ऊर्जा नियम

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एक उदाहरण ऊर्जा नियम ग्राफ़ जो लोकप्रियता की रैंकिंग प्रदर्शित करता है। दाईं ओर लंबी छोर है, और बाईं ओर कुछ हावी हैं (जिसे पेरेटो सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है। 80-20 नियम)।

आँकड़ों में, ऊर्जा नियम दो मात्राओं के बीच एक फलन संबंध है, जहाँ एक मात्रा के सापेक्ष परिवर्तन के परिणामस्वरूप दूसरी मात्रा में आनुपातिक सापेक्ष परिवर्तन होता है, जो उन मात्राओं के प्रारंभिक आकार से स्वतंत्र होता है। एक मात्रा दूसरे के घातांक के रूप में भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, वर्ग के क्षेत्रफल को उसकी भुजा की लंबाई के रूप में देखते हुए, यदि लंबाई दोगुनी कर दी जाती है, तो क्षेत्रफल को चार के गुणज से गुणा कर दिया जाता है।

आनुभविक उदाहरण

भौतिक, जैविक, और मानव निर्मित परिघटनाओं की विस्तृत विविधता के वितरण परिमाण की विस्तृत श्रृंखला ऊर्जा नियम का पालन करती हैं: इनमें चंद्रमा पर गड्ढों के आकार और सौर ज्वालाएं,विभिन्न प्रजातियों के फोर्जिंग प्रतिरूप, तंत्रिका जनसंख्या के गतिविधि प्रतिरूप का आकार, अधिकांश भाषाओं में शब्दों की बारंबारता, पारिवारिक नामों की बारंबारता, जीवों के समूहों में प्रजातियों की समृद्धि, ऊर्जा कटौती का आकार, ज्वालामुखी विस्फोट, उत्तेजना तीव्रता के मानवीय निर्णय और कई अन्य मात्राएँ सम्मिलित हैं। कुछ आनुभविक वितरण अपने सभी मूल्यों के लिए ऊर्जा नियम का पालन करते हैं। ध्वनिक क्षीणन कई जटिल माध्यमों के व्यापक आवृत्ति पट्ट के भीतर आवृत्ति ऊर्जा-नियमों का पालन करते है। जैविक चर के बीच संबंधों के लिए सापेक्षमितिय प्रवर्द्धन, प्रकृति में सबसे प्रसिद्ध ऊर्जा नियम फलनों में से एक हैं।

गुण

मापदंड अपरिवर्तनीयता

ऊर्जा नियमों की एक विशेषता उनका मापदंड अपरिवर्तनीयता है। संबंध $f(x)=ax^{-k}$ दिया गया है जिसमे तर्क $x$ एक स्थिर गुणज द्वारा $c$ के फलन का आनुपातिक मापन करता है। वह

$f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!$

है।

जहाँ $\propto$ प्रत्यक्ष आनुपातिकता को दर्शाता है। अर्थात स्थिरांक $c$ से स्केलिंग केवल मूल ऊर्जा-नियम संबंध को स्थिरांक $c^{-k}$ से गुणा करता है इस प्रकार, यह विशेष प्रवर्द्धन घातांक वाले सभी ऊर्जा नियम निरंतर कारकों के समान होते हैं, क्योंकि प्रत्येक दूसरा, पहले का एक छोटा संस्करण है।जब दोनों $f(x)$ और $x$ के लघुगणक लिए जाते हैं तों यह रैखिक संबंध बनाता है। लॉग आरेख पर सीधी-रेखा को प्रायः ऊर्जा नियम का हस्ताक्षर कहा जाता है। वास्तविक आंकड़ों के साथ, ऊर्जा नियम संबंध के बाद डेटा के लिए इस तरह की सीधीता आवश्यक तों है परंतु पर्याप्त नहीं है। वास्तव में, डेटा की सीमित मात्रा उत्पन्न करने के कई तरीके हैं जो इस हस्ताक्षर संबंध की नकल करते हैं, लेकिन, उनकी स्पर्शोन्मुख सीमा में, सही ऊर्जा नियम नहीं हैं। उदाहरण के लिए, कुछ डेटा की उत्पादन प्रक्रिया लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है। ऊर्जा नियम प्रारूप को मान्य करना सांख्यिकी के अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है।

