अष्टाधारी

Numeral systems, bits and Gray code

hex	dec	oct	3	2	1	0	step
0hex	00dec	00oct	0	0	0	0	g0
1hex	01dec	01oct	0	0	0	1	h1
2hex	02dec	02oct	0	0	1	0	j3
3hex	03dec	03oct	0	0	1	1	i2
4hex	04dec	04oct	0	1	0	0	n7
5hex	05dec	05oct	0	1	0	1	m6
6hex	06dec	06oct	0	1	1	0	k4
7hex	07dec	07oct	0	1	1	1	l5
8hex	08dec	10oct	1	0	0	0	vF
9hex	09dec	11oct	1	0	0	1	uE
Ahex	10dec	12oct	1	0	1	0	sC
Bhex	11dec	13oct	1	0	1	1	tD
Chex	12dec	14oct	1	1	0	0	o8
Dhex	13dec	15oct	1	1	0	1	p9
Ehex	14dec	16oct	1	1	1	0	rB
Fhex	15dec	17oct	1	1	1	1	qA

अष्टाधारी अंक प्रणाली, या संक्षेप में अष्टाधारी, मूलांक-8 संख्या प्रणाली है, और संख्यात्मक अंक 0 से 7 तक का उपयोग करता है। कहने का तात्पर्य यह है कि 10_octal आठ का प्रतिनिधित्व करता है और 100_octal चौंसठ का प्रतिनिधित्व करता है। चूँकि, अंग्रेजी, अधिकांश भाषाओं की तरह, आधार-10 संख्या प्रणाली का उपयोग करती है, इसलिए वास्तविक अष्टाधारी प्रणाली विभिन्न शब्दावली का उपयोग कर सकती है।

दशमलव प्रणाली में, प्रत्येक स्थान दस की घात है। उदाहरण के लिए:

$\mathbf {74} _{10}=\mathbf {7} \times 10^{1}+\mathbf {4} \times 10^{0}$

अष्टाधारी प्रणाली में, प्रत्येक स्थान आठ की घात है। उदाहरण के लिए:

$\mathbf {112} _{8}=\mathbf {1} \times 8^{2}+\mathbf {1} \times 8^{1}+\mathbf {2} \times 8^{0}$

परिचित दशमलव प्रणाली में ऊपर की गणना करके, हम देखते हैं कि ऑक्टल में 112 में दशमलव $64+8+2=74$ के बराबर क्यों है।

ऑक्टल अंकों को तीन के समूहों में लगातार बाइनरी अंकों को समूहित करके (पूर्णांक के लिए दाईं ओर से प्रारंभ करके) बाइनरी अंक प्रणाली के प्रतिनिधित्व (चतुर्धातुक अंक प्रणाली के समान) से आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दशमलव 74 के लिए द्विआधारी प्रतिनिधित्व 1001010 है। बाईं ओर दो शून्य जोड़े जा सकते हैं: (00)1 001 010, अष्टाधारी अंक 1 1 2 के अनुरूप, अष्टाधारी प्रतिनिधित्व 112 उत्पन्न करता है।

अष्टाधारी गुणन तालिका

×	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	4	6	10	12	14	16	20
3	3	6	11	14	17	22	25	30
4	4	10	14	20	24	30	34	40
5	5	12	17	24	31	36	43	50
6	6	14	22	30	36	44	52	60
7	7	16	25	34	43	52	61	70
10	10	20	30	40	50	60	70	100

उपयोग

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आधार पर 0, शीर्ष पर 7, दाईं ओर 1 से 3, बाईं ओर 4 से 6

आई चिंग के आठ बगुआ या त्रिकोण अष्टाधारी अंकों के अनुरूप हैं:

• 0 = ☷, 1 = ☳, 2 = ☵, 3 = ☱,
• 4 = ☶, 5 = ☲, 6 = ☴, 7 = ☰।

गॉटफ्रीड विल्हेम लाइबनिज ने 1703 में ट्रिग्राम, हेक्साग्राम और बाइनरी नंबर के बीच संबंध बनाया था।

अमेरिकी मूल-निवासियों द्वारा

• कैलिफोर्निया में युकी भाषा में अष्टाधारी प्रणाली है क्योंकि वक्ता उंगलियों के अतिरिक्त अपनी उंगलियों के बीच के रिक्त स्थान का उपयोग करके गिनते हैं।
• मेक्सिको में पेम भाषा में भी अष्टाधारी प्रणाली है, क्योंकि उनके बोलने वाले बंद मुट्ठी के पोर पर गिनते हैं।

यूरोपियों द्वारा

• यह सुझाव दिया गया है कि नौ के लिए पुनर्निर्मित प्रोटो-इंडो-यूरोपियन (पीआईई) शब्द "नया" के लिए पीआईई शब्द से संबंधित हो सकता है। इसके आधार पर, कुछ ने अनुमान लगाया है कि प्रोटो-इंडो-यूरोपीय लोगों ने अष्टाधारी संख्या प्रणाली का उपयोग किया था, चूंकि इसका समर्थन करने वाले प्रमाण बहुत कम हैं।
• 1668 में, जॉन विल्किंस ने एन एस्से टुवर्ड्स ए रियल कैरेक्टर, एंड ए फिलोसोफिकल लैंग्वेज में 10 के अतिरिक्त आधार 8 के उपयोग का प्रस्ताव दिया क्योंकि द्विभाजन या द्विभाजन का विधि सबसे स्वाभाविक और आसान प्रकार का विभाजन है, वह संख्या इसे नीचे यूनाईटेड करने में सक्षम है।
• 1716 में, स्वीडन के राजा चार्ल्स XII ने एमानुएल स्वीडनबॉर्ग से 10 के अतिरिक्त 64 पर आधारित संख्या प्रणाली को विस्तृत करने के लिए कहा था। स्वीडनबॉर्ग ने तर्क दिया,कि राजा की तुलना में कम बुद्धि वाले लोगों के लिए इतना बड़ा आधार बहुत कठिन होगा और इसके अतिरिक्त 8 को आधार के रूप में प्रस्तावित किया था। 1718 में स्वीडनबॉर्ग ने पांडुलिपि लिखी (लेकिन प्रकाशित नहीं की): एन एनई रेकेनकोन्स्ट सोम ओम वेक्सलास वाइड थेलेट 8 आई स्टेल तो वानलिगा वाइड थालेट 10 (नया अंकगणित (या गिनती की कला) जो सामान्य के अतिरिक्त संख्या 8 पर बदलता है नंबर 10)। संख्या 1-7 को व्यंजन l, s, n, m, t, f, u (v) और शून्य को स्वर o द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार 8 = लो, 16 = सो, 24 = नहीं, 64 = लू, 512 = लूओ आदि। क्रमागत व्यंजन वाली संख्याओं का उच्चारण विशेष नियम के अनुसार स्वरों के साथ किया जाता है।
• द जेंटलमैन मैगज़ीन, (लंदन) जुलाई 1745 में छद्म नाम हिरोसा एपी-इस्किम के अनुसार लिखते हुए, ह्यूग जोन्स (श्रद्धेय) ने ब्रिटिश सिक्कों, वज़न और माप के लिए अष्टाधारी प्रणाली का प्रस्ताव रखा। जबकि कारण और सुविधा हमें सभी मात्राओं के लिए समान मानक का संकेत देती है; जिसे मैं जॉर्जियाई मानक कहूंगा; और वह केवल प्रत्येक पूर्णांक को आठ समान भागों में विभाजित करना है, और प्रत्येक भाग को फिर से 8 वास्तविक या काल्पनिक कणों में, जहाँ तक आवश्यक हो, विभाजित करना है। सभी राष्ट्रों के लिए दसियों (मूल रूप से दोनों हाथों पर अंकों की संख्या के आधार पर) द्वारा सार्वभौमिक रूप से गिना जाता है, फिर भी 8 कहीं अधिक पूर्ण और विशाल संख्या है; चूंकि यह अंश के बिना आधा, चौथाई, और आधा चौथाई (या इकाइयों) में विभाज्य है, जिनमें से उपखंड दस असमर्थ है ... ह्यूग जोन्स (श्रद्धेय) प्रकाशन (1753) पर एक बाद के ग्रंथ में जोन्स ने निष्कर्ष निकाला: अंकगणित द्वारा ऑक्टेव चीजों की प्रकृति के लिए सबसे अधिक स्वीकार्य लगता है, और इसलिए दशकों से उपयोग में आने वाले प्राकृतिक अंकगणित के विरोध में प्राकृतिक अंकगणित कहा जा सकता है; जिसे कृत्रिम अंकगणित माना जा सकता है।
• 1801 में हर्मिस्टन के जेम्स एंडरसन ने दशमलव अंकगणित पर मीट्रिक प्रणाली के आधार के लिए फ्रेंच की आलोचना की थी। और उन्होंने आधार 8 का सुझाव दिया, जिसके लिए उन्होंने ऑक्टल शब्द गढ़ा था। उनका काम मनोरंजक गणित के रूप में था, लेकिन उन्होंने वजन और माप की विशुद्ध रूप से अष्टाधारी प्रणाली का सुझाव दिया और देखा कि अंग्रेजी इकाइयों की वर्तमान प्रणाली पहले से ही उल्लेखनीय सीमा तक अष्टाधारी प्रणाली थी।
• 19वीं शताब्दी के मध्य में, अल्फ्रेड बी. टेलर ने निष्कर्ष निकाला कि हमारा ऑक्टोनरी [आधार 8] मूलांक इसलिए, सभी तुलनाओं से परे अंकगणितीय प्रणाली के लिए सर्वोत्तम संभव मूलांक है। प्रस्ताव में अंकों के लिए ग्राफिकल नोटेशन और संख्याओं के लिए नए नाम सम्मिलित थे, जिसमें यह सुझाव दिया गया था कि हमें अन, डु, द, फ़ो, पा, से, की, यूनिटी, यूनिटी-अन, अन्टी-डु और इसी तरह की गिनती क्रमिक रूप से करनी चाहिए। आठ के गुणज में यूनिटी, ड्यूटी, थेटी, फोटी, पैटी, सेट्य, किटी और अंडर नाम दिया गया है। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 65 (ऑक्टल में 101) ऑक्टोनरी में अंडर-अन के रूप में बोली जाएगी। टेलर ने उपरोक्त उद्धृत प्रकाशनों के परिशिष्ट के रूप में ऑक्टल पर स्वीडनबॉर्ग के कुछ कार्यों को भी पुनर्प्रकाशित किया।

