उपाय (गणित)

For the coalgebraic concept, see Measuring coalgebra.

Not to be confused with Metric (mathematics).

File:Measure illustration (Vector).svg

अनौपचारिक रूप से, एक उपाय में मोनोटोन फ़ंक्शन होने का गुण इस अर्थ में होता है कि यदि $A$ का उपसमुच्चय है $B,$ का पैमाना $A$ के माप से कम या उसके बराबर है $B.$ इसके अलावा, खाली सेट का माप 0 होना आवश्यक है। माप के रूप में एक साधारण उदाहरण एक आयतन (कितनी बड़ी वस्तु एक स्थान घेरती है) है।

गणित में, एक माप की अवधारणा ज्यामिति # लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन (लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन) और अन्य सामान्य धारणाओं, जैसे परिमाण (गणित), द्रव्यमान और घटनाओं की संभावना का सामान्यीकरण और औपचारिकता है। इन प्रतीत होने वाली विशिष्ट अवधारणाओं में कई समानताएँ हैं और अक्सर एक ही गणितीय संदर्भ में एक साथ व्यवहार किया जा सकता है। उपाय संभाव्यता सिद्धांत, अभिन्न में मूलभूत हैं, और विद्युत आवेश के साथ हस्ताक्षरित माप ग्रहण करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। माप के दूरगामी सामान्यीकरण (जैसे वर्णक्रमीय उपाय और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय) सामान्य रूप से क्वांटम भौतिकी और भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

इस अवधारणा के पीछे का अंतर्ज्ञान प्राचीन ग्रीस में वापस आता है, जब आर्किमिडीज़ ने एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने की कोशिश की थी। लेकिन 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत तक माप सिद्धांत गणित की एक शाखा नहीं बन पाया। आधुनिक माप सिद्धांत की नींव एमिल बोरेल, हेनरी लेबेस्ग्यू, निकोलाई लुज़िन, जोहान रैडॉन, कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी और मौरिस फ्रेचेट के कार्यों में रखी गई थी।

परिभाषा

File:Countable additivity of a measure.svg

एक माप की गणना योग्य योगात्मकता $\mu$: एक गणनीय असंयुक्त संघ का माप प्रत्येक उपसमुच्चय के सभी उपायों के योग के समान होता है।

होने देना $X$ एक सेट हो और $\Sigma$ एक सिग्मा-बीजगणित|$\sigma$-बीजगणित खत्म $X.$ एक सेट समारोह $\mu$ से $\Sigma$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा को एक माप कहा जाता है यदि निम्न शर्तें लागू होती हैं:

• गैर-नकारात्मकता: सभी के लिए $E\in \Sigma ,$ $\mu (E)\geq 0.$
• $\mu (\varnothing )=0.$
• गणनीय योगात्मकता (या सिग्मा योगात्मकता|$\sigma$-additivity): सभी गणनीय संग्रहों के लिए $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ Σ में जोड़ीदार असंयुक्त सेट की,
  $$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).$$

अगर कम से कम एक सेट $E$ परिमित माप है, तो आवश्यकता है $\mu (\varnothing )=0$ गणनीय योगात्मकता के कारण स्वचालित रूप से मिलता है:

$$\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),$$

और इसलिए $\mu (\varnothing )=0.$ यदि गैर-नकारात्मकता की स्थिति को छोड़ दिया जाता है, और $\mu$ के मूल्यों में से अधिक से अधिक एक लेता है $\pm \infty ,$ तब $\mu$ एक हस्ताक्षरित उपाय कहा जाता है।

जोड़ी $(X,\Sigma )$ एक औसत दर्जे का स्थान कहा जाता है, और के सदस्य $\Sigma$ मापनीय समुच्चय कहलाते हैं।

एक टपल $(X,\Sigma ,\mu )$ माप स्थान कहा जाता है। प्रायिकता माप एक माप है जिसका कुल माप एक –  है, $\mu (X)=1.$ प्रायिकता स्थान प्रायिकता माप के साथ माप स्थान है।