अच्छी तरह से परिभाषित औसत मूल्य का अभाव

ऊर्जा नियम $x^{-k}$ अच्छी तरह से परिभाषित औसत तभी हों सकता है जब $x\in [1,\infty )$ मे $k>2$ हों , और परिमित विभेद तब होता है जब $k>3$ हों; प्रकृति में विख्यात ऊर्जा नियमों के प्रतिपादक ऐसे होते हैं कि माध्य अच्छी तरह से परिभाषित होता है लेकिन विभेदित नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि वे ब्लैक स्वान सिद्धांत संबंध का पालन करत हैं।इसे निम्नलिखित प्रयोग में देखा जा सकता है। अपने दोस्तों के साथ एक कमरे की कल्पना करें और कमरे में औसत मासिक आय का अनुमान लगाएं। अब कल्पना कीजिए कि संसार का सबसे अमीर व्यक्ति कमरे में प्रवेश कर रहा है, जिसकी मासिक आय लगभग 1 अरब अमेरिकी डॉलर है। कमरे में औसत आय क्या होगा? आय को पारेटो वितरण के रूप में ज्ञात एक ऊर्जा नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, अमेरिकियों का शुद्ध मूल्य 2 के प्रतिपादक के साथ ऊर्जा नियम के अनुसार वितरित किया जाता है।

एक ओर, यह उन पारंपरिक सांख्यिकी को लागू करना गलत बनाता है जो भिन्नता और मानक विचलन पर आधारित होते हैं। दूसरी ओर, यह लागत-कुशल हस्तक्षेपों की भी अनुमति देता है।उदाहरण के लिए, यह देखते हुए कि कार निर्वात ऊर्जा नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। बहुत कम कारें, संदूषण में योगदान करती हैं। कुल निकास को पर्याप्त रूप से कम करने के लिए उन कारों को सड़क से हटाना पर्याप्त होगा।

यद्यपि, माध्य उपलब्ध है, ऊर्जा नियम x^–k के लिए प्रतिपादक के साथ $k>1$, यह 2^{1/(k – 1)}x_min मान ग्रहण करता है जहां X_min वह न्यूनतम मूल्य है जिसके लिए ऊर्जा नियम सत्य है।

सार्वभौमिकता

एक विशेष स्केलिंग घातांक के साथ ऊर्जा नियमों की समानता गतिशील प्रक्रियाओं की गहरी उत्पत्ति हो सकती है जो ऊर्जा नियम संबंध उत्पन्न करती है। भौतिकी में, उदाहरण के लिए, ऊष्मप्रवैगिकी प्रणालियों में चरण संक्रमण कुछ मात्राओं के विद्युत नियम वितरण के उद्भव से जुड़े होते हैं, जिनके घातांक को प्रणाली के महत्वपूर्ण घातांक के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक ही महत्वपूर्ण घातांक के साथ विविध प्रणालियाँ जो समान स्केलिंग संबंध को प्रदर्शित करती हैं और ऊष्मागतिकी के महत्वपूर्ण बिंदु तक पहुँचती हैं तथा समान मौलिक गतिकी को साझा करने के लिए, पुनर्सामान्यीकरण समूह सिद्धांत का पालन करती है। उदाहरण के लिए, पानी और CO₂ का संबंध और उनके क्वथनांक, समान सार्वभौमिकता वर्ग में आते हैं क्योंकि उनके महत्वपूर्ण घातांक समान होते हैं। वास्तव में, लगभग सभी भौतिक चरण संक्रमणों को सार्वभौमिकता वर्गों के एक छोटे समूह द्वारा वर्णित किया गया है और इसी तरह के अवलोकन किए गए हैं, यद्यपि, विभिन्न स्व-संगठित महत्वपूर्ण प्रणालियों के लिए, जहां प्रणाली का महत्वपूर्ण बिंदु आकर्षित करने वाला है, उनकी आलोचना व्यापक रूप से नहीं की गई है। औपचारिक रूप से, गतिशीलता के इस साझाकरण को सार्वभौमिकता के रूप में संदर्भित किया जाता है, और ठीक उसी महत्वपूर्ण घातांक वाले प्रणाली को पुनर्सामान्यीकरण समूह और सार्वभौमिकता वर्गों से संबंधित कहा जाता है।

