संभावित ऊर्जा का निश्चित मूल्य होगा, और उन दो ऊर्जाओं का योग इसकी कक्षा के साथ हर बिंदु पर स्थिर मान है। परिणामस्वरूप, जैसे ही कोई ग्रह पेरीपसिस के पास पहुंचता है, ग्रह की गति में वृद्धि होगी क्योंकि इसकी संभावित ऊर्जा कम हो जाती है, जैसे-जैसे कोई ग्रह अपोप्सिस के पास पहुंचता है, इसकी संभावित ऊर्जा बढ़ने के साथ-साथ इसका वेग कम होता जाता हैं।

कक्षाओं को समझना

कक्षाओं को समझने के कुछ सामान्य तरीके हैं:

• एक बल, जैसे कि गुरुत्वाकर्षण, वस्तु को घुमावदार रास्ते में खींचता है क्योंकि यह सीधी रेखा में उड़ने का प्रयास करता है।
• जैसे ही वस्तु को विशाल पिंड की ओर खींचा जाता है, वह उस पिंड की ओर गिरती है। चूंकि, यदि उसके पास पर्याप्त स्पर्शरेखा वेग है तो वह भौतिक में नहीं गिरेगा, बल्कि उस शरीर के कारण घुमावदार प्रक्षेपवक्र का अनिश्चित काल तक अनुसरण करता रहेगा। वस्तु को तब शरीर की परिक्रमा करते हुए कहा जाता है।

किसी ग्रह के चारों ओर कक्षा के चित्रण के रूप में, न्यूटन का तोप का गोला मॉडल उपयोगी साबित हो सकता है। यह 'विचार प्रयोग' है, जिसमें ऊँचे पहाड़ की चोटी पर तोप किसी भी चुने हुए थूथन गति पर तोप के गोले को क्षैतिज रूप से दागने में सक्षम है। तोप के गोले पर हवा के घर्षण के प्रभाव को नजरअंदाज कर दिया जाता है (या संभवतः पहाड़ इतना ऊंचा है कि तोप पृथ्वी के वायुमंडल के ऊपर है, जो ही बात है)।

न्यूटन का तोप का गोला, इस बात का चित्रण कि वस्तुएँ वक्र में कैसे गिर सकती हैं

यदि तोप अपनी गेंद को कम प्रारंभिक गति से दागती है, तो गेंद का प्रक्षेपवक्र (ए) नीचे की ओर मुड़ता है और पृथ्वी से टकराता है। जैसे ही फायरिंग की गति बढ़ जाती है, तोप का गोला तोप से दूर पृथ्वी (बी) से टकराता है, क्योंकि जब गेंद अभी भी पृथ्वी की ओर गिर रही होती है, तो पृथ्वी तेजी से उससे दूर होती जा रही है (ऊपर पहला बिंदु देखें)। ये सभी गतियाँ वास्तव में तकनीकी अर्थ में कक्षाएँ हैं - वे गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के चारों ओर अण्डाकार पथ के हिस्से का वर्णन कर रही हैं - किन्तु कक्षाएँ पृथ्वी से टकराने से बाधित होती हैं।

यदि तोप के गोले को पर्याप्त गति से दागा जाता है, तो पृथ्वी गेंद से कम से कम उतनी ही दूर झुकती है जितनी कि गेंद गिरती है—इसलिए गेंद कभी भी पृथ्वी से नहीं टकराती। अब यह उस स्थिति में है जिसे अविच्छिन्न या परिक्रमा करने वाली कक्षा कहा जा सकता है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और ग्रह के द्रव्यमान के ऊपर ऊंचाई के किसी भी विशिष्ट संयोजन के लिए, विशिष्ट फायरिंग गति होती है (गेंद के द्रव्यमान से अप्रभावित, जिसे पृथ्वी के द्रव्यमान के सापेक्ष बहुत छोटा माना जाता है) जो गोलाकार कक्षा का निर्माण करती है , जैसा कि (सी) में दिखाया गया है।

जैसे-जैसे फायरिंग की गति इससे आगे बढ़ती है, गैर-बाधित अण्डाकार कक्षाएँ उत्पन्न होती हैं, जैसा कि (डी) में दिखाया गया है। यदि प्रारंभिक गोलाबारी पृथ्वी की सतह के ऊपर दिखाई गई है, जैसा कि दिखाया गया है, तो धीमी प्रज्वलन गति पर गैर-बाधित अण्डाकार कक्षाएँ भी होंगी, ये पृथ्वी के सबसे समीप आधी कक्षा से परे बिंदु पर आएंगे, और सीधे फायरिंग पॉइंट के विपरीत, वृत्ताकार कक्षा के नीचे आ जाते हैं।

एस्केप वेलोसिटी नामक विशिष्ट क्षैतिज फायरिंग गति पर, ग्रह के द्रव्यमान और बैरीसेंटर से वस्तु की दूरी पर निर्भर, खुली कक्षा (ई) प्राप्त की जाती है जिसमें परवलयिक प्रक्षेपवक्र होता है। इससे भी अधिक गति पर वस्तु अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र की श्रृंखला का अनुसरण करेगी। व्यावहारिक अर्थ में, इन दोनों प्रक्षेपवक्र प्रकारों का मतलब है कि वस्तु ग्रह के गुरुत्वाकर्षण से मुक्त हो रही है, और अंतरिक्ष में जा रही है और कभी वापस नहीं आती हैं।

द्रव्यमान के साथ दो गतिमान वस्तुओं के वेग संबंध को उपप्रकारों के साथ चार व्यावहारिक वर्गों में माना जा सकता है:

कोई कक्षा नहीं

सब-ऑर्बिटल स्पेसफ्लाइट

बाधित अण्डाकार पथों की श्रेणी

कक्षीय प्रक्षेपवक्र (या बस, कक्षाएँ)

• फायरिंग पॉइंट के विपरीत निकटतम बिंदु के साथ अण्डाकार पथों की श्रेणी
• वृत्ताकार पथ
• फायरिंग पॉइंट पर निकटतम बिंदु के साथ अण्डाकार पथों की श्रेणी

भागने की कक्षा | ओपन (या एस्केप) प्रक्षेपवक्र

• परवलयिक पथ
• अतिशयोक्तिपूर्ण पथ

यह ध्यान देने योग्य है कि कक्षीय रॉकेटों को पहले लंबवत रूप से लॉन्च किया जाता है जिससे कि रॉकेट को वायुमंडल के ऊपर उठाया जा सके (जो घर्षण ड्रैग का कारण बनता है), और फिर धीरे-धीरे पिच करें और कक्षा की गति को प्राप्त करने के लिए रॉकेट इंजन को वायुमंडल के समानांतर फायर करना समाप्त करता हैं।

एक बार कक्षा में, उनकी गति उन्हें वायुमंडल के ऊपर कक्षा में रखती है। यदि उदाहरण के लिए, अण्डाकार कक्षा घनी हवा में डुबकी लगाती है, तो वस्तु गति विलुप्त कर देती हैं और पुनः प्रवेश करेगी (अर्थात गिर जाएगी)। कभी-कभी अंतरिक्ष यान जानबूझकर वायुमंडल को बाधित करेगा, सामान्यतः एरोब्रेकिंग के फलस्वरूप इस कार्य के अनुसार यह संदर्भित किया जाता है।

न्यूटन के गति के नियम

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम और दो पिंडों की समस्याओं के लिए गति के नियम

ज्यादातर स्थितियों में, सापेक्षतावादी प्रभावों की उपेक्षा की जा सकती है, और न्यूटन के नियम गति का पर्याप्त सटीक विवरण देते हैं। किसी पिंड का त्वरण उस पर कार्य करने वाली शक्तियों के योग के बराबर होता है, उसके द्रव्यमान से विभाजित होता है, और किसी पिंड पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल दो आकर्षित करने वाले पिंडों के द्रव्यमान के उत्पाद के समानुपाती होता है और वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती घटता है उनके बीच की दूरी पर निर्भर करती हैं। इस न्यूटोनियन सन्निकटन के लिए, दो-बिंदु द्रव्यमान या गोलाकार पिंडों की प्रणाली के लिए, केवल उनके पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण (जिसे दो-शरीर की समस्या कहा जाता है) से प्रभावित होता है, उनके प्रक्षेपवक्र की सटीक गणना की जा सकती है। यदि भारी पिंड छोटे पिंड की तुलना में बहुत अधिक विशाल है, जैसा कि किसी ग्रह की परिक्रमा करने वाले उपग्रह या छोटे चंद्रमा की स्थिति में या सूर्य की परिक्रमा करने वाली पृथ्वी की स्थिति में, यह समन्वय प्रणाली के संदर्भ में गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त सटीक और सुविधाजनक है। भारी पिंड पर केंद्रित होता है, और हम कहते हैं कि हल्का पिंड भारी पिंड के चारों ओर परिक्रमा करता है। ऐसे स्थिति के लिए जहां दो निकायों के द्रव्यमान तुलनीय हैं, सटीक न्यूटोनियन समाधान अभी भी पर्याप्त है और सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र में समन्वय प्रणाली को रखकर प्राप्त किया जा सकता है।

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा की परिभाषा

ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से जुड़ी है। दूसरे से दूर स्थिर पिंड बाहरी कार्य कर सकता है यदि इसे उसकी ओर खींचा जाए, और इसलिए इसमें गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होती है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण के खिंचाव के विरुद्ध दो पिंडों को अलग करने के लिए कार्य की आवश्यकता होती है, उनके अलग होने पर उनकी गुरुत्वाकर्षण क्षमता ऊर्जा बढ़ जाती है, और जैसे-जैसे वे एक-दूसरे के पास आते हैं, घटती जाती है। बिंदु द्रव्यमान के लिए, गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा घटकर शून्य हो जाती है क्योंकि वे शून्य पृथक्करण के समीप पहुंच जाते हैं। संभावित ऊर्जा को शून्य मान के रूप में निर्दिष्ट करना सुविधाजनक और पारंपरिक है जब वे अनंत दूरी पर हों, और इसलिए छोटी परिमित दूरी के लिए इसका ऋणात्मक मान (क्योंकि यह शून्य से घटता है) है।

कक्षीय ऊर्जा और कक्षा के आकार

जब केवल दो गुरुत्वाकर्षण पिंड परस्पर क्रिया करते हैं, तो उनकी कक्षाएँ शंक्वाकार खंड का अनुसरण करती हैं। इस प्रकार ये कक्षाएँ खुली हो सकती है (जिसका अर्थ है कि वस्तु कभी वापस नहीं आती) या बंद (लौटना)। जो कि यह निकाय की कुल ऊर्जा (गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा) पर निर्भर करता है। खुली कक्षा की स्थिति में, कक्षा की किसी भी स्थिति में गति कम से कम उस स्थिति के लिए पलायन वेग है, बंद कक्षा की स्थिति में, गति सदैव पलायन वेग से कम होती है। चूँकि गतिज ऊर्जा कभी भी ऋणात्मक नहीं होती है यदि अनंत अलगाव पर संभावित ऊर्जा को शून्य के रूप में लेने की आम परंपरा को अपनाया जाता है, तो बाध्य कक्षाओं में ऋणात्मक कुल ऊर्जा होगी, परवलयिक प्रक्षेपवक्र शून्य कुल ऊर्जा, और अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षाओं में सकारात्मक कुल ऊर्जा होगी।

एक खुली कक्षा का परवलयिक आकार होगा यदि इसके प्रक्षेपवक्र में उस बिंदु पर बिल्कुल पलायन वेग का वेग है, और इसका अतिपरवलय का आकार होगा जब इसका वेग पलायन वेग से अधिक होगा। जब एस्केप वेलोसिटी या अधिक वाले पिंड एक-दूसरे के पास आते हैं, तो वे अपने निकटतम दृष्टिकोण के समय एक-दूसरे के चारों ओर संक्षिप्त रूप से वक्रित होते हैं, और फिर सदैव के लिए अलग हो जाते हैं।

सभी बंद कक्षाओं में दीर्घवृत्त का आकार होता है। यह वृत्ताकार कक्षा विशेष स्थिति है, जिसमें दीर्घवृत्त की नाभि संपाती हो जाती हैं। जिस बिंदु पर परिक्रमा करने वाला पिंड पृथ्वी के सबसे समीप होता है, उसे भू-समीपक कहा जाता है, और जब कक्षा पृथ्वी के अतिरिक्त किसी अन्य पिंड के बारे में होती है, तो उसे पेरीपसिस (कम ठीक से, पेरिफोकस या पेरीसेंट्रोन) कहा जाता है। जिस बिंदु पर उपग्रह पृथ्वी से सबसे दूर होता है उसे पराकाष्ठा, एपोप्सिस या कभी-कभी एपिफोकस या एपोसेंट्रोन कहा जाता है। पेरीएप्सिस से अपोएप्सिस तक खींची गई रेखा अप्साइड्स की रेखा है। लाइन-ऑफ-एप्साइड्स एक दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी को प्रदर्शित करती है, इसके सबसे लंबे भाग से होकर जाने वाली रेखा द्वारा इसे प्रदर्शित किया जता हैं।

केप्लर के नियम

इस बंद कक्ष के बाद के पिंड निश्चित समय के साथ अपने पथ को दोहराते हैं जिसे अवधि कहा जाता है। इस गति का वर्णन केपलर के अनुभवजन्य नियमों द्वारा किया गया है, जिसे गणितीय रूप से न्यूटन के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है। ये हो सकते हैं, निम्नानुसार तैयार किया गया:

