एरेनफेस्ट मॉडल

ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की व्याख्या करने के लिए तात्याना अफनासियेवा और पॉल एहरनफेस्ट द्वारा प्रसार का एरेनफेस्ट मॉडल (या डॉग फ्ली मॉडल) प्रस्तावित किया गया था। मॉडल एन कणों को दो कंटेनरों में मानता है। कण स्वतंत्र रूप से कंटेनर को λ दर पर परिवर्तित करते हैं। यदि X(t) = i को समय t पर एक कंटेनर में कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो यह एक सतत-समय मार्कोव श्रृंखला (सीटीएमसी) के साथ एक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया है

• $q_{i,i-1}=i\,\lambda$ के लिए i = 1, 2, ..., N
• $q_{i,i+1}=(N-i\,)\lambda$ के लिए i = 0, 1, ..., N - 1

और संतुलन वितरण $\pi _{i}=2^{-N}{\tbinom {N}{i}}$.

मार्क काक ने 1947 में सिद्ध किया कि यदि प्रारंभिक प्रणाली की अवस्था संतुलन में नहीं है, तो एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत), द्वारा दी गई

$H(t)=-\sum _{i}P(X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),$

(एच-प्रमेय) में नीरस रूप से वृद्धि हो रही है। यह संतुलन वितरण के अभिसरण का परिणाम है।

परिणामों की व्याख्या

विचार करें कि प्रारंभ में सभी कण कंटेनरों में से एक में हैं। संभावना है कि समय के साथ इस कंटेनर में कणों की संख्या निकट आ जाएगी $N/2$ के और उस अवस्था के निकट कण स्थिर हो जाते हैं (कंटेनरों में लगभग समान संख्या में कण होंगे)। चूंकि गणितीय दृष्टिकोण से, प्रारंभिक अवस्था में वापस जाना संभव है (लगभग निश्चित भी)। औसत पुनरावृत्ति प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रारंभिक अवस्था में वापस जाने का अपेक्षित समय भी परिमित है, और यह $2^{N}$ है। स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करने पर पता चलता है कि यदि हम संतुलन (कंटेनरों में कणों की समान संख्या) पर प्रारंभ करते हैं, तो संतुलन में लौटने का अपेक्षित समय असमान रूप से $\textstyle {\sqrt {\pi N/2}}$ के बराबर होता है। यदि हम मानते हैं कि विशेष स्थितियों में कण एक सेकंड में एक दर से कंटेनर बदलते हैं $N=100$ कण, संतुलन से शुरू होकर संतुलन में वापसी आने की संभावना है $13$ सेकंड, कॉन्फ़िगरेशन पर प्रारंभ करते समय $100$ कंटेनरों में से एक में, $0$ दूसरी ओर, उस अवस्था में वापसी की संभावना $4\cdot 10^{22}$ साल है। यह मानना है कि सैद्धांतिक रूप से निश्चित होने के अतिरिक्त भी, प्रारंभिक अत्यधिक अनुपातहीन अवस्था की पुनरावृत्ति की संभावना नहीं है।

ग्रन्थसूची

• पॉल और तत्जाना एहरेनफेस्ट: उबेर ज्वेई बेकान्ते ईन्वांडे गेगेन दास बोल्ट्ज़मान्शे एच-प्रमेय। फिजिकलिस्के ज़िट्सक्रिफ्ट, खंड। 8 (1907), पीपी 311-314।
• फ्रांसिस पैट्रिक केली: उत्क्रमणीयता और स्टोचैस्टिक नेटवर्क में एहरेनफेस्ट मॉडल। विले, चिचेस्टर, 1979. ISBN 0-471-27601-4 पीपी. 17–20।
• डेविड ओ. सिगमंड: एहरेनफेस्ट मॉडल ऑफ डिफ्यूजन (गणित)। एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका.