असतत कलन

This article is about कलन का असतत संस्करण. It is not to be confused with कैलकुलस में असंततकरण.

असतत कलन या असतत फलनों की कलन वृद्धिशील परिवर्तन का गणितीय अध्ययन है। उसी प्रकार जैसे ज्यामिति आकार का अध्ययन है और बीजगणित अंकगणितीय फलनों के सामान्यीकरण का अध्ययन है। कैलकुलस शब्द एक लैटिन शब्द है। जिसका अर्थ मूल रूप से "छोटा कंकड़" होता है। चूंकि इस प्रकार के कंकड़ गणना के लिए उपयोग किए जाते थे। इस शब्द का अर्थ विकसित हुआ है और आज के समय सामान्यतः गणना की एक विधि का अर्थ है। इसके बीच कैलकुलस निरंतर परिवर्तन का अध्ययन है। जिसे मूल रूप से इनफिनिटिमल्स कैलकुलस या इनफिनिटिमल्स का कैलकुलस कहा जाता है।

असतत कलन के दो प्रवेश बिंदु होते हैं। जो निम्नलिखित हैं- डिफरेंशियल कलन और इंटीग्रल कलन। डिफरेंशियल कलन परिवर्तन की वृद्धिशील दरों और पीस-वाइज रैखिक वक्रों के ढलानों से संबंधित है। इंटीग्रल कलन मात्राओं के संचय और पीस-वाइज स्थिर वक्र के अनुसार क्षेत्रों से संबंधित होते हैं। असतत कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा ये दो दृष्टिकोण एक दूसरे से संबंधित होते हैं।

परिवर्तन की अवधारणाओं का अध्ययन उनके असतत रूप से प्रारम्भ होता है। डेवलवमेन्ट एक पैरामीटर और $\Delta x$ वृद्धि स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है। यदि हम ऐसा चुनते हैं। जिससे हम वृद्धि को अधिक छोटा कर सकते हैं और इन अवधारणाओं के निरंतर समकक्षों को निर्धारित रूप में प्राप्त कर सकते हैं। अनौपचारिक रूप से असतत कलन की निर्धारित रूप में $\Delta x\to 0$ अतिसूक्ष्म कलन है। तथापि यह कलन के असतत आधार के रूप में कार्य करता है। असतत कलन का मुख्य मूल्य अनुप्रयोगों में है।

दो प्रारंभिक निर्माण

असतत अवकल कलन किसी फलन के अंतर भागफल की परिभाषा, गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन है। अंतर भागफल ज्ञात करने की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है। वास्तविक रेखा के कई बिंदुओं पर परिभाषित एक फलन को देखते हुए उस बिंदु पर अंतर भागफल फलन के छोटे-मापदंड (अर्थात् बिंदु से अगले तक) को एन्कोड करने का एक उपाय है। डोमेन में लगातार बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी पर एक फलन के अंतर भागफल को खोजने से नया फलन उत्पन्न करना संभव है। जिसे 'अंतर भागफल फलन' या मूल फलन का 'अंतर भागफल' कहा जाता है। औपचारिक शब्दों में अंतर भागफल एक रेखीय ऑपरेटर है। जो इसके इनपुट के रूप में फलन लेता है और इसके आउटपुट के रूप में दूसरा फलन उत्पन्न करता है। प्राथमिक बीजगणित में अध्ययन की गई विभिन्न प्रक्रियाओं की तुलना में यह अधिक अमूर्त है। जहां फलन सामान्यतः एक संख्या इनपुट करते हैं और दूसरी संख्या का उत्पादन करते हैं। उदाहरण के लिए यदि डबलिंग फलन को इनपुट तीन दिया जाता है। जिससे यह छह को आउटपुट करता है और यदि स्क्वेरिंग फलन को इनपुट तीन दिया जाता है। जिससे यह नौ को आउटपुट करता है। चूंकि डेरिवेटिव, स्क्वायरिंग फलन को इनपुट के रूप में प्राप्त कर सकते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि व्युत्पन्न वर्ग फलन की सभी जानकारी प्राप्त करता है। जैसे कि दो को चार को भेजा जाता है, तीन को नौ को भेजा जाता है, चार को सोलह को भेजा जाता है और इसी प्रकार आगे की प्रक्रिया जारी रहती है और इस जानकारी का उपयोग दूसरे फलन को उत्पन्न करने के लिए करता है। स्क्वेरिंग फलन को अलग करने से उत्पन्न फलन डबलिंग फलन के कुछ पास हो जाता है।

माना कि फलनों को वृद्धि $\Delta x=h>0$ से अलग किए गए बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है:

$a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots$

डबलिंग फलन $g(x)=2x$ द्वारा और स्क्वायरिंग फलन $f(x)=x^{2}$ द्वारा निरूपित किया जा सकता है। अंतर भागफल एक अंतराल $[x,x+h]$ पर फलन के परिवर्तन की दर है। जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

यह फलन $f$ एक इनपुट के रूप में ग्रहण करता है। वह सम्पूर्ण जानकारी है, जैसे कि दो को चार को भेजा जाता है, तीन को नौ को भेजा जाता है, चार को सोलह को भेजा जाता है और इसी प्रकार आगे की प्रक्रिया सक्रिय होती है और इस जानकारी का उपयोग दूसरे फलन $g(x)=2x+h$ को आउटपुट करने के लिए करता है। सुविधा की दृष्टि से नए फलन को उपरोक्त अंतरालों के मध्य बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है:

$a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,...,a+nh+h/2,...$

चूंकि परिवर्तन की दर पूरे अंतराल $[x,x+h]$ के लिए है। इसके अन्दर किसी भी बिंदु को इस प्रकार के संदर्भ के रूप में या इससे भी अच्छा सम्पूर्ण अंतराल का उपयोग किया जा सकता है। जो अंतर को भागफल $1$-कोचेन बनाता है।

अंतर भागफल के लिए सबसे सामान्य संकेतन होता है:

${\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x+h/2)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

यदि फलन का इनपुट समय का प्रतिनिधित्व करता है। जिससे अंतर भागफल समय के संबंध में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए यदि $f$ एक ऐसा फलन है। जो इनपुट के रूप में एक समय प्राप्त करता है और उस समय आउटपुट के रूप में एक गेंद की स्थिति प्रदान करता है। फिर अंतर भागफल $f$ समय के साथ स्थिति कैसे बदल रही है। यह गेंद के वेग को प्रदर्शित करता है।

यदि कोई फलन रेखीय फलन है (अर्थात यदि फलन के ग्राफ के बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं)। जिससे फलन को $y=mx+b$ के रूप में लिखा जा सकता है। जहाँ $x$ स्वतंत्र चर है, $y$ निर्भर चर है, $b$ अवरोधन-$y$ है और:

$m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

ढलान: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )$

यह एक सीधी रेखा के ढलान के लिए एक स्पष्ट मान देता है।

चूंकि यदि फलन रैखिक नहीं है। जिससे इसमें $y$ में परिवर्तन $x$ के परिवर्तन से भिन्न विभाजित होता है। अंतर भागफल इनपुट में परिवर्तन के संबंध में आउटपुट में परिवर्तन की धारणा को स्पष्ट अर्थ प्रदान करता है। ठोस होने के लिए माना $f$ एक फलन है और एक बिंदु $x$ के अधिकार क्षेत्र में $f$ निर्धारित करें। फलन के ग्राफ़ पर एक बिंदु $(x,f(x))$ है। यदि $h$,$x$ की वृद्धि है। तब $x+h$ का आने वाला अगला मान $x$ होगा। इसलिए $($