ऊर्जा नियम फलन

ऊर्जा नियम संबंधों में वैज्ञानिक रुचि, आंशिक रूप से सहजता से उत्पन्न होती है जिसके साथ तंत्र के कुछ सामान्य वर्ग उन्हें उत्पन्न करते हैं। कुछ आंकड़ों में ऊर्जा नियम फलन का प्रदर्शन विशिष्ट प्रकार के तंत्रों को इंगित कर सकता है जो प्रश्न में प्राकृतिक घटना को कम कर सकते हैं, और अन्य प्रतीत होने वाली असंबंधित प्रणालियों के साथ गहरे संबंध का संकेत दे सकते हैं; ऊपर सार्वभौमिकता भी देखें। भौतिकी में ऊर्जा नियम संबंधों की सर्वव्यापकता आंशिक रूप से आयामी विश्लेषण के कारण है, जबकि जटिल प्रणालियों में, ऊर्जा नियमों को प्रायः पदानुक्रम या विशिष्ट प्रसंभाव्य प्रक्रम के हस्ताक्षर के रूप मे माना जाता है। ऊर्जा नियमों के कुछ उल्लेखनीय उदाहरण हैं पारेटो का आय वितरण का नियम, भग्न की संरचनात्मक आत्म-समानता और एलोमेट्रिक नियम। ऊर्जा नियम संबंधों की उत्पत्ति पर अनुसंधान, और उन्हें वास्तविक संसार में देखने और मान्य करने का प्रयास, विज्ञान के कई क्षेत्रों में अनुसंधान का एक सक्रिय विषय है, जिसमें भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, भाषा विज्ञान, भूभौतिकी, तंत्रिका विज्ञान, व्यवस्थित विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र आदि क्षेत्र है।

यद्यपि, विद्युत नियमों में अत्यधिक रुचि संभाव्यता वितरण के अध्ययन से आती है: विभिन्न प्रकार की मात्राओं के वितरण कम से कम उनकी ऊपरी छोर में ऊर्जा नियम के रूप का पालन करते हैं। इन बड़ी घटनाओं का संबंध इन मात्राओं को चरम मूल्य सिद्धांत के अध्ययन से जोड़ता है, जो शेयर बाजार में गिरावट और बड़ी प्राकृतिक आपदाओं जैसी अत्यंत दुर्लभ घटनाओं की आवृत्ति पर विचार करता है। यह मुख्य रूप से सांख्यिकीय वितरण के अध्ययन में उपयोग किया जाता है।

अनुभवजन्य संदर्भों में, ऊर्जा नियम का एक अनुमान $o(x^{k})$ सामान्यतः एक विचलन शब्द $\varepsilon$ सम्मिलित होता है , जो देखे गए मूल्यों में अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व कर सकता है या ऊर्जा नियम फलन से विचलन के लिए अवलोकनों का एक आसान तरीका प्रदान करता है:

$y=ax^{k}+\varepsilon .\!$

गणितीय रूप से, एक पूर्णतः ऊर्जा नियम संभाव्यता वितरण नहीं हो सकती है, यद्यपि वितरण जो एक छोटा ऊर्जा फलन है संभव है: जहाँ $p(x)=Cx^{-\alpha }$ के लिए $x>x_{\text{min}}$ घातांक $\alpha$, 1 से अधिक है। न्यूनतम मूल्य $x_{\text{min}}$ की आवश्यकता है अन्यथा वितरण में अनंत क्षेत्र हों जाएंगे क्योंकि x, 0 तक पहुंच सकता है, और यह सुनिश्चित करने के लिए C एक स्केलिंग कारक है जैसा कि संभाव्यता वितरण द्वारा आवश्यक है। कोई भी सामान्यतः किसी स्पर्शोन्मुख ऊर्जा नियम का ही उपयोग करता है।

उदाहरण

भौतिकी, जीव विज्ञान, और सामाजिक विज्ञान में सौ से अधिक ऊर्जा नियम वितरण की पहचान की गई है। उनमें से हैं:

खगोल विज्ञान

• केप्लर का तीसरा नियम
• तारों का प्रारंभिक सामूहिक फलन
• ब्रह्मांडीय किरण का अंतर ब्रह्मांडीय-किरण नाभिक
• एम-सिग्मा संबंध

