अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस

गणित में, टोपोलॉजिकल समिष्ट को अल्ट्राकनेक्टेड कहा जाता है यदि कोई भी दो गैर-रिक्त विवृत समुच्चय असंयुक्त (समुच्चय) नहीं हैं। सामान्यतः, समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है यदि और केवल तभी जब दो अलग-अलग बिंदुओं के विवृत होने पर सदैव गैर-सामान्य प्रतिच्छेदन होता है। इसलिए, कोई T1 समिष्ट नहीं है | इस प्रकार T₁ से अधिक बिंदुओं वाला समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है।

गुण

प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट $X$ पथ कनेक्टेड है (किन्तु आवश्यक नहीं कि आर्क कनेक्टेड हो)। इस प्रकार यदि $a$ और $b$ $X$ के दो बिंदु हैं और $p$ $\operatorname {cl} \{a\}\cap \operatorname {cl} \{b\}$ द्वारा परिभाषित प्रतिच्छेदन $f:[0,1]\to X$ पर बिंदु है , यदि $f(t)=a$ और $f(1/2)=p$, $f(t)=b$ और $1/2<t\leq 1$ के बीच एक सतत पथ $a$ और $b$ है

प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट सामान्य समिष्ट, सीमा बिंदु सघन और स्यूडोकॉम्पैक्ट समिष्ट है।

उदाहरण

निम्नलिखित अल्ट्राकनेक्टेड टोपोलॉजिकल समिष्ट के उदाहरण हैं।

• अविवेकी टोपोलॉजी वाला समुच्चय।
• सिएरपिंस्की समिष्ट।
• बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी वाला समुच्चय।
• वास्तविक रेखा पर सही क्रम टोपोलॉजी।

यह भी देखें

• हाइपरकनेक्टेड समिष्ट

संदर्भ

• This article incorporates material from Ultraconnected space on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).