1. सूर्य के चारों ओर ग्रह की कक्षा दीर्घवृत्त है, जिसमें सूर्य उस दीर्घवृत्त के केंद्र बिंदुओं में से है। यह केंद्र बिंदु वास्तव में सौर मंडल का बेरिकेंटर है। सूर्य-ग्रह प्रणाली, सरलता के लिए, यह व्याख्या मानती है कि सूर्य का द्रव्यमान उस ग्रह के द्रव्यमान से असीम रूप से बड़ा है। ग्रह की कक्षा तल में स्थित है, जिसे कक्षीय तल (खगोल विज्ञान) कहा जाता है। आकर्षित करने वाले पिंड के निकटतम कक्षा पर स्थित बिंदु पेरीपसिस है। इस प्रकार आकर्षित करने वाले शरीर से सबसे दूर के बिंदु को अपोप्सिस कहा जाता है। विशेष पिंडों के बारे में कक्षाओं के लिए विशिष्ट शब्द भी हैं, सूर्य की परिक्रमा करने वाली चीजों में उपसौर और अपसौर होता है, पृथ्वी की परिक्रमा करने वाली चीजों में उपभूभाग और अपभूभाग होता है, और चंद्रमा की परिक्रमा करने वाली चीजों में क्रमशः संकट और अपोलीन (या क्रमशः पेरिसेलीन और एपोसीलीन) होता है। केवल सूर्य ही नहीं, किसी भी तारे के चारों ओर की कक्षा में पेरीस्ट्रॉन और एपस्ट्रॉन होता है।
2. जैसे ही ग्रह अपनी कक्षा में गति करता है, सूर्य से ग्रह तक की रेखा निश्चित अवधि के लिए कक्षीय तल (खगोल विज्ञान) के स्थिर क्षेत्र को पार करती है, भले ही उस अवधि के समय ग्रह अपनी कक्षा के किस हिस्से का पता लगाता है . इसका अर्थ यह है कि ग्रह अपसौर के निकट अपसौर की तुलना में तेजी से आगे बढ़ता है, क्योंकि कम दूरी पर इसे उसी क्षेत्र को कवर करने के लिए बड़े चाप का पता लगाने की आवश्यकता होती है। इस नियम को सामान्यतः समान समय में समान क्षेत्रों के रूप में कहा जाता है।
3. किसी दी गई कक्षा के लिए, उसके अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन का उसकी अवधि के वर्ग से अनुपात स्थिर होता है।

न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम की सीमाएं

ध्यान दें कि बिंदु द्रव्यमान या न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के साथ गोलाकार शरीर की बाध्य कक्षाएँ बंद दीर्घवृत्त हैं, जो ही पथ को सटीक और अनिश्चित रूप से दोहराते हैं, कोई भी गैर-गोलाकार या गैर-न्यूटोनियन प्रभाव (जैसे की मामूली तिरछापन के कारण) पृथ्वी, या सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा, जिससे गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के व्यवहार को दूरी के साथ परिवर्तित करता हैं) कक्षा के आकार को न्यूटोनियन दो-पिंड गति के बंद दीर्घवृत्त से अलग कर देगा। 1687 में न्यूटन द्वारा प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांत में दो-निकाय समाधान प्रकाशित किए गए थे। 1912 में, सुंदरमैन के कार्ल फ्रिटियो ने अभिसरण अनंत श्रृंखला विकसित की जो तीन-शरीर की समस्या को हल करती है, चूंकि, यह अधिक उपयोगी होने के लिए बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है। लाग्रैंजियन बिंदुओं जैसे विशेष मामलों को छोड़कर, चार या अधिक निकायों वाले सिस्टम के लिए गति के समीकरणों को हल करने के लिए कोई विधि ज्ञात नहीं है।

कई-शरीर की समस्याओं के लिए दृष्टिकोण

एक सटीक बंद फॉर्म समाधान के अतिरिक्त, कई पिंडों वाली कक्षाओं को स्व्यं से उच्च सटीकता के साथ अनुमानित किया जा सकता है। ये सन्निकटन दो रूप लेते हैं:

एक रूप शुद्ध अण्डाकार गति को आधार के रूप में लेता है और कई पिंडों के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के लिए क्षोभ (खगोल विज्ञान) शब्दों को जोड़ता है। यह खगोलीय पिंडों की स्थिति की गणना के लिए सुविधाजनक है। चंद्रमाओं, ग्रहों और अन्य पिंडों की गति के समीकरणों को बड़ी सटीकता के साथ जाना जाता है, और आकाशीय नेविगेशन के लिए पंचांग उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाता है। फिर भी, ऐसी धर्मनिरपेक्ष घटनाएँ हैं जिन्हें पैरामीटरेटेड पोस्ट-न्यूटनियन औपचारिकता या पोस्ट-न्यूटनियन विधियों द्वारा निपटाया जाना है।

अंतर समीकरण फॉर्म का उपयोग वैज्ञानिक या मिशन-योजना उद्देश्यों के लिए किया जाता है। न्यूटन के नियमों के अनुसार, किसी पिंड पर कार्य करने वाली सभी शक्तियों का योग पिंड के द्रव्यमान के गुणा उसके त्वरण (F = ma) के बराबर होता हैं। इसलिए स्थिति के संदर्भ में त्वरण व्यक्त किया जा सकता है। इस रूप में वर्णन करने के लिए परेशानी की शर्तें बहुत सरल हैं। स्थिति और वेग के प्रारंभिक मूल्यों से बाद की स्थिति और वेग की भविष्यवाणी करना प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने के अनुरूप है। संख्यात्मक विधियाँ भविष्य में थोड़े समय के लिए वस्तुओं की स्थिति और वेग की गणना करती हैं, फिर गणना को बार-बार दोहराती हैं। चूंकि, कंप्यूटर के गणित की सीमित सटीकता से छोटी अंकगणितीय त्रुटियाँ संचयी होती हैं, जो इस दृष्टिकोण की सटीकता को सीमित करती हैं।

बड़ी संख्या में वस्तुओं के साथ विभेदक सिमुलेशन द्रव्यमान के केंद्रों के बीच श्रेणीबद्ध जोड़ीदार फैशन में गणना करते हैं। इस योजना का उपयोग करते हुए, आकाशगंगाओं, तारा समूहों और वस्तुओं के अन्य बड़े संयोजनों का अनुकरण किया गया है।

कक्षीय गति का न्यूटोनियन विश्लेषण

Further information: केप्लर कक्षा, कक्षा समीकरण, and केप्लर का पहला कानून

निम्नलिखित व्युत्पत्ति ऐसी अण्डाकार कक्षा पर लागू होती है। हम केवल गुरुत्वाकर्षण के मौलिक यांत्रिकी नियम से प्रारंभ करते हैं, जिसमें कहा गया है कि केंद्रीय निकाय की ओर गुरुत्वाकर्षण त्वरण उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रम से संबंधित है, अर्थात्

$F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

जहां F₂ द्रव्यमान m₂ पर कार्य करने वाला बल है गुरुत्वाकर्षण आकर्षण द्रव्यमान m₁ के कारण m₂ के लिए है, G सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, और r दो द्रव्यमान केंद्रों के बीच की दूरी है।