कंप्यूटर में

जब यूनीवैक 1050, पीडीपी-8, ICT 1900 सीरीज़ और आईबीएम मेनफ्रेम जैसी प्रणालियों ने 6-बिट वर्ण कोड, 12-बिट कंप्यूटिंग, 24-बिट कंप्यूटिंग, 36-बिट कंप्यूटिंग शब्दों को नियोजित करते हैं, तो ऑक्टल का कंप्यूटिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। ऑक्टल इन मशीनों के लिए बाइनरी का आदर्श संक्षिप्त नाम था क्योंकि उनका शब्द आकार तीन से विभाज्य है (प्रत्येक ऑक्टल अंक तीन बाइनरी अंकों का प्रतिनिधित्व करता है)। तो दो, चार, आठ या बारह अंक पूरे शब्द (कंप्यूटर आर्किटेक्चर) को संक्षिप्त रूप से प्रदर्शित कर सकते हैं। इसने एनआई राइट ट्यूब, सात-खंड डिस्प्ले और कैलकुलेटर को ऑपरेटर कंसोल के लिए उपयोग करने की अनुमति देकर लागत में कटौती की, जहां बाइनरी डिस्प्ले उपयोग करने के लिए बहुत जटिल थे, दशमलव डिस्प्ले को रेडिस को बदलने के लिए जटिल हार्डवेयर की आवश्यकता होती है, और हेक्साडेसिमल डिस्प्ले को अधिक अंक प्रदर्शित करने की आवश्यकता होती है। .

