एडेल रिंग

गणित में, वैश्विक क्षेत्र की एडेल वलय (एडेलिक वलय या एडेल्स की वलय) बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की शाखा वर्ग क्षेत्र सिद्धांत का केंद्रीय उद्देश्य है। यह वैश्विक क्षेत्र के सभी पूर्ण मीट्रिक समष्टि का प्रतिबंधित गुणनफल है और द्वैत टोपोलॉजिकल वलय का उदाहरण है।

एडेल विशेष प्रकार के आइडल से प्राप्त होता है। इडेल फ्रांसीसी आइडेल से प्राप्त हुआ है और इसे फ्रांसीसी गणितज्ञ क्लाउड चेवेली द्वारा गढ़ा गया था। शब्द 'आदर्श तत्व' (संक्षिप्त: आईडी.ईएल) के लिए है। एडेल (फ्रेंच: एडेल) का अर्थ एडिटिव आइडल है (जो कि एडिटिव आईडीई तत्व है)।

एडेल्स की वलय आर्टिन पारस्परिकता नियम का वर्णन करने की अनुमति प्रदान करती है, जो परिमित क्षेत्रों पर द्विघात पारस्परिकता और अन्य पारस्परिक नियमों का सामान्यीकरण है। इसके अतिरिक्त, यह वेइल द्वारा शास्त्रीय प्रमेय है जिसे परिमित क्षेत्र के बीजगणितीय वक्र पर $G$-बंडलों के रिडक्टिव समूह $G$ के लिए एडेल्स के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। एडेल्स भी एडेलिक बीजगणितीय समूहों और एडिलिक वक्रों से संबंधित हैं।

किसी संख्या क्षेत्र के एडेल वलय पर संख्याओं की ज्यामिति के अध्ययन को एडेलिक ज्यामिति कहते हैं।

परिभाषा

मान लीजिए $K$ वैश्विक क्षेत्र ($\mathbf {Q}$ का परिमित विस्तार या परिमित क्षेत्र पर वक्र X/F_q का फलन क्षेत्र) है। $K$ की 'एडेल वलय' उपवलय है-

$\mathbf {A} _{K}\ =\ \prod (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })\ \subseteq \ \prod K_{\nu }$

जिसमें टुपल्स $(a_{\nu })$ सम्मिलित हैं, जहाँ $a_{\nu }$ सभी के लिए उपवलय ${\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }$ में स्थित है, किन्तु कई समष्टिों (गणित) पर $\nu$ है। यहाँ सूचकांक $\nu$ वैश्विक क्षेत्र $K$ के सभी मूल्यांकनों (बीजगणित) पर है, $K_{\nu }$ उस मूल्यांकन पर पूर्णता है और संबंधित मूल्यांकन वलय ${\mathcal {O}}_{\nu }$ है।

प्रेरणा

एडेल्स की वलय परिमेय संख्या $\mathbf {Q}$ पर विश्लेषण करने की तकनीकी समस्या को हल करती है। शास्त्रीय समाधान मानक मीट्रिक पूर्णता $\mathbf {R}$ को पारित करना था और वहां विश्लेषणात्मक तकनीकों का उपयोग करना था। किन्तु, जैसा कि पश्चात में ज्ञात हुआ था कि यूक्लिडियन दूरी के अतिरिक्त और भी कई निरपेक्ष मान हैं, जो प्रत्येक अभाज्य संख्या $p\in \mathbf {Z}$ के लिए है, जिसे ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा वर्गीकृत किया गया था। यूक्लिडियन निरपेक्ष मान $|\cdot |_{\infty }$, कई अन्य $|\cdot |_{p}$ में से केवल एक है, किन्तु एडेल्स की वलय सभी मूल्यांकनों से सम्मति करना और उनका उपयोग करना संभव बनाती है। यह विश्लेषणात्मक तकनीकों को सक्षम करने का लाभ है, जबकि अभाज्यों के संबंध में सूचना को यथावत रखने के पश्चात उनकी संरचना प्रतिबंधित अनंत गुणनफल द्वारा एम्बेडेड है।

प्रतिबंधित गुणनफल क्यों?