न्यूटन के द्वितीय नियम से, m₂ पर कार्यरत बलों का योग उस शरीर के त्वरण से संबंधित:

$F_{2}=m_{2}A_{2}$

जहाँ A₂ m₂ का त्वरण है गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल F₂ के कारण होता है m₁ m पर A₂को ज्ञात करते हैं

Eq का संयोजन। 1 और 2:

$-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}$

त्वरण के लिए हल करना, ए₂:

$A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}$

कहाँ $\mu \,$ इस स्थिति में मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है $Gm_{1}$. यह समझा जाता है कि वर्णित प्रणाली एम₂ है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को छोड़ा जा सकता है।

हम मानते हैं कि केंद्रीय निकाय इतना विशाल है कि इसे स्थिर माना जा सकता है और हम सामान्य सापेक्षता के अधिक सूक्ष्म प्रभावों की उपेक्षा करते हैं।

जब पेंडुलम या स्प्रिंग से जुड़ी कोई वस्तु दीर्घवृत्त में झूलती है, तो आवक त्वरण/बल दूरी के समानुपाती होता है $A=F/m=-kr.$ जिस तरह से वैक्टर जोड़ते हैं, उसके कारण बल का घटक ${\hat {\mathbf {x} }}$ या में ${\hat {\mathbf {y} }}$ दिशाएं भी दूरियों के संबंधित घटकों के अनुपात में होती हैं, $r''_{x}=A_{x}=-kr_{x}$. इसलिए, इन आयामों में संपूर्ण विश्लेषण अलग से किया जा सकता है। इसका परिणाम हार्मोनिक परवलयिक समीकरणों में होता है $x=A\cos(t)$ और $y=B\sin(t)$ दीर्घवृत्त का हैं। इसके विपरीत, घटते क्रम के साथ $A=\mu /r^{2}$, आयामों को अलग नहीं किया जा सकता है।

वर्तमान समय में परिक्रमा करने वाली वस्तु का स्थान $t$ मानक यूक्लिडियन आधार के साथ और बल के केंद्र के साथ मेल खाने वाले मूल के साथ ध्रुवीय आधार के साथ ध्रुवीय निर्देशांक में वेक्टर पथरी का उपयोग करके विमान में स्थित है। इस प्रकार $r$ वस्तु और केंद्र के बीच की दूरी हो और $\theta$ वह कोण हो जो उसने घुमाया है। होने देना ${\hat {\mathbf {x} }}$ और ${\hat {\mathbf {y} }}$ मानक यूक्लिडियन अंतरिक्ष आधार बनें और ${\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}$ और ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}$ रेडियल और ट्रांसवर्स पोलर कोऑर्डिनेट सिस्टम हो जो वेक्टर कैलकुलस आधार, जिसमें पहला यूनिट वेक्टर है जो सेंट्रल बॉडी से ऑर्बिटिंग ऑब्जेक्ट की वर्तमान स्थिति की ओर इंगित करता है और दूसरा ओर्थोगोनल यूनिट वेक्टर है जो ऑर्बिटिंग ऑब्जेक्ट की यात्रा की दिशा में इंगित करता है। यदि वामावर्त वृत्त में परिक्रमा कर रहा है। फिर परिक्रमा करने वाली वस्तु का वेक्टर है

${\hat {\mathbf {O} }}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}$

हम ${\dot {r}}$ और ${\dot {\theta }}$ का उपयोग करते हैं जहाँ दूरी और कोण समय के साथ कैसे परिवर्तित होते हैं, इसके मानक डेरिवेटिव को निरूपित करने के लिए किया जाता हैं। हम सदिश का अवकलन यह देखने के लिए करते हैं कि समय के साथ इसकी स्थिति को घटाकर यह $t$ से कैसे परिवर्तित होता है उस समय से $t+\delta t$ और $\delta t$ विभाजित करके परिणाम को वेक्टर से प्रदर्शित करते हैं। क्योंकि हमारा आधार वेक्टर ${\hat {\mathbf {r} }}$ वस्तु कक्षा के रूप में चलती है, हम इसे विभेदित करके प्रारंभ करते हैं। समय $t$ से $t+\delta t$ को वेक्टर ${\hat {\mathbf {r} }}$ द्वारा इसके प्रारंभ को मूल पर रखता है और कोण $\theta$ से घूमता है जिसको $\theta +{\dot {\theta }}\ \delta t$ द्वारा अपने सिर को दूर ले जाता है इस प्रकार ${\dot {\theta }}\ \delta t$ कोण लंबवत दिशा में ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ का ${\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ व्युत्पन्न दे रहा है।

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}&=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}&=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}$

अब हम अपनी परिक्रमा करने वाली वस्तु का वेग और त्वरण ज्ञात कर सकते हैं।

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {O} }}&=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {O} }}&={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r\left[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]\\{\ddot {\mathbf {O} }}&=\left[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]+\left[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\\&=\left[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\end{aligned}}$

के गुणांक ${\hat {\mathbf {r} }}$ और ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ रेडियल और अनुप्रस्थ दिशाओं में त्वरण देता हैं। जैसा कि कहा गया है, गुरुत्वाकर्षण के कारण न्यूटन इसे सबसे पहले देता है जिसका मान $-\mu /r^{2}$ और दूसरा शून्य है।

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}$

(1)

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0$

(2)

समीकरण (2) को भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0$

$r$ से गुणा कर सकते हैं क्योंकि यह शून्य नहीं है जब तक कि परिक्रमा करने वाली वस्तु दुर्घटनाग्रस्त न हो जाती हैं।

तब व्युत्पन्न शून्य होने से पता चलता है कि कार्य स्थिर है।

$r^{2}{\dot {\theta }}=h$

(3)

जो वास्तव में केपलर के दूसरे नियम का सैद्धांतिक प्रमाण है (एक ग्रह और सूर्य को मिलाने वाली रेखा समान समय अंतराल के समय समान क्षेत्रों को पार करती है)। समाकलन स्थिरांक, h विशिष्ट सापेक्षिक कोणीय संवेग है।

समीकरण (1) से कक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करने के लिए, हमें समय को समाप्त करने की आवश्यकता है। (बिनेट समीकरण भी देखें।) ध्रुवीय निर्देशांकों में, यह दूरी को व्यक्त करेगा $r$ अपने कोण के कार्य के रूप में केंद्र से परिक्रमा करने वाली वस्तु का $\theta$. चूंकि, सहायक चर $u=1/r$ को प्रस्तुत करना सरल है और $u$ के फंक्शन के रूप में $\theta$ द्वारा व्यक्त किया जाता हैं। जिसके डेरिवेटिव $r$ समय के संबंध में डेरिवेटिव के रूप में फिर से $u$ कोण के संबंध में लिखा जा सकता है।

$u={1 \over r}$

${\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}$ (फिर से कार्य करना (3))

${\begin{aligned}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}&={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ or }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}$

