ओवररिंग

यह लेख गणितीय अवधारणा के बारे में है। उच्चारण के लिए, रिंग (विशेषक) देखें

गणित में, अविभाज्य कार्यक्षेत्र के ओवररिंग (ऊपरी वलय) में अविभाज्य कार्यक्षेत्र होता है, और अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में ऊपरी वलय होता है। ऊपरी वलय विभिन्न प्रकार के वलय और कार्यक्षेत्र (रिंग सिद्धांत) की बेहतर समझ प्रदान करते हैं।

परिभाषा

इस लेख में, सभी वलय (गणित) क्रमविनिमेय वलय हैं, और वलय और ऊपरी वलय समान समरूप तत्व साझा करते हैं।

माना की ${\textstyle Q(A)}$ एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle A}$ के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं, वलय ${\textstyle B}$ अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle A}$ का एक ऊपरी वलय है। यदि ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ का उपसमूह है और ${\textstyle B}$ अंशों के क्षेत्र ${\textstyle Q(A)}$ का एक उपसमूह है ;तब ${\textstyle A}$ और ${\textstyle B}$ का संबंध ${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$ है।

गुण

अंशो का वलय

वलय ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$ गुणक समुच्चय ${\textstyle A}$ द्वारा वलय ${\textstyle R,S,T}$ के अंशों का कुल वलय हैं. मान लीजिए ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है और ${\textstyle A}$ ${\textstyle R}$ में एक गुणक समुच्चय है। वलय ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ का ऊपरी वलय है। यदि प्रत्येक गैर-इकाई तत्व ${\textstyle T_{A}}$का एक शून्य भाजक है तो वलय ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ के अंशों का कुल वलय है। यदि ${\textstyle R}$ पूर्ण रूप से ${\textstyle T}$ में बंद है तो वलय ${\textstyle R_{A}}$ ${\textstyle T_{A}}$ में पूर्ण तत्व है प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R_{A}}$ जो ${\textstyle T_{A}}$ में निहित है एक ${\textstyle S_{A}}$ वलय है , और ${\textstyle S}$ ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है।

नोथेरियन कार्यक्षेत्र

परिभाषाएं

एक नोथेरियन वलय 3 समतुल्य परिमित स्थितियों को संतुष्ट करता है i) गुणावली (वलय सिद्धांत) की प्रत्येक आरोही श्रृंखला की स्थिति परिमित है, ii) गुणावलीों के प्रत्येक गैर-रिक्त श्रेणी का अधिकतम होता है और iii) प्रत्येक गुणावली का एक परिमित आधार होता है।

एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र होता है, अगर कार्यक्षेत्र का प्रत्येक गुणावली प्रमुख गुणावलीों का एक परिमित उत्पाद है ।

वलय का प्रतिबंधित आकार उन सभी प्राथमिक गुणावली की श्रेणियों के बीच अधिकतम क्रुल आकार है जिसमें एक नियमित तत्व होता है.

एक वलय ${\textstyle R}$ स्थानीय रूप से नगण्य है अगर हर वलय ${\textstyle R_{M}}$ अधिकतम गुणावली के साथ ${\textstyle M}$ नगण्य तत्वों से मुक्त है या प्रत्येक गैर इकाई के साथ एक शून्य विभाजक है।

एक सम्बंधित वलय एक क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद वलय की समरूप छवि है।

गुण

डेडेकाइंड वलय का हर ऊपरी वलय डेडेकाइंड वलय होता है।

वलय के प्रत्यक्ष योग का प्रत्येक ऊपरी वलय, जिसके गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं, एक नोथेरियन वलय है।

नोथेरियन कार्यक्षेत्र का प्रत्येक क्रुल 1-आकारीय ऊपरी वलय नोथेरियन वलय है।

ये विवरण नोथेरियन वलय ${\textstyle R}$ और पूर्ण रूप से बंद ${\textstyle {\bar {R}}}$ के समतुल्य हैं।

• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ एक नोथेरियन वलय है।
• प्रत्येक अधिकतम गुणावली