प्रतिबंधित अनंत गुणनफल संख्या क्षेत्र $\mathbf {Q}$ को $\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }$ के अंदर जाली संरचना देने के लिए आवश्यक तकनीकी स्थिति है, जिससे एडेलिक सेटिंग में फूरियर विश्लेषण (हार्मोनिक विश्लेषण) के सिद्धांत का निर्माण संभव हो जाता है। यह बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की वलय जाली के रूप में एम्बेड होती है।

${\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow K$

फूरियर विश्लेषण के नए सिद्धांत की शक्ति के साथ, जॉन टेट (गणितज्ञ) एल-फलनों के विशेष वर्ग को प्रमाणित करने में सक्षम थे और डेडेकाइंड जीटा फंक्शन जटिल तल पर मेरोमॉर्फिक थे।

इस तकनीकी स्थिति के बने रहने का अन्य प्राकृतिक कारण वलयों के टेन्सर गुणनफल के रूप में एडेल्स के वलय का निर्माण करके देखा जा सकता है। यदि वलय के रूप में इंटीग्रल एडेल की वलय $\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }$ को परिभाषित किया जाए

$\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}=\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p},$

तब एडेल्स की वलय को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है-

${\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right).\end{aligned}}$

इस वलय में स्पष्ट तत्वों को देखने के पश्चात प्रतिबंधित गुणनफल संरचना पारदर्शी हो जाती है। अप्रतिबंधित गुणनफल ${\textstyle \mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Q} _{p}}$ के भीतर तत्व $b/c\otimes (r,(a_{p}))\in \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }$ की छवि है-

$\left({\frac {br}{c}},\left({\frac {ba_{p}}{c}}\right)\right).$

गुणक $ba_{p}/c$, $\mathbf {Z} _{p}$ में स्थित होता है जब भी $p$, $c$ का अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है, किन्तु अधिक अभाज्य $p$ होते हैं।

नाम की उत्पत्ति

समष्टिीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में, क्षेत्र की इकाइयों का समूह केंद्रीय भूमिका निभाता है। वैश्विक वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में, आइडल वर्ग समूह यह भूमिका निभाता है। आइडल शब्द (French: idèle) फ्रांसीसी गणितज्ञ क्लॉड चेवेली (1909-1984) का आविष्कार है और आदर्श तत्व (संक्षिप्त: आईडी.ईएल.) का उपयोग है। शब्द एडेल (adèle) एडिटिव आइडल के लिए उपयोग किया जाता है।

एडेल वलय का विचार सभी पूर्णताओं $K$ को देखना है। कार्तीय गुणन उचित उम्मीदवार हो सकता है। चूँकि, एडेल वलय को प्रतिबंधित गुणनफल के साथ परिभाषित किया गया है। इसके दो कारण हैं:

• $K$ के प्रत्येक तत्व के लिए मूल्यांकन परिमित संख्या के अतिरिक्त प्रायः सभी समष्टिों के लिए शून्य है। इसलिए, वैश्विक क्षेत्र को प्रतिबंधित गुणनफल में एम्बेड किया जा सकता है।
• प्रतिबंधित गुणनफल समष्टिय रूप से सघन समष्टि है, जबकि कार्तीय गुणनफल नहीं है। इसलिए, कार्तीय गुणन के लिए हार्मोनिक विश्लेषण का कोई अनुप्रयोग नहीं हो सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य रूप से समूहों पर विश्लेषण में महत्वपूर्ण उपकरण, प्रत्येक माप के अस्तित्व (और विशिष्टता) को समष्टिीय उपकरण सुनिश्चित करता है।

उदाहरण

परिमेय संख्याओं के लिए एडेल्स की वलय

परिमेय K=Q में (K_ν, O_ν)=(Q_p, Z_p) के साथ प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए मूल्यांकन है और Q_∞=R