इन्हें (1) में प्लग करना देता है

${\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\\-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}\left(hu^{2}\right)^{2}&=-\mu u^{2}\end{aligned}}$

${\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}+u={\frac {\mu }{h^{2}}}$

(4)

तो गुरुत्वाकर्षण बल के लिए - या, अधिक सामान्यतः, किसी व्युत्क्रम वर्ग बल नियम के लिए - समीकरण का दाहिना हाथ स्थिर हो जाता है और समीकरण को लयबद्ध दोलक (आश्रित चर के मूल के परिवर्तन तक) के रूप में देखा जाता है। जिसका समाधान है:

$u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}-A\cos(\theta -\theta _{0})$

जहां a और θ₀ स्थिरांक हैं। जिसके द्वारा वस्तु की कक्षा का यह परिणामी समीकरण दीर्घवृत्त ध्रुवीय रूप का है जो किसी फोकल बिंदु के सापेक्ष ध्रुवीय रूप में केंद्रित है। इसे देकर अधिक मानक रूप में रखा जाता है $e\equiv h^{2}A/\mu$ विलक्षणता (कक्षा) होता हैं, इस प्रकार $a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right)$ अर्ध-प्रमुख अक्ष को प्रदर्शित करता हैं। अंत में $\theta _{0}\equiv 0$ दीर्घवृत्त की लंबी धुरी धनात्मक x निर्देशांक के साथ रहती है।

$r(\theta )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}$

जब द्वि-निकाय तंत्र बलाघूर्ण के प्रभाव में होता है, तो कोणीय संवेग h स्थिर नहीं होता है। निम्नलिखित गणना के पश्चात:

${\begin{aligned}{\frac {\delta r}{\delta \theta }}&=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\{\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\\left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r&={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}\end{aligned}}$

हम दो-पिंड प्रणाली का स्टर्म-लिउविल समीकरण प्राप्त करेंगे।

${\frac {\delta }{\delta \theta }}\left(h{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\right)+hu={\frac {\mu }{h}}$

(5)

सापेक्षवादी कक्षीय गति

कक्षीय यांत्रिकी के उपरोक्त मौलिक (मौलिक यांत्रिकी) विश्लेषण में यह माना गया है कि सामान्य सापेक्षता के अधिक सूक्ष्म प्रभाव, जैसे फ्रेम खींचना और गुरुत्वाकर्षण समय फैलाव नगण्य हैं। इस प्रकार बहुत बड़े पिंडों के पास (सामान्य सापेक्षता में केपलर समस्या के साथ या सूर्य के बारे में बुध की कक्षा का अग्रगमन), या जब अत्यधिक सटीकता की आवश्यकता होती है (जैसा कि कक्षीय तत्व की गणना और ग्लोबल के लिए समय संकेत संदर्भों के साथ) सापेक्ष प्रभाव नगण्य हो जाते हैं। जिसे पोजिशनिंग सिस्टम सापेक्षता उपग्रह में दर्शाया जाता हैं।).

कक्षीय विमान

Main article: कक्षीय विमान

अब तक का विश्लेषण दो आयामी रहा है, यह पता चला है कि त्रुटि सिद्धांत कक्षा अंतरिक्ष में तय किए गए विमान में द्वि-आयामी है, और इस प्रकार तीन आयामों के विस्तार के लिए दो-आयामी विमान को सम्मिलित ग्रह के ध्रुवों के सापेक्ष आवश्यक कोण में घुमाने की आवश्यकता होती है।

तीन आयामों में ऐसा करने के लिए घुमाव को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए तीन संख्याओं की आवश्यकता होती है, परंपरागत रूप से इन्हें तीन कोणों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

कक्षीय अवधि

Main article: कक्षीय अवधि

कक्षीय अवधि बस इतना समय है कि परिक्रमा करने वाला पिंड परिक्रमा पूर्ण करने में कितना समय लेता है।

कक्षाओं को निर्दिष्ट करना

Main article: पंचांग

See also: केप्लरियन तत्व

एक पिंड के बारे में केप्लरियन कक्षा को निर्दिष्ट करने के लिए छह मापदंडों की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, तीन संख्याएँ जो पिंड की प्रारंभिक स्थिति को निर्दिष्ट करती हैं, और तीन मान जो इसके वेग को निर्दिष्ट करते हैं, अद्वितीय कक्षा को परिभाषित करेंगे जिसकी गणना समय में आगे (या पीछे की ओर) की जा सकती है। चूंकि, पारंपरिक रूप से उपयोग किए जाने वाले पैरामीटर थोड़े भिन्न होते हैं।

जोहान्स केप्लर और उनके नियमों के पश्चात पारंपरिक रूप से उपयोग किए जाने वाले कक्षीय तत्वों के सेट को कक्षीय तत्वों का समुच्चय कहा जाता है। केप्लरियन तत्व छह प्रकार के होते हैं:

• झुकाव (मैं)
• आरोही नोड का देशांतर (Ω)
• पेरीपसिस का तर्क (ω)
• कक्षीय विलक्षणता (ई)
• सेमीमेजर एक्सिस (ए)
• युग में औसत विसंगति (खगोल विज्ञान) (M₀).

सिद्धांत रूप में, बार किसी पिंड के लिए कक्षीय तत्व ज्ञात हो जाने के पश्चात, इसकी स्थिति की गणना अनिश्चित काल के लिए आगे और पीछे की जा सकती है। चूंकि, व्यवहार में, कक्षाएँ प्रभावित होती हैं या त्रुटि (खगोल विज्ञान), कल्पित बिंदु स्रोत (अगला खंड देखें) से सरल गुरुत्वाकर्षण की तुलना में अन्य बलों द्वारा, और इस प्रकार कक्षीय तत्व समय के साथ परिवर्तित होते हैं।

कक्षीय त्रुटि

एक कक्षीय त्रुटि तब होती है जब बल या आवेग जो मुख्य गुरुत्वाकर्षण पिंड के समग्र बल या औसत आवेग से बहुत छोटा होता है और जो दो परिक्रमा करने वाले पिंडों के बाहर होता है, त्वरण का कारण बनता है, जो समय के साथ कक्षा के मापदंडों को परिवर्तित करता हैं।

रेडियल, प्रोग्रेड और अनुप्रस्थ त्रुटि

कक्षा में किसी पिंड को दिया गया छोटा रेडियल आवेग को परिवर्तित कर देता है, किन्तु कक्षीय अवधि (पहले क्रम में) को नहीं करता हैं। प्रत्यक्ष गति या प्रतिगामी गति आवेग (अर्थात कक्षीय गति के साथ लगाया गया आवेग) विलक्षणता और कक्षीय अवधि दोनों को परिवर्तित कर देता है। विशेष रूप से, पेरीपसिस में प्रोग्रेड आवेग एपोप्सिस पर ऊंचाई बढ़ाता है, और इसके विपरीत और प्रतिगामी आवेग विपरीत करता है। अनुप्रस्थ आवेग (कक्षीय तल से बाहर) कक्षा (गतिकी) या विलक्षणता को परिवर्तित किये बिना कक्षीय तल (खगोल विज्ञान) के घूर्णन का कारण बनता है। सभी उदाहरणों में, बंद कक्षा अभी भी क्षोभ बिंदु को काटती हैं।

