ऑटोमेडियन त्रिकोण

13:17:7 के अनुपात में भुजाओं की लंबाई के साथ ऑटोमेडियन त्रिभुज (काला), इसकी तीन माध्यिका (ज्यामिति) (भूरा), और त्रिभुज समानता (ज्यामिति) मूल के लिए जिसकी भुजाएँ माध्यिका की अनुवादित प्रतियाँ हैं

समतल ज्यामिति में, ऑटोमेडियन त्रिभुज होता है जिसमें तीन माध्यिका होती हैं जिसकी लंबाई प्रत्येक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाली रेखा खंड के लिए तीन भुजाओं की लंबाई के समानुपाती होती है। इस प्रकार ऑटोमेडियन त्रिकोण के तीन माध्य दूसरे त्रिभुज की भुजाओं को बनाने के लिए अनुवाद (ज्यामिति) हो सकते हैं जो पहले वाले के लिए समानता है।

लक्षण

ऑटोमेडियन त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई सूत्र को संतुष्ट करती है। इस प्रकार $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ या उसका क्रमचय, पाइथागोरस प्रमेय के अनुरूप रहता हैं, जो सूत्र को संतुष्ट करने वाले त्रिभुजों के रूप में समकोण त्रिभुजों की विशेषताएं $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ बताता है, इसके समतुल्य होने पर तीन संख्याओं के क्रम में $a$, $b$, और $c$ ऑटोमेडियन त्रिभुज की भुजाएँ होने के लिए, तीन वर्ग भुजाओं की लंबाई का क्रम $b^{2}$, $a^{2}$, और $c^{2}$ अंकगणितीय प्रारूप बनाता हैं।

समकोण त्रिभुजों से निर्माण

यहाँ पर यदि $x$, $y$, और $z$ समकोण त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं, जो आकार के अनुसार बढ़ते क्रम में क्रमबद्ध होती हैं, और यदि $2x<z$, तब $z$, $x+y$, और $y-x$ स्वचालित त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं। इसके उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई 5, 12, और 13 के साथ समकोण त्रिभुज का उपयोग इस प्रकार से भुजाओं की लंबाई 13, 17, और 7 के साथ ऑटोमेडियन त्रिभुज बनाने के लिए किया जा सकता है।

इसका आशय यह हैं कि $2x<z$ आवश्यक है: यदि यह पूरा नहीं हुआ, तो तीन संख्याएँ $a=z$, $b=x+y$, और $c=y-x$ अभी भी समीकरण को संतुष्ट करेगा $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ऑटोमेडियन त्रिभुजों की विशेषता, लेकिन वे त्रिभुज असमानता को संतुष्ट नहीं करेंगे और त्रिभुज की भुजाएँ बनाने के लिए उपयोग नहीं किए जा सकते हैं।

परिणामस्वरूप, इ्यूलर सूत्र का उपयोग करके पायथागॉरियन प्रमेय पर आधारित त्रिभुज को उत्पन्न करती है, इस प्रकार पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिकोण उत्पन्न करना संभव है, अर्ताथ दोनो भुजाों के साथ कोई भी कारक साझा नहीं करता हैं।

$${\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}\\b&=m^{2}+2mn-n^{2}\\c&=|m^{2}-2mn-n^{2}|\\\end{aligned}}$$

इसके साथ $m$ और $n$ सह अभाज्य, $m+n$ विषम, और त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने के लिए $n<m<n{\sqrt {3}}$ यदि निरपेक्ष मान को चिह्नों के द्वारा प्रतीत करते हैं तो इसके भीतर की मात्रा ऋणात्मक होती है या $m>(2+{\sqrt {3}})n$ के होने पर यह मात्रा धनात्मक है। फिर इस त्रिभुज की माध्यिकाएँ $t_{a},t_{b},t_{c}$ सामान्य माध्यिका (ज्यामिति) में इसके भुजाों के लिए उपरोक्त भावों का उपयोग करके पाया जाता है, इस प्रकार माध्यिका की लंबाई से जुड़े सूत्र इस प्रकार हैं:

$$t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},$$

जहां प्रत्येक स्थिति में दूसरा समीकरण ऑटोमेडियन फीचर $2a^{2}=b^{2}+c^{2}.$ को दर्शाता है, इससे समानता संबंधों को देखा जा सकता है

$${\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}={\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{and hence}}\qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.$$

किसी पूर्णांक के भुजा में ऑटोमेडियन त्रिभुज है जो समकोण त्रिभुज से उत्पन्न नहीं होता है: अर्थात्, इकाई लंबाई के भुजाों के साथ समबाहु त्रिभुज प्रकट होता हैं।

उदाहरण

18 पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिभुज हैं, जिन्हें यहाँ भुजाओं के त्रिगुण के रूप में $(a,b,c)$, साथ $b\leq 200$ को दिखाया गया है :

(1, 1, 1)	(13, 17, 7)	(17, 23, 7)	(25, 31, 17)	(37, 47, 23)	(41, 49, 31)
(61, 71, 49)	(65, 79, 47)	(85, 97, 71)	(85, 113, 41)	(89, 119, 41)	(101, 119, 79)
(113, 127, 97)	(125, 161, 73)	(145, 161, 127)	(145, 167, 119)	(149, 191, 89)	(181, 199, 161)

उदाहरण के लिए, (26, 34, 14) ऑटोमेडियन ट्रिपल नहीं है, क्योंकि यह (13, 17, 7) का गुणक है और ऊपर दिखाई नहीं देता है।

अतिरिक्त गुण

यदि $\Delta (a,b,c)$ हीरो सूत्र द्वारा स्वचालित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).$ है। इस प्रकार ऑटोमेडियन त्रिभुज की यूलर रेखा माध्यिका से भुजा $a$ तक लंबवत होती है।