माप स्थान के लिए जो टोपोलॉजिकल स्पेस भी हैं माप और टोपोलॉजी के लिए विभिन्न अनुकूलता स्थितियों को रखा जा सकता है। विश्लेषण (गणित) में व्यवहार में मिले अधिकांश उपाय (और कई मामलों में प्रायिकता सिद्धांत में भी) रेडॉन उपाय हैं। समर्थन (गणित) #कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थानीय उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर रैडॉन उपायों की रैखिक कार्यात्मकता के संदर्भ में एक वैकल्पिक परिभाषा है। यह दृष्टिकोण निकोलस बोरबाकी (2004) और कई अन्य स्रोतों द्वारा लिया गया है। अधिक जानकारी के लिए, रैडॉन उपायों पर आलेख देखें।

उदाहरण

Main category: Measures (measure theory)

कुछ महत्वपूर्ण उपाय यहां सूचीबद्ध हैं।

• गणना माप द्वारा परिभाषित किया गया है $\mu (S)$ = तत्वों की संख्या $S.$
• लेबेस्ग उपाय चालू है $\mathbb {R}$ एक σ-बीजगणित पर अनुवाद-अपरिवर्तनीय उपाय है जिसमें अंतराल (गणित) है $\mathbb {R}$ ऐसा है कि $\mu ([0,1])=1$; और इन गुणों के साथ हर दूसरा माप Lebesgue माप का विस्तार करता है।
• परिपत्र कोण माप ROTATION के तहत अपरिवर्तनीय है, और अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप निचोड़ मानचित्रण के तहत अपरिवर्तनीय है।
• स्थानीय रूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान टोपोलॉजिकल समूह के लिए हार उपाय लेबेस्ग माप (और गिनती माप और परिपत्र कोण माप का भी) का एक सामान्यीकरण है और इसमें समान विशिष्टता गुण हैं।
• हौसडॉर्फ माप गैर-पूर्णांक आयाम वाले सेटों, विशेष रूप से फ्रैक्टल सेटों के लिए लेबेस्ग माप का एक सामान्यीकरण है।
• प्रत्येक संभाव्यता स्थान एक माप को जन्म देता है जो पूरे स्थान पर मान 1 लेता है (और इसलिए इकाई अंतराल [0, 1] में इसके सभी मान लेता है)। इस तरह के माप को संभाव्यता माप या वितरण कहा जाता है। उदाहरणों के लिए List_of_probability_distributions देखें।
• डिराक माप δ_a (cf. Dirac डेल्टा फ़ंक्शन) δ द्वारा दिया गया है_a(एस) = एक्स_S(ए), जहां χ_S का सूचक कार्य है $S.$ एक सेट का माप 1 होता है यदि उसमें बिंदु होता है $a$ और 0 अन्यथा।

विभिन्न सिद्धांतों में प्रयुक्त अन्य 'नामित' उपायों में शामिल हैं: बोरेल माप, जॉर्डन माप, एर्गोडिक उपाय, गाऊसी माप, बेयर माप, रेडॉन माप, युवा माप और लोएब माप।

भौतिकी में माप का एक उदाहरण द्रव्यमान का स्थानिक वितरण है (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षमता देखें), या अन्य गैर-नकारात्मक व्यापक संपत्ति, संरक्षित मात्रा (इनकी सूची के लिए संरक्षण कानून (भौतिकी) देखें) या नहीं। नकारात्मक मूल्य हस्ताक्षरित उपायों की ओर ले जाते हैं, नीचे सामान्यीकरण देखें।

• लिउविले का प्रमेय (हैमिल्टनियन)#सहानुभूति ज्यामिति, जिसे सहानुभूति बहुविध पर प्राकृतिक आयतन रूप के रूप में भी जाना जाता है, शास्त्रीय सांख्यिकीय और हैमिल्टनियन यांत्रिकी में उपयोगी है।
• गिब्स माप व्यापक रूप से सांख्यिकीय यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है, जिसे अक्सर विहित पहनावा के नाम से जाना जाता है।

मूल गुण

होने देना $\mu$ एक उपाय हो।

एकरसता

अगर ${\displaystyle }$