कक्षीय क्षय

Main article: कक्षीय क्षय

यदि कक्षा महत्वपूर्ण वातावरण वाले ग्रह पिंड के बारे में है, तो इसकी कक्षा ड्रैग (भौतिकी) के कारण क्षय हो सकती है। विशेष रूप से प्रत्येक पेरीपसिस पर, वस्तु वायुमंडलीय खिंचाव का अनुभव करती है, ऊर्जा खोती है। हर बार, कक्षा कम उत्केन्द्र (अधिक गोलाकार) बढ़ती है क्योंकि वस्तु गतिज ऊर्जा ठीक उसी समय खो देती है जब वह ऊर्जा अपने अधिकतम पर होती है। यह पेंडुलम को उसके निम्नतम बिंदु पर धीमा करने के प्रभाव के समान है, पेंडुलम के झूले का उच्चतम बिंदु नीचे हो जाता है। प्रत्येक क्रमिक धीमा होने के साथ कक्षा का अधिक पथ वातावरण से प्रभावित होता है और प्रभाव अधिक स्पष्ट हो जाता है। आखिरकार, प्रभाव इतना महान हो जाता है कि वायुमंडलीय ड्रैग प्रभाव की सीमा से ऊपर कक्षा को वापस करने के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा पर्याप्त नहीं होती है। जब ऐसा होता है तो शरीर तेजी से नीचे की ओर घूमता है और केंद्रीय शरीर को काटता है।

एक वातावरण की सीमा अत्यधिक भिन्न होती है। सौर अधिकतम के समय, पृथ्वी का वातावरण सौर न्यूनतम की तुलना में सौ किलोमीटर अधिक तक खींचता है।

लंबे प्रवाहकीय टीथर वाले कुछ उपग्रह भी पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र से विद्युत चुम्बकीय खिंचाव के कारण कक्षीय क्षय का अनुभव कर सकते हैं। चूंकि तार चुंबकीय क्षेत्र को काटता है, यह जनरेटर के रूप में कार्य करता है, इलेक्ट्रॉनों को छोर से दूसरे छोर तक ले जाता है। कक्षीय ऊर्जा को तार में ऊष्मा में परिवर्तित किया जाता है।

रॉकेट इंजनों के उपयोग के माध्यम से कक्षाओं को कृत्रिम रूप से प्रभावित किया जा सकता है जो अपने पथ में किसी बिंदु पर शरीर की गतिज ऊर्जा को बदलते हैं। यह रासायनिक या विद्युत ऊर्जा का गतिज ऊर्जा में रूपांतरण है। इस तरह कक्षा के आकार या अभिविन्यास में परिवर्तन को सुगम बनाया जा सकता है।

कक्षा को कृत्रिम रूप से प्रभावित करने का अन्य तरीका सौर पाल या चुंबकीय पाल के उपयोग के माध्यम से है। प्रणोदन के इन रूपों को सूर्य के अतिरिक्त किसी प्रणोदक या ऊर्जा इनपुट की आवश्यकता नहीं होती है, और इसलिए इसे अनिश्चित काल तक उपयोग किया जा सकता है। ऐसे ही प्रस्तावित उपयोग के लिए लेखों देखें।

जिस पिंड की वे परिक्रमा कर रहे हैं, उसके समकालिक कक्षा से नीचे की वस्तुओं के लिए ज्वारीय बल के कारण कक्षीय क्षय हो सकता है। परिक्रमा करने वाली वस्तु का गुरुत्वाकर्षण प्राथमिक में ज्वारीय उभार उठाता है, और चूंकि समकालिक कक्षा के नीचे, परिक्रमा करने वाली वस्तु शरीर की सतह की तुलना में तेजी से आगे बढ़ रही है, इनके उभार इसके पीछे छोटा कोण बनाते हैं। इन उभारों का गुरुत्वाकर्षण प्राथमिक-उपग्रह अक्ष से थोड़ा दूर है और इस प्रकार उपग्रह की गति के साथ घटक है। इस प्रकार से दूर के उभार की तुलना में निकट का उभार वस्तु को धीमा कर देता है, और परिणामस्वरूप, कक्षा का क्षय हो जाता है। इसके विपरीत, उभारों पर उपग्रह का गुरुत्वाकर्षण प्राथमिक पर बलाघूर्ण लागू करता है और इसके घूर्णन को गति देता है। कृत्रिम उपग्रह इतने छोटे हैं कि वे जिन ग्रहों की परिक्रमा करते हैं, उन पर प्रशंसनीय ज्वारीय प्रभाव पड़ता है, किन्तु सौर मंडल में कई चंद्रमा इस तंत्र द्वारा कक्षीय क्षय से गुजर रहे हैं। मंगल का अंतरतम चंद्रमा फोबोस (चंद्रमा) प्रमुख उदाहरण है और उम्मीद की जाती है कि या तो मंगल की सतह को प्रभावित करेगा या 50 मिलियन वर्षों के भीतर अंगूठी में टूट जाता हैं।

गुरुत्वाकर्षण तरंग के उत्सर्जन के माध्यम से कक्षाएँ क्षय हो सकती हैं। इस प्रकार अधिकांश तारकीय वस्तुओं के लिए यह तंत्र अधिकतम कमजोर होता हैं, केवल उन स्थितियों में यह महत्वपूर्ण हो जाता है जहां अत्यधिक द्रव्यमान और अत्यधिक त्वरण का संयोजन होता है, जैसे कि ब्लैक होल या न्यूट्रॉन स्टार जो एक-दूसरे की परिक्रमा कर रहे हैं।

ओब्लाटनेस

कक्षीय पिंडों के मानक विश्लेषण में यह माना जाता है कि सभी पिंडों में एकसमान गोले होते हैं, या अधिक सामान्यतः, समान घनत्व वाले संकेंद्रित गोले होते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे पिंड गुरुत्वाकर्षण रूप से बिंदु स्रोतों के समतुल्य होते हैं।

चूंकि वास्तविक दुनिया में, कई पिंड घूमते हैं, और यह चपलता का परिचय देता है और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को विकृत करता है, और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को क्वाड्रोपोल गुरुत्वाकर्षण चतुर्भुज क्षण देता है जो शरीर की त्रिज्या के बराबर दूरी पर महत्वपूर्ण है। सामान्य स्थिति में, घूर्णन पिंड की गुरुत्वाकर्षण क्षमता जैसे, उदाहरण के लिए, गोलाकार समरूपता से इसके प्रस्थान के लिए ग्रह को सामान्यतः बहुध्रुवों में विस्तारित किया जाता है। उपग्रह गतिशीलता के दृष्टिकोण से, विशेष रूप से प्रासंगिक तथाकथित क्षेत्रीय हार्मोनिक गुणांक, या यहां तक ​​​​कि क्षेत्रीय भी हैं, क्योंकि वे धर्मनिरपेक्ष कक्षीय परेशानियों को प्रेरित करते हैं जो समय के साथ संचयी होते हैं जो कक्षीय अवधि से अधिक समय तक प्रसारित होते हैं। वे अंतरिक्ष में भौतिक समरूपता के अक्ष के उन्मुखीकरण पर निर्भर करते हैं, सामान्यतः अर्धमेजर अक्ष के अपवाद के साथ पूरी कक्षा को प्रभावित करते हैं।