चूँकि, सभी आधुनिक कंप्यूटिंग प्लेटफ़ॉर्म 16-, 32-, या 64-बिट शब्दों का उपयोग करते हैं, जिन्हें आगे ऑक्टेट (कंप्यूटिंग) | आठ-बिट बाइट्स में विभाजित किया गया है। ऐसी प्रणालियों पर प्रति बाइट तीन अष्टाधारी अंकों की आवश्यकता होगी, जिसमें सबसे महत्वपूर्ण अष्टाधारी अंक दो द्विआधारी अंकों का प्रतिनिधित्व करता है (साथ ही अगले महत्वपूर्ण बाइट का बिट, यदि कोई हो)। 16-बिट शब्द के ऑक्टल प्रतिनिधित्व के लिए 6 अंकों की आवश्यकता होती है, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण ऑक्टल अंक केवल बिट (0 या 1) का प्रतिनिधित्व करता है। यह प्रतिनिधित्व सबसे महत्वपूर्ण बाइट को आसानी से पढ़ने का कोई विधि प्रदान नहीं करता है, क्योंकि यह चार ऑक्टल अंकों से घिरा हुआ है। इसलिए, आज प्रोग्रामिंग भाषाओं में हेक्साडेसिमल का अधिक उपयोग किया जाता है, क्योंकि दो हेक्साडेसिमल अंक बिल्कुल बाइट निर्दिष्ट करते हैं। पावर-ऑफ़-टू शब्द आकार वाले कुछ प्लेटफ़ॉर्म में अभी भी निर्देश उपशब्द हैं जो ऑक्टल में प्रदर्शित होने पर अधिक आसानी से समझ में आते हैं; इसमें पीडीपी-11 और मोटोरोला 68000 परिवार सम्मिलित हैं। आधुनिक समय का सर्वव्यापी x86 आर्किटेक्चर भी इसी श्रेणी में आता है, लेकिन इस प्लेटफॉर्म पर ऑक्टल का उपयोग बहुत कम किया जाता है, चूंकि ऑक्टल में प्रदर्शित होने पर ओपकोड के बाइनरी एन्कोडिंग के कुछ गुण अधिक आसानी से स्पष्ट हो जाते हैं, उदा। मोडआरएम बाइट, जो 2, 3, और 3 बिट्स के क्षेत्रों में विभाजित है, इसलिए ऑक्टल इन एनकोडिंग का वर्णन करने में उपयोगी हो सकता है। कोडांतरक (कम्प्यूटिंग) की उपलब्धता से पहले, कुछ प्रोग्रामर ऑक्टल में प्रोग्राम को हैंडकोड करेंगे; उदाहरण के लिए, डिक व्हिपल और जॉन अर्नोल्ड ने ऑक्टल का उपयोग करते हुए सीधे मशीन कोड में टिनी बेसिक लिखा।