भौतिकी

• एयरोसोल प्रकाशिकी में एंगस्ट्रॉम प्रतिपादक
• जटिल माध्यम में ध्वनिक क्षीणन की आवृत्ति-निर्भरता
• स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम
• फील्ड इफ़ेक्ट ट्रांजिस्टर और निर्वात पम्प ट्यूब के निविष्ट-विभव -निर्गत-धारा वक्र ट्यूब ध्वनि में एक कारक का अनुमान लगाते हैं।
• वर्ग–घन नियम
• 3/2-ऊर्जा नियम ट्रायोड की धारा-विभव विशेषता में पाया जा सकता है।
• न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण और इलेक्ट्रोस्टाटिक्स के व्युत्क्रम-वर्ग नियम, जैसा कि क्रमशः गुरुत्वाकर्षण क्षमता और इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता से प्रमाणित है।
• एक आकर्षण के रूप में ऊष्मप्रवैगिकी की महत्वपूर्ण बिंदु के साथ स्व-संगठित आलोचनात्मकता
• वैन डेर वाल्स बल का प्रारूप
• सरल हार्मोनिक गति में बल और क्षमता
• विभव के साथ प्रकाश की तीव्रता से संबंधित गामा सुधार
• चरण संक्रमण के महत्वपूर्ण घातांक और सार्वभौमिकता वर्ग के महत्वपूर्ण घातांक वाले दूसरे क्रम के चरण संक्रमण के निकट संबंध
• ऊर्जा अर्द्धचालकों में अधिकतम समकालिक धारा और विभव से संबंधित सुरक्षित संचालन क्षेत्र।
• पदार्थ की अतिक्रांतिक स्थिति और अतिक्रांतिक तरल पदार्थ, जैसे ताप क्षमता और चिपचिपाहट के अतिक्रांतिक घातांक।
• क्यूरी-वॉन श्वेडलर नियम कदम डीसी विभव निविष्ट के प्रतिक्रियाओं में।
• एंटीसिस्मिक डैम्पर्स कैलकुलस में गति के संबंध में बल
• प्रोटीन संरचना खंडों में केंद्रित अमीनो अम्ल के मुड़े हुए विलायक-उजागर सतह क्षेत्र

मनोविज्ञान

• स्टीवंस का मनोभौतिकी के ऊर्जा नियम को प्रदर्शनों के साथ चुनौती दी गई है कि यह लॉगरिदमिक हो सकता है)
• भूलने का ऊर्जा नियम

जीव विज्ञान

• क्लेइबर का नियम जानवरों के चयापचय और सामान्य रूप से एलोमेट्रिक नियम को आकार से संबंधित करता है,
• दो तिहाई ऊर्जा नियम, मानव मोटर प्रणाली में वक्रता से संबंधित गति।
• पारिस्थितिकी में माध्य जनसंख्या आकार और जनसंख्या आकार में भिन्नता से संबंधित छोरर का नियम
• तंत्रिका हिमस्खलन* मीठे पानी की मछलियों के समूह में प्रजातियों की समृद्धि।
• हारलो कन्नप प्रभाव, जहां मानव शरीर में पाए जाने वाले काइनेज का एक उपसमूह अधिकांश वैज्ञानिक प्रकाशनों की रचना करता है
• विश्व स्तर पर वन आवरण का आकार एक ऊर्जा नियम का पालन करता है
• क्षेत्र के आकार के फलन के रूप में किसी क्षेत्र में पाई जाने वाली प्रजातियों की संख्या से संबंधित प्रजाति-क्षेत्र संबंध

मौसम विज्ञान

• वर्षा-स्नान कोशिकाओं का आकार, चक्रवातों में ऊर्जा अपव्यय, और पृथ्वी और मंगल पर धूल के व्यास

सामान्य विज्ञान

• घातीय वृद्धि और यादृच्छिक अवलोकन
• घातांकीय वृद्धि और नवाचारों के घातीय प्रसार के माध्यम से प्रगति
• अत्यधिक अनुकूलित सहिष्णुता
• अनुभव वक्र प्रभाव का प्रस्तावित रूप
• गुलाबी कोलाहल
• धारा संख्या का नियम, और धारा की लंबाई का नियम तथा रॉबर्ट ई. हॉर्टन के नदी प्रणालियों का वर्णन करने वाले नियम
• शहरों की आबादी, जिब्रात का नियम
• ग्रंथ सूची, और एक पाठ में शब्दों की आवृत्तियाँ तथा ज़िपफ का नियम)

विकियों पर 90–9–1 सिद्धांत जिसे 1% नियम भी कहा जाता है