एकाधिक गुरुत्वाकर्षण निकाय

Main article: एन-बॉडी प्रॉब्लम

अन्य गुरुत्वाकर्षण निकायों के प्रभाव महत्वपूर्ण हो सकते हैं। उदाहरण के लिए सूर्य के गुरुत्वाकर्षण के साथ-साथ पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण की कार्रवाई की अनुमति के बिना चंद्रमा की कक्षा का सही-सही वर्णन नहीं किया जा सकता है। अनुमानित परिणाम यह है कि इन त्रुटि के अतिरिक्त निकायों में सामान्यतः भारी ग्रह या चंद्रमा के चारों ओर उचित रूप से स्थिर कक्षाएं होती हैं, बशर्ते वे भारी शरीर के पहाड़ी क्षेत्र के भीतर अच्छी तरह परिक्रमा कर रहे होते हैं।

जब दो से अधिक गुरुत्वाकर्षण निकाय होते हैं तो इसे एन-बॉडी समस्या कहा जाता है। अधिकांश एन-बॉडी समस्याओं का कोई बंद समाधान नहीं है, चूंकि कुछ विशेष स्थिति तैयार किए गए हैं।

प्रकाश विकिरण और तारकीय हवा

विशेष रूप से छोटे पिंडों के लिए, प्रकाश और तारकीय हवा शरीर की गति की दिशा (ज्यामिति) और दिशा के लिए महत्वपूर्ण त्रुटि पैदा कर सकती है, और समय के साथ महत्वपूर्ण हो सकती है। ग्रहों के निकायों में, क्षुद्रग्रहों की गति विशेष रूप से बड़ी अवधि में प्रभावित होती है जब क्षुद्रग्रह सूर्य के सापेक्ष घूर्णन कर रहे होते हैं।

अजीब कक्षाएँ

गणितज्ञों ने पता लगाया है कि सैद्धांतिक रूप से गैर-अण्डाकार कक्षाओं में कई पिंडों का होना संभव है जो समय-समय पर दोहराते हैं, चूंकि ऐसी अधिकांश कक्षाएँ द्रव्यमान, स्थिति या वेग में छोटे क्षोभ के संबंध में स्थिर नहीं हैं। चूंकि, कुछ विशेष स्थिर मामलों की पहचान की गई है, जिसमें तीन-निकाय समस्या से घिरी समतलीय आकृति-आठ कक्षा सम्मिलित है। आगे के अध्ययनों से पता चला है कि गैर-प्लानर कक्षाएँ भी संभव हैं, जिसमें 12 द्रव्यमान सम्मिलित हैं, जो 4 मोटे तौर पर वृत्ताकार, इंटरलॉकिंग ऑर्बिट टोपोलॉजी में क्यूबोक्टैहिंड्रोन के किनारों के बराबर हैं।

संयोग से उत्पन्न होने वाली आवश्यक स्थितियों की असंभवता के कारण, ब्रह्मांड में स्वाभाविक रूप से होने वाली ऐसी कक्षाओं को खोजना बेहद असंभव माना जाता है।

एस्ट्रोडायनामिक्स

Main article: कक्षीय यांत्रिकी

कक्षीय यांत्रिकी या खगोलगतिकी राकेट और अन्य अंतरिक्ष यान की गति से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं के लिए प्राक्षेपिकी और आकाशीय यांत्रिकी का अनुप्रयोग है। इन वस्तुओं की गति की गणना सामान्यतः न्यूटन के गति के नियमों और न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से की जाती है। यह अंतरिक्ष मिशन के डिजाइन और नियंत्रण के भीतर मुख्य अनुशासन है। आकाशीय यांत्रिकी अंतरिक्ष यान और प्राकृतिक खगोलीय पिंडों जैसे स्टार सिस्टम, ग्रहों, प्राकृतिक उपग्रहों और धूमकेतुओं सहित गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में प्रणालियों की कक्षीय गतिशीलता का अधिक व्यापक रूप से उपचार करती है। कक्षीय यांत्रिकी अंतरिक्ष यान प्रक्षेपवक्र पर ध्यान केंद्रित करती है, जिसमें कक्षीय युद्धाभ्यास, कक्षा विमान परिवर्तन और इंटरप्लेनेटरी स्थानान्तरण सम्मिलित हैं, और अंतरिक्ष यान प्रणोदन के परिणामों की भविष्यवाणी करने के लिए मिशन योजनाकारों द्वारा उपयोग किया जाता है। इन कक्षाओं की गणना के लिए न्यूटन के नियमों की तुलना में सामान्य सापेक्षता अधिक सटीक सिद्धांत है, और कभी-कभी अधिक सटीकता या उच्च-गुरुत्वाकर्षण स्थितियों (जैसे कि सूर्य के समीप की कक्षाएं) के लिए आवश्यक है।

पृथ्वी की परिक्रमा

Main article: कक्षाओं की सूची

• निम्न पृथ्वी कक्षा (LEO): 2,000 किमी (0–1,240 मील) तक की ऊँचाई वाली भूकेन्द्रित कक्षाएँ।
• मध्यम पृथ्वी की कक्षा (MEO): 2,000 किमी (1,240 मील) की ऊँचाई से लेकर भू-समकालिक कक्षा के ठीक नीचे की भू-केन्द्रित कक्षाएँ 35,786 kilometers (22,236 mi). मध्यवर्ती वृत्ताकार कक्षा के रूप में भी जाना जाता है। ये सबसे अधिक हैं 20,200 kilometers (12,600 mi), या 20,650 kilometers (12,830 mi), 12 घंटे की कक्षीय अवधि के साथ होती हैं।* जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट (जीएसओ) और भूस्थैतिक कक्षा (जीईओ) दोनों ही पृथ्वी के चारों ओर पृथ्वी की नाक्षत्रीय घूर्णन अवधि से मेल खाने वाली कक्षाएँ हैं। सभी जियोसिंक्रोनस और जियोस्टेशनरी ऑर्बिट्स में सेमी-मेजर एक्सिस 42,164 km (26,199 mi) होता है। सभी भू-स्थिर कक्षाएँ भी भू-समकालिक होती हैं, किन्तु सभी भू-तुल्यकाली कक्षाएँ भू-स्थिर नहीं होती हैं। भू-स्थिर कक्षा भूमध्य रेखा के ठीक ऊपर रहती है, जबकि भू-समकालिक कक्षा पृथ्वी की सतह को और अधिक कवर करने के लिए उत्तर और दक्षिण की ओर झूल सकती है। दोनों प्रति नाक्षत्रीय दिन में पृथ्वी की पूर्ण परिक्रमा पूरी करते हैं (सितारों के सापेक्ष, सूर्य नहीं)।
• उच्च पृथ्वी की कक्षा : जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट की ऊंचाई 35,786 किमी (22,240 मील) से ऊपर जियोसेंट्रिक ऑर्बिट को प्रर्दशित करते हैं।