ऑक्टल का उपयोग कभी-कभी हेक्साडेसिमल के अतिरिक्त कंप्यूटिंग में किया जाता है, संभवतः आधुनिक समय में अधिकांश यूनिक्स प्रणाली के अनुसार फ़ाइल अनुमतियों के संयोजन में (चामोद देखें)। इसमें अंकों के रूप में किसी भी अतिरिक्त प्रतीकों की आवश्यकता नहीं होने का लाभ है (हेक्साडेसिमल प्रणाली आधार -16 है और इसलिए 0–9 से आगे छह अतिरिक्त प्रतीकों की आवश्यकता है)। इसका उपयोग डिजिटल डिस्प्ले के लिए भी किया जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं में, ऑक्टल लिटरल (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) को सामान्यतः अंक सहित विभिन्न प्रकार के उपसर्गों के साथ पहचाना जाता है , जिसमे अंक 0, अक्षर o या q, अंक-अक्षर संयोजन 0o, या प्रतीक & या $ सम्मिलित हैं। मोटोरोला परिपाटी में, अष्टाधारी संख्याओं को @के साथ उपसर्ग किया जाता है, जबकि छोटा (या बड़ा अक्षर o या q इंटेल सम्मेलन के बाद प्रत्यय के रूप में जोड़ा गया है। समवर्ती डॉस, बहुउपयोगकर्ता डॉस और रियल/32 के साथ-साथ डॉस प्लस और डीआर-डॉस में विभिन्न पर्यावरण चर जैसे $CLS, $ON, $OFF, $HEADER या $FOOTER एक \nnn अष्टाधारी संख्या संकेतन का समर्थन करते हैं,और डीआर-डॉस डीबग अष्टाधारी संख्याओं को उपसर्ग करने के लिए भी \ का उपयोग करता है ।

उदाहरण के लिए, शाब्दिक 73 (आधार 8) को 073, o73, q73, 0o73, \73, @73, &73, $73 या 73o इस रूप में विभिन्न भाषाओं में दर्शाया जा सकता है।

नई भाषाएँ उपसर्ग 0 को छोड़ रही हैं क्योंकि दशमलव संख्याएं अधिकांश अग्रणी शून्यों के साथ प्रदर्शित होती हैं। उपसर्ग q उपसर्ग से बचने के लिए o प्रस्तुत किया गया था शून्य के लिए गलत किया जा रहा है, जबकि उपसर्ग 0o वर्णमाला वर्ण के साथ संख्यात्मक शाब्दिक प्रारंभ करने से बचने के लिए (जैसे o या q) प्रस्तुत किया गया था , क्योंकि ये शाब्दिक को चर नाम के साथ भ्रमित कर सकते हैं। उपसर्ग 0o उपसर्ग द्वारा निर्धारित मॉडल का भी अनुसरण करता है 0x सी (प्रोग्रामिंग भाषा) में हेक्साडेसिमल शाब्दिक के लिए उपयोग किया जाता है; यह हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा) द्वारा समर्थित है, OCaml, पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) संस्करण 3.0 के रूप में, राकू (प्रोग्रामिंग भाषा), रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा), टीसीएल संस्करण 9 के रूप में, पीएचपी संस्करण 8.1 के रूप में, जंग (प्रोग्रामिंग भाषा) और इसका उद्देश्य ईसीएमएस्क्रिप्ट 6 द्वारा समर्थित होना है (उपसर्ग 0 मूल रूप से जावास्क्रिप्ट में बेस 8 के लिए खड़ा था लेकिन भ्रम उत्पन्न कर सकता था, इसलिए इसे ईसीएमएस्क्रिप्ट 3 में हतोत्साहित किया गया है और ईसीएमएस्क्रिप्ट 5 में हटा दिया गया है).

ऑक्टल नंबर जो कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं (सी, पर्ल, परिशिष्ट भाग ...) में बाइट स्ट्रिंग्स के टेक्स्ट/ग्राफ़िकल प्रस्तुतियों के लिए उपयोग किए जाते हैं, जब कुछ बाइट मान (कोड पृष्ठ में अप्रतिबंधित, गैर-ग्राफ़िकल, वर्तमान संदर्भ में विशेष अर्थ वाले या अन्यथा) अवांछित) अक्षर से बचने के लिए \nnn होना चाहिए, और ऑक्टल प्रतिनिधित्व विशेष रूप से UTF-8 के गैर-ASCII बाइट्स के साथ आसान हो सकता है, जो 6 बिट्स के समूहों को एन्कोड करता है, और जहां किसी भी स्टार्ट बाइट का ऑक्टल मान \3nn होता है और किसी भी निरंतरता बाइट का \2nnऑक्टल मान होता है

