अबीजीय फलन

गणित में, एक अबीजीय फलन एक विश्लेषिक फलन होता है जो बीजगणितीय फलन के विपरीत बहुपद समीकरण को स्वीकृत नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, एक अबीजीय फलन बीजगणित को "उत्कृष्ट" करता है क्योंकि इसे बीजगणितीय रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अबीजीय फलनों के उदाहरणों में घातीय फलन, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फलन सम्मिलित हैं।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक वास्तविक या सम्मिश्र चर z का एक विश्लेषणात्मक फलन f (z) अबीजीय है यदि यह उस चर से बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है। यह कई चर के फलनों के लिए बढ़ाया जा सकता है।

इतिहास

अबीजीय फलनों साइन और कोसाइन को प्राचीन काल में भौतिक माप से सारणीबद्ध किया गया था, जैसा कि ग्रीस (हिप्पार्कस) और भारत (ज्य और कोटि-ज्या) में प्रमाणित है। टॉलेमी की तारों की तालिका का वर्णन करते हुए, साइन की तालिका के बराबर, ओलाफ पेडर्सन ने लिखा:

एक स्पष्ट अवधारणा के रूप में निरंतरता की गणितीय धारणा टॉलेमी के लिए अज्ञात है। वह, वास्तव में, इन कार्यों को निरंतर मानता है, जो उसकी अव्यक्त धारणा से प्रतीत होता है कि रैखिक प्रक्षेप की सरल प्रक्रिया द्वारा स्वतंत्र चर के किसी भी मूल्य के अनुरूप आश्रित चर का मान निर्धारित करना संभव है।

The mathematical notion of continuity as an explicit concept is unknown to Ptolemy. That he, in fact, treats these functions as continuous appears from his unspoken presumption that it is possible to determine a value of the dependent variable corresponding to any value of the independent variable by the simple process of linear interpolation.

इन वृत्तीय फलन की एक क्रांतिकारी समझ 17 वीं शताब्दी में हुई और 1748 में लिओनहार्ड यूलर द्वारा अनंत के विश्लेषण के परिचय में इसकी खोज की गई। 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विंसेंट द्वारा आयताकार हाइपरबोला xy = 1 के चतुर्भुज के माध्यम से इन प्राचीन अबीजीय फलनों को निरंतर फलनों के रूप में जाना जाता है, दो सहस्राब्दियों के बाद आर्किमिडीज़ ने पैराबोला (परवलय) के चतुर्भुज का उत्पादन किया था।

हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्र को सीमा के निरंतर अनुपात के लिए स्थिर क्षेत्र की प्रवर्धन संपत्ति के रूप में दिखाया गया था। अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक फलन का वर्णन 1748 तक सीमित सेवा का था, जब लियोनहार्ड यूलर ने इसे उन फलनों से संबंधित किया था जहां एक निरंतर एक चर घातांक के लिए उठाया जाता है, जैसे कि घातीय फलन जहां निरंतर आधार (घातांक) e (गणितीय स्थिरांक) है। इन अबीजीय फलनों को प्रारंभ करने और एक व्युत्क्रम फलन का अर्थ करने वाली आपत्ति संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, प्राकृतिक लघुगणक के बीजगणितीय जोड़तोड़ के लिए कुछ सुविधा प्रदान की गई थी, भले ही यह बीजगणितीय फलन न हो।

घातीय फलन लिखा है $\exp(x)=e^{x}$. यूलर ने इसकी पहचान अनंत श्रृंखला से की ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$, जहाँ k! के भाज्य को दर्शाता है।

इस श्रृंखला के सम और विषम पद cosh(x) और sinh(x) को दर्शाने वाले योग प्रदान करते हैं, ताकि $e^{x}=\cosh x+\sinh x$.। इन अनुवांशिक अतिपरवलयिक फलनों को श्रृंखला में (−1)^k प्रारंभ करके वृत्तीय फलन साइन और कोसाइन में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप वैकल्पिक श्रृंखला होती है। यूलर के बाद, गणितज्ञ समिश्र संख्या अंकगणित में प्रायः यूलर के सूत्र के माध्यम से साइन और कोसाइन को लघुगणक और प्रतिपादक फलनों के उत्थान से संबंधित करने के लिए देखते हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित फलन अबीजीय हैं:

$${\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=c^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=x^{x}\\f_{4}(x)&=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\\[2pt]f_{5}(x)&=\log _{c}x\\[2pt]f_{6}(x)&=\sin {x}\end{aligned}}$$

दूसरे फलन $f_{2}(x)$ के लिए, यदि हम $c$ को प्राकृतिक लघुगणक के आधार $e$ के बराबर समुच्चय करते हैं, तो हम पाते हैं कि $e^{x}$ एक अबीजीय फलन है। इसी तरह, यदि हम $c$ को $e$ बराबर समुच्चय करते हैं तो हम पाते हैं कि $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ (यानी, प्राकृतिक लघुगणक) एक अबीजीय फलन है।

बीजगणितीय और अबीजीय फलन

सबसे परिचित अबीजीय फलन लघुगणक, घातीय फलन (किसी भी गैर-तुच्छ आधार के साथ), त्रिकोणमितीय फलन और अतिपरवलयिक फलन और इन सभी के व्युत्क्रम फलन हैं। कम परिचित गणितीय विश्लेषण के विशेष फलन हैं, जैसे कि गामा, दीर्घवृत्तीय और जीटा फलन, जो सभी अबीजीय हैं। सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय फलन और बेसेल फलन फलन सामान्य रूप से अबीजीय हैं, परन्तु कुछ विशेष पैरामीटर मानों के लिए बीजगणितीय हैं।

एक फलन जो अबीजीय नहीं है वह बीजगणितीय है। बीजगणितीय फलनों के सरल उदाहरण तर्कसंगत फलन और वर्गमूल फलन हैं, परन्तु सामान्य तौर पर, बीजगणितीय फलनों को प्राथमिक फलनों के परिमित सूत्रों के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

कई बीजगणितीय फलनों का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग अबीजीय है। उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के प्रयास में लघुगणक फलन गुणक व्युत्क्रम से उत्पन्न हुआ है।

डिफरेंशियल बीजगणित जांच करता है कि कैसे एकीकरण प्रायः ऐसे फलनों का निर्माण करता है जो बीजीय रूप से कुछ वर्ग से स्वतंत्र होते हैं, जैसे कि जब कोई चर के रूप में त्रिकोणमितीय फलनों के साथ बहुपद लेता है।

अस्पष्ट रूप से अबीजीय फलन

गणितीय भौतिकी के विशेष फलनों सहित अधिकांश परिचित अबीजीय फलन, बीजगणितीय अंतर समीकरणों के समाधान हैं। जो नहीं हैं, जैसे कि गामा फलन और ज़ेटा फलन , उन्हें अबीजीय या हाइपरट्रