आंशिक अनुरेखण

बाएं हाथ की ओर द्विदलीय क्यूबिट प्रणाली का पूर्ण घनत्व आव्यूह $\rho _{AB}$ को दर्शाता है। आंशिक अनुरेखण 2 बटा 2 विमा (एकल क्यूबिट घनत्व आव्यूह) के उपसंक्रियक पर किया जाता है। दाहिने हाथ की ओर परिणामी 2 बटा 2 कम घनत्व आव्यूह $\rho _{A}$ को दर्शाता है।

रैखिक बीजगणित और प्रकार्यक विश्लेषण में, आंशिक अनुरेखण (रैखिक बीजगणित) का एक सामान्यीकरण है। जबकि अनुरेखण संक्रियकों पर अदिश (गणित) मानित फलन है, आंशिक अनुरेखण संक्रियक (गणित) -मानित फलन है। आंशिक अनुरेखण में क्वांटम सूचना और असम्बद्धता में अनुप्रयोग हैं जो क्वांटम माप के लिए प्रासंगिक हैं और इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्याओं के लिए निरंतर इतिहास और सापेक्ष अवस्था व्याख्या सहित निर्णायक दृष्टिकोण हैं।

विवरण

मान लीजिए कि $V$, $W$ क्रमश विमाओं $m$ और $n$ के साथ क्षेत्र (गणित) पर परिमित-विमीय सदिश समष्टि हैं। किसी भी समष्टि $A$ के लिए, $L(A)$ को $A$ पर रैखिक संक्रियकों की समष्टि को इंगित करें। $W$ पर आंशिक अनुरेखण तब $\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)$ के रूप में लिखा जाता है।

इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: $T\in \operatorname {L} (V\otimes W)$ के लिए, मान लीजिए $e_{1},\ldots ,e_{m}$, और $f_{1},\ldots ,f_{n}$, क्रमशः V और W के आधार हैं; तो T में $V\otimes W$ के आधार $e_{k}\otimes f_{\ell }$ के सापेक्ष आव्यूह प्रतिनिधित्व

$\{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n$

है।

अब सूचकांक k, i के लिए श्रेणी 1, ..., m में, योग

$b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}$ पर विचार करें।

यह आव्यूह B_k,i देता है। V पर संबंधित रैखिक संक्रियक आधारों के चुनाव से स्वतंत्र है और परिभाषा के अनुसार 'आंशिक अनुरेखण' है।

भौतिकविदों के बीच, इसे प्रायः W पर मात्र एक संक्रियक छोड़ने के संदर्भ में W पर अनुरेखण बाह्य या अनुरेखण कहा जाता है जहां W और V क्वांटम संक्रियक से जुड़े हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं (नीचे देखें)।

अपरिवर्तनीय परिभाषा

आंशिक अनुरेखण संक्रियक को अपरिवर्तनीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है (अर्थात, आधार के संदर्भ के बिना) इस प्रकार है: यह अद्वितीय रैखिक प्रतिचित्र

$\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)$ है जैसे कि

${\mathrm{Tr}}_W<!--\; \; -->(R\otimes <!--\; \otimes \; -->S)=\mathrm{Tr}<!--\; \; -->(S)R\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}R\in <!--\; \in \; -->\mathrm{L}<!--\; \; -->(V)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}S\in <!--\; \in \; -->\mathrm{L}<!--\; \; -->($