गुरुत्वाकर्षण में स्केलिंग

गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक G की गणना इस प्रकार की गई है:

• (6.6742 ± 0.001) × 10^-11 (किग्रा/मी³)^-1एस^-2

इस प्रकार स्थिरांक में आयाम घनत्व होता है, यह निम्नलिखित गुणों से मेल खाता है

इस प्रकार दूरी का पैमाना (पिंडों के आकार सहित, जबकि घनत्व समान रखते हुए) समय को स्केल किए बिना समानता (ज्यामिति) कक्षाएँ देता है: यदि उदाहरण के लिए दूरी आधी कर दी जाती है, तो द्रव्यमान को 8 से विभाजित किया जाता है, गुरुत्वाकर्षण बल को 16 से और गुरुत्वाकर्षण त्वरण को 2 से विभाजित किया जाता है। इसलिए वेग आधा कर दिया जाता है और कक्षीय अवधि और गुरुत्वाकर्षण से संबंधित अन्य यात्रा समय समान रहते हैं। उदाहरण के लिए, जब किसी वस्तु को किसी टावर से गिराया जाता है, तो उसके पृथ्वी पर गिरने में लगने वाला समय पृथ्वी के स्केल मॉडल पर टॉवर के स्केल मॉडल के साथ समान रहता है।

द्रव्यमान को समान रखते हुए दूरियों का स्केलिंग (बिंदु द्रव्यमान की स्थिति में, या घनत्वों को समायोजित करके) समान कक्षाएँ देता है, यदि दूरियों को 4 से गुणा किया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल और त्वरण को 16 से विभाजित किया जाता है, गति को आधा कर दिया जाता है और कक्षीय अवधि को 8 से गुणा कर दिया जाता है।

जब सभी घनत्वों को 4 से गुणा किया जाता है, तो कक्षाएँ समान होती हैं, गुरुत्वाकर्षण बलों को 16 से गुणा किया जाता है और 4 से त्वरण किया जाता है, वेग दोगुना हो जाता है और कक्षीय अवधि आधी हो जाती है।

जब सभी घनत्वों को 4 से गुणा किया जाता है, और सभी आकारों को आधा कर दिया जाता है, तो कक्षाएँ समान होती हैं, द्रव्यमान 2 से विभाजित होते हैं, गुरुत्वाकर्षण बल समान होते हैं, गुरुत्वाकर्षण त्वरण दोगुना हो जाता है। इसलिए वेग समान होते हैं और कक्षीय अवधि आधी हो जाती है।

स्केलिंग के इन सभी मामलों में। यदि घनत्वों को 4 से गुणा किया जाता है, तो गुणा आधा कर दिया जाता है, यदि वेग दोगुना कर दिया जाए, तो बलों को 16 से गुणा कर दिया जाता है।

इन गुणों को सूत्र में चित्रित किया गया है (कक्षीय अवधि केंद्रीय निकाय की परिक्रमा करने वाला छोटा शरीर)

$GT^{2}\rho =3\pi \left({\frac {a}{r}}\right)^{3},$

त्रिज्या r और औसत घनत्व ρ के साथ गोलाकार पिंड के चारों ओर अर्ध-प्रमुख अक्ष a के साथ अण्डाकार कक्षा के लिए, जहाँ T कक्षीय अवधि है। केप्लर का तीसरा नियम भी देखें।

पेटेंट

विशिष्ट उपयोगी उद्देश्यों के लिए कुछ कक्षाओं या कक्षीय युद्धाभ्यासों का अनुप्रयोग पेटेंट का विषय रहा है।

टाइडल लॉकिंग

Main article: ज्वारीय ताला

कुछ पिंड अन्य पिंडों के साथ ज्वारीय रूप से बंद रहता हैं, जिसका अर्थ है कि खगोलीय पिंड का पक्ष स्थायी रूप से अपनी वस्तु का सामना कर रहा है। यह पृथ्वी-चंद्रमा और प्लूटो-चारोन प्रणाली की स्थिति को प्रकट करता है।

यह भी देखें

• पंचांग एक निश्चित समय या समय पर आकाश में स्वाभाविक रूप से होने वाली खगोलीय वस्तुओं के साथ-साथ कृत्रिम उपग्रहों की स्थिति का संकलन है।
• मुक्त बहाव
• क्लेम्पर रोसेट
• कक्षाओं की सूची
• मोलनिया परिक्रमा
• कक्षा निर्धारण
• कक्षीय अंतरिक्ष उड़ान
• पेरिफोकल समन्वय प्रणाली
• ध्रुवीय कक्षा
• रेडियल प्रक्षेपवक्र
• रोसेटा कक्षा
• वीएसओपी मॉडल

अग्रिम पठन

• Abell, George O.; Morrison, David & Wolff, Sidney C. (1987). Exploration of the Universe (Fifth ed.). Saunders College Publishing. ISBN 9780030051432.
• Linton, Christopher (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-45379-0.
• Milani, Andrea; Gronchi, Giovanni F. (2010). Theory of Orbit Determination. Cambridge University Press. Discusses new algorithms for determining the orbits of both natural and artificial celestial bodies.
• Swetz, Frank; Fauvel, John; Johansson, Bengt; Katz, Victor; Bekken, Otto (1995). Learn from the Masters. MAA. ISBN 978-0-88385-703-8.

बाहरी संबंध

• CalcTool: Orbital period of a planet calculator. Has wide choice of units. Requires JavaScript.
• Java simulation on orbital motion. Requires Java.
• NOAA page on Climate Forcing Data includes (calculated) data on Earth orbit variations over the last 50 million years and for the coming 20 million years
• On-line orbit plotter. Requires JavaScript.
• Orbital Mechanics (Rocket and Space Technology)
• Orbital simulations by Varadi, Ghil and Runnegar (2003) provide another, slightly different series for Earth orbit eccentricity, and also a series for orbital inclination. Orbits for the other planets were also calculated, by F. Varadi; B. Runnegar; M. Ghil (2003). "Successive Refinements in Long-Term Integrations of Planetary Orbits". The Astrophysical Journal. 592 (1): 620–630. Bibcode:2003ApJ...592..620V. doi:10.1086/375560., but only the eccentricity data for Earth and Mercury are available online.
• Understand orbits using direct manipulation Archived 8 November 2017 at the Wayback Machine. Requires JavaScript and Macromedia
• Merrifield, Michael. "Orbits (including the first manned orbit)". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.