एफकेजी असमानता

गणित में, फोर्टुइन-कास्टेलिन-गिनिब्रे (एफकेजी) असमानता एक सहसंबंध असमानता है, जो सीस एम. फ़ोर्टुइन, पीटर डब्ल्यू. कस्टेलीन, and जीन गिनिब्रे (1971) के कारण सांख्यिकीय यांत्रिकी और संयोजक या संभाव्य संयोजक (विशेष रूप से यादृच्छिक आरेख और संभाव्य विधि) में मौलिक उपकरण है। सामान्यतः, यह कहता है कि विभिन्न यादृच्छिक प्रणालियों में, बढ़ती घटनाएँ धनात्मक रूप से सहसंबद्ध होती हैं, जबकि बढ़ती और घटती घटनाएँ ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध होती हैं। इसे यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल का अध्ययन करके प्राप्त किया गया था।

इस प्रकार आई.आई.डी. के विशेष स्थिति के लिए एक पूर्व संस्करण वैरिएबल को हैरिस असमानता कहा जाता है, जो थिओडोर एडवर्ड हैरिस (1960) के कारण है, नीचे देखें। एफकेजी असमानता का एक सामान्यीकरण नीचे हॉली असमानता (1974) है, और इससे भी आगे का सामान्यीकरण अहल्सवेडे-डेकिन "चार फलन प्रमेय (1978) है। इसके अतिरिक्त, इसका निष्कर्ष ग्रिफ़िथ असमानताओं के समान ही है, किन्तु परिकल्पनाएँ भिन्न हैं।

असमानता

मान लीजिए $X$ एक परिमित वितरणात्मक जालक है और μ उस पर एक गैर-ऋणात्मक फलन है जिसे (एफकेजी) जालक स्थिति को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है (कभी-कभी इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले फलन को लॉग सुपरमॉड्यूलर कहा जाता है) अर्थात

$\mu (x\wedge y)\mu (x\vee y)\geq \mu (x)\mu (y)$

इस प्रकार जालक में सभी x y के लिए $X$

इस प्रकार एफकेजी असमानता तब कहती है कि $X$ पर किन्हीं दो मोटोनोकली बढ़ते फलनो ƒ और g के लिए निम्नलिखित धनात्मक सहसंबंध असमानता है:

$\left(\sum _{x\in X}f(x)g(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}\mu (x)\right)\geq \left(\sum _{x\in X}f(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}g(x)\mu (x)\right).$

इस प्रकार वही असमानता (धनात्मक सहसंबंध) तब सत्य होती है जब ƒ और g दोनों कम हो रहे हों। यदि एक बढ़ रहा है और दूसरा कम हो रहा है तो वह ऋणात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं और उपरोक्त असमानता विपरीत हो जाती है।

इसी प्रकार के कथन अधिक सामान्यतः तब प्रयुक्त होते हैं जब $X$ आवश्यक नहीं कि परिमित हो और यहां तक कि गणनीय भी नही होटी है। उस स्थिति में μ को एक सीमित माप होना चाहिए और जालक की स्थिति को सिलेंडर घटनाओं का उपयोग करके परिभाषित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए ग्रिमेट (1999) की धारा 2.2 देखें।

इस प्रकार प्रमाण के लिए, फ़ोर्टुइन, कस्टेलीन & गिनिब्रे (1971) या अहल्सवेडे-डेकिन असमानता (1978) देखें। इसके अतिरिक्त, मार्कोव श्रृंखला युग्मन (संभावना) तर्क का उपयोग करते हुए, हॉली (1974) के कारण, नीचे अपरिष्कृत रेखाचित्र भी दिया गया है

शब्दावली में भिन्नता

इस प्रकार μ के लिए जालक स्थिति को 'बहुभिन्नरूपी कुल धनात्मकता' और कभी-कभी 'सशक्त एफकेजी स्थिति' भी कहा जाता है; शब्द ('गुणक') 'एफकेजी स्थिति' का प्रयोग पुराने साहित्य में भी किया जाता है।

इस प्रकार μ का वह गुण जिसके कारण बढ़ते फलन धनात्मक रूप से सहसंबद्ध होते हैं, जिसको 'धनात्मक जुड़ाव' या 'अशक्त एफकेजी स्थिति' भी कहा जाता है।

इस प्रकार, एफकेजी प्रमेय को दोबारा दोहराया जा सकता है क्योंकि सशक्त एफकेजी स्थिति का तात्पर्य अशक्त एफकेजी स्थिति से है।

विशेष मामला: हैरिस असमानता

यदि जालक $X$ पूर्ण रूप से व्यवस्थित है, तो किसी भी माप μ के लिए जालक की स्थिति सामान्य रूप से संतुष्ट होती है। यदि माप μ एकसमान है, तो एफकेजी असमानता चेबीशेव की योग असमानता है: यदि दो बढ़ते फलन मान लेते हैं

$a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}$ और $b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}$, तब

${\frac {a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}{n}}\geq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\;{\frac {b_{1}+\cdots +b_{n}}{n}}.$

इस प्रकार अधिक सामान्यतः किसी भी संभाव्यता के लिए μ को $\mathbb {R}$ पर मापें और फलन और g को बढ़ा