ऑक्टल का उपयोग फेरेंटी एटलस (1962), बरोज़ B5500 (1964), बरोज़ B5700 (1971), बरोज़ B6700 (1971) और बरोज़ B7700 (1972) कंप्यूटरों में फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए भी किया गया था।

विमानन में

विमान में डीबग ट्रांसपोंडर (एरोनॉटिक्स) स्क्वॉक ट्रांसपोंडर कोड प्रसारित करता है, जिसे चार-ऑक्टल-अंकों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, जब ग्राउंड रडार द्वारा पूछताछ की जाती है। इस कोड का उपयोग रडार स्क्रीन पर अलग-अलग विमानों को अलग करने के लिए किया जाता है।

आधारों के बीच रूपांतरण

दशमलव से अष्टाधारी रूपांतरण

8 द्वारा उत्तरोत्तर यूक्लिडियन विभाजन की विधि

पूर्णांक दशमलव को अष्टाधारी में बदलने के लिए, यूक्लिडियन विभाजन मूल संख्या को 8 की सबसे बड़ी संभव घात से विभाजित करता है और शेष को 8 की क्रमिक छोटी शक्तियों से विभाजित करता है जब तक कि घात 1 न हो। अष्टाधारी प्रतिनिधित्व को भागफलों द्वारा बनाया जाता है, जो कि एल्गोरिथ्म द्वारा उत्पन्न क्रम में लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, 125₁₀ को ऑक्टल में बदलने के लिए:

125 = 8² × 1 + 61

61 = 8¹ × 7 + 5

5 = 8⁰ × 5 + 0

इसलिए, 125₁₀ = 175₈.

अन्य उदाहरण:

900 = 8³ × 1 + 388

388 = 8² × 6 + 4

4 = 8¹ × 0 + 4

4 = 8⁰ × 4 + 0

इसलिए, 900₁₀ = 1604₈.

8 से लगातार गुणा करने की विधि

दशमलव अंश को अष्टाधारी में बदलने के लिए, 8 से गुणा करें; परिणाम का पूर्णांक भाग अष्टाधारी अंश का पहला अंक है। परिणाम के आंशिक भाग के साथ प्रक्रिया को दोहराएं, जब तक कि यह शून्य या स्वीकार्य त्रुटि सीमा के अन्दर न हो।

उदाहरण: 0.1640625 को अष्टाधारी में बदलें:

0.1640625 × 8 = 1.3125 = 1 + 0.3125

0.3125 × 8 = 2.5 = 2 + 0.5

0.5 × 8 = 4.0 = 4 + 0

इसलिए, 0.1640625₁₀ = 0.124₈.

इन दो विधियों को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों के साथ दशमलव संख्याओं को संभालने के लिए जोड़ा जा सकता है, और पहले का उपयोग पूर्णांक भाग पर और दूसरा भिन्नात्मक भाग पर किया जाता है।

क्रमिक दोहराव की विधि

पूर्णांक दशमलव को अष्टाधारी में बदलने के लिए, संख्या को 0 के साथ उपसर्ग करें। जब तक अंक मूलांक के दाईं ओर रहते हैं, तब तक निम्नलिखित चरणों का पालन करें: मूलांक के बाईं ओर के मान को दोगुना करें, अष्टाधारी नियमों का उपयोग करते हुए, मूलांक बिंदु को एक अंक दाईं ओर ले जाएं, और फिर दोगुने मान को वर्तमान मान के नीचे रखें जिससे मूलांक बिंदु संरेखित हों। यदि स्थानांतरित रेडिक्स बिंदु 8 या 9 के अंक से अधिक हो जाता है, तो इसे 0 या 1 में परिवर्तित करें और वर्तमान मान के अगले बाएं अंक में ले जाएं। मूलांक के बाईं ओर अष्टाधारी रूप से उन अंकों को जोड़ें और बिना किसी संशोधन के उन अंकों को दाईं ओर नीचे गिरा दें।