यदि किसी स्वचालित त्रिभुज की माध्यिकाओं को त्रिभुज के परिवृत्त तक बढ़ाया जाता है, तो तीन बिंदु $LMN$ जहाँ विस्तारित माध्यिकाएँ परिवृत्त से मिलती हैं, समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं। इस प्रकार इन त्रिभुजों के लिए जिनके लिए यह दूसरा त्रिभुज $LMN$ है, इस प्रकार क्या समद्विबाहु बिल्कुल त्रिभुज हैं जो स्वयं या तो समद्विबाहु हैं। ऑटोमेडियन त्रिभुजों की यह संपत्ति स्टेनर-लेह्मस प्रमेय के विपरीत होता है, जिसके अनुसार केवल दो त्रिभुज जिनके दो कोण समद्विभाजक समान लंबाई के समान हैं, जो समद्विबाहु त्रिभुज को प्रदर्शित करते हैं।

इसके अतिरिक्त, मान लीजिए $ABC$ स्वचालित त्रिभुज है, जिसमें शीर्ष $A$ भुजा के विपरीत खड़ा है, इस प्रकार $a$.के लिए $G$ वह बिंदु हो जहां की तीन माध्यिकाएं $ABC$ को $AL$ के विस्तारित माध्यमों में से होकर जाती हैं। इस प्रकार $ABC$ के साथ $L$ के घिरे हुए $ABC$ पर पड़ती हैं, इस स्थिति में $BGCL$ समांतर चतुर्भुज है, दो त्रिभुज $BGL$ और $CLG$ जिसमें इसे उप-विभाजित किया जा सकता है दोनों समान हैं $ABC$, $G$ का मध्यबिंदु $AL$ है, और त्रिभुज की यूलर रेखा का लंबवत द्विभाजक $AL$ है।

यूक्लिडियन मापदंडों का उपयोग करते हुए पायथागॉरियन प्रमेय से ऑटोमेडियन त्रिकोण उत्पन्न करते समय $m,n$, तब $m>n$ और यह उसका अनुसरण $b\geq a\geq c$ करता है। जैसा कि गैर- ऑटोमेडियन त्रिकोण उनके के गुणक हैं, भुजाों की असमानताएं सभी पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिकोणों पर लागू होती हैं। समानता केवल तुच्छ समबाहु त्रिभुजों के लिए होती है। इसके अतिरिक्त, क्योंकि $m+n$ सदैव विषम होता है, सभी भुजा $a,b,c$ विषम होना है। यह तथ्य स्वचालित त्रिगुणों को केवल अभाज्य संख्याओं की भुजाएँ और परिमाप रखने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए 13, 17, 7 का परिमाप 37 है।

क्योंकि ऑटोमेडियन त्रिभुज भुजा में $a$ दो वर्गों का योग है और पायथागॉरियन ट्रिपल उत्पन्न करने के कर्ण के बराबर है, यह केवल 1 (मॉड 4) के अनुरूप अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है। फलस्वरूप, $a$ 1 (मॉड 4) के अनुरूप होना चाहिए।

इसी प्रकार, क्योंकि भुजाएँ $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ से संबंधित हैं, प्रत्येक भुजा $b$ और $c$ ऑटोमेडियन में वर्ग और वर्ग के दो बार के बीच का अंतर है। वे पाइथोगोरियन ट्रिपल के पैरों का योग और अंतर भी हैं। यह विवश करता है $b$ और $c$ केवल ±1 (mod 8) के सर्वांगसम अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होनी चाहिए। इसके फलस्वरूप, $b$ और $c$ ±1 (mod 8) के अनुरूप होना चाहिए।

इतिहास

अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक वर्गों के अध्ययन का लंबा इतिहास है जो डायोफैंटस और फाइबोनैचि तक प्रसारित हुआ है, यह कॉन्ग्रुम के साथ निकटता से संयोजित रहता है, जो कि संख्याएं हैं जो इस प्रकार की प्रगति में वर्गों के अंतर हो सकते हैं। चूंकि, इस समस्या और ऑटोमेडियन त्रिकोण के बीच का संबंध अभी हाल ही का है। जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग द्वारा शैक्षिक दृष्टि से 19वीं शताब्दी के अंत में ऑटोमेडियन त्रिकोणों को चिह्नित करने की समस्या सामने आई थी, और वहां सूत्र के साथ हल किया गया था। इस प्रकार $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ विलियम जॉन ग्रीनस्ट्रीट द्वारा की जाती हैं।

विशेष स्थिति

समबाहु त्रिभुजों के विभिन्न स्थितियों के अतिरिक्त, भुजाओं की लंबाई 17, 13, और 7 वाला त्रिभुज पूर्णांक भुजाओं की लंबाई वाला सबसे छोटाे क्षेत्रफल या परिधि के अनुसार स्वचालित त्रिभुज है।

केवल स्वचालित समकोण त्रिभुज है, भुजाओं की लंबाई 1 के समानुपाती वाला त्रिभुज, 2 का वर्गमूल और 3 का वर्गमूल।यह त्रिभुज थियोडोरस के सर्पिल में दूसरा त्रिभुज है। यह एकमात्र समकोण त्रिभुज है जिसमें दो माध्यिकाएँ दूसरे के लंबवत हैं।

यह भी देखें

• मध्य त्रिकोण
• पूर्णांक त्रिभुज
• केप्लर त्रिभुज, समकोण त्रिभुज जिसमें वर्गाकार किनारे की लंबाई अंकगणितीय प्रगति के अतिरिक्त ज्यामितीय प्रगति बनाती है

बाहरी संबंध

• Automedian Triangles and Magic Squares K. S. Brown's mathpages