उदाहरण:

0.4 9 1 8 decimal value
 +0
---------
  4.9 1 8
 +1 0
 --------
  6 1.1 8
 +1 4 2
 --------
  7 5 3.8
 +1 7 2 6
 --------
1 1 4 6 6. octal value

दशमलव रूपांतरण के लिए अष्टाधारी

संख्या बदलने के लिए k दशमलव के लिए, उस सूत्र का उपयोग करें जो इसके आधार-8 प्रतिनिधित्व को परिभाषित करता है:

$k=\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\times 8^{i}\right)$

इस सूत्र में, a_i व्यक्तिगत अष्टाधारी अंक परिवर्तित किया जा रहा है, जहाँ i अंक की स्थिति है (सबसे दाहिने अंक के लिए 0 से गिनती)।

उदाहरण: 764₈ को बाइनरी में बदलें:

764₈ = 7 × 8² + 6 × 8¹ + 4 × 8⁰ = 448 + 48 + 4 = 500₁₀

दो-अंकीय ऑक्टल संख्याओं के लिए यह विधि मुख्य अंक को 8 से गुणा करने और कुल प्राप्त करने के लिए दूसरे अंक को जोड़ने के बराबर है।

उदाहरण: 65₈ = 6 × 8 + 5 = 53₁₀

क्रमिक दोहराव की विधि

अष्टाधारी को दशमलव में बदलने के लिए, संख्या के आगे 0 लगाएँ। जब तक मूलांक के दाईं ओर अंक रहते हैं, तब तक निम्न चरणों का पालन करें: दशमलव नियमों का उपयोग करते हुए मूलांक के बाईं ओर के मान को दोगुना करें, मूलांक बिंदु को अंक दाईं ओर ले जाएं, और फिर वर्तमान के नीचे दोगुने मान को रखें मान जिससे मूलांक बिंदु संरेखित हों। रेडिक्स के बाईं ओर उन अंकों को दशमलव रूप से घटाएं और बिना किसी संशोधन के उन अंकों को दाईं ओर नीचे गिरा दें।

उदाहरण:

0.1 1 4 6 6 octal value
 -0
-----------
  1.1 4 6 6
 - 2
 ----------
    9.4 6 6
 - 1 8
 ----------
    7 6.6 6
 - 1 5 2
 ----------
    6 1 4.6
 - 1 2 2 8
 ----------
    4 9 1 8. decimal value

ऑक्टल से बाइनरी रूपांतरण

ऑक्टल को बाइनरी में बदलने के लिए, प्रत्येक ऑक्टल अंक को उसके बाइनरी प्रतिनिधित्व से बदलें।

उदाहरण: 51₈ को बाइनरी में बदलें:

5₈ = 101₂

1₈ = 001₂

इसलिए, 51₈ = 101 001₂.

बाइनरी से ऑक्टल रूपांतरण

प्रक्रिया पिछले एल्गोरिथ्म के विपरीत है। बाइनरी अंकों को कम से कम महत्वपूर्ण बिट से प्रारंभ करके और बाईं ओर और दाईं ओर आगे बढ़ते हुए, थ्रीज़ द्वारा समूहीकृत किया जाता है। यदि आवश्यक हो तो तीन के अंतिम समूह को भरने के लिए अग्रणी शून्य (या दशमलव बिंदु के दाईं ओर अनुगामी शून्य) जोड़ें। फिर प्रत्येक तिकड़ी को समतुल्य अष्टाधारी अंक से बदलें।

उदाहरण के लिए, बाइनरी 1010111100 को ऑक्टल में बदलें:

001	010	111	100
1	2	7	4

इसलिए, 1010111100₂ = 1274₈.

बाइनरी 11100.01001 को ऑक्टल में बदलें:

011	100	.	010	010
3	4	.	2	2

इसलिए, 11100.01001₂ = 34.22₈.

ऑक्टल से हेक्साडेसिमल रूपांतरण

मध्यवर्ती आधार के रूप में बाइनरी का उपयोग करके रूपांतरण दो चरणों में किया जाता है। ऑक्टल को बाइनरी में और फिर बाइनरी को हेक्साडेसिमल में परिवर्तित किया जाता है, और अंकों को चार से समूहित किया जाता है, जो प्रत्येक को हेक्साडेसिमल अंक से मेल खाता है।

उदाहरण के लिए, ऑक्टल 1057 को हेक्साडेसिमल में बदलें:

बाइनरी के लिए:

1	0	5	7
001	000	101	111

फिर हेक्साडेसिमल के लिए:

0010	0010	1111
2	2	F

इसलिए, 1057₈ = 22F₁₆.

हेक्साडेसिमल से ऑक्टल रूपांतरण

हेक्साडेसिमल से ऑक्टल रूपांतरण पहले हेक्साडेसिमल अंकों को 4-बिट बाइनरी मानों में परिवर्तित करके आगे बढ़ता है, फिर बाइनरी बिट्स को 3-बिट ऑक्टल अंकों में पुनर्समूहित करता है।

उदाहरण के लिए, 3FA5₁₆ को बदले करने के लिए:

बाइनरी के लिए:

3	F	A	5
0011	1111	1010	0101

फिर अष्टाधारी के लिए:

0	011	111	110	100	101
0	3	7	6	4	5

इसलिए, 3FA5₁₆ = 37645₈.

वास्तविक संख्या

अंश

केवल दो के कारक होने के कारण, कई ऑक्टल अंशों में दोहराए जाने वाले अंक होते हैं, चूंकि ये काफी सरल होते हैं:

दशमलव आधार आधार के प्रमुख कारक: 2, 5 आधार के नीचे के प्रमुख कारक: 3 आधार के ऊपर के प्रमुख कारक: 11 अन्य प्रमुख कारक: 7 13 17 19 23 29 31			ऑक्टल बेस आधार के प्रमुख कारक: 2 आधार के नीचे के अभाज्य कारक: 7 आधार के ऊपर के प्रमुख कारक: 3 अन्य प्रमुख कारक: 5 13 15 21 23 27 35 37
भिन्न	अभाज्य कारणभाजक का	स्थितीय प्रतिनिधित्व	स्थितीय प्रतिनिधित्व	अभाज्य कारणभाजक का	भिन्न
1/2	2	0.5	0.4	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.2525... = 0.25	3	1/3
1/4	2	0.25	0.2	2	1/4
1/5	5	0.2	0.1463	5	1/5
1/6	2, 3	0.16	0.125	2, 3	1/6
1/7	7	0.142857	0.1	7	1/7
1/8	2	0.125	0.1	2	1/10
1/9	3	0.1	0.07	3	1/11
1/10	2, 5	0.1	0.06314	2, 5	1/12
1/11	11	0.09	0.0564272135	13	1/13
1/12	2, 3	0.083	0.052	2, 3	1/14
1/13	13	0.076923	0.0473	15	1/15
1/14	2, 7	0.0714285	0.04	2, 7	1/16
1/15	3, 5	0.06	0.0421	3, 5	1/17
1/16	2	0.0625	0.04	2	1/20
1/17	17	0.0588235294117647	0.03607417	21	1/21
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1/19	19	0.052631578947368421	0.032745	23	1/23
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1/21	3, 7	0.047619	0.03	3, 7	1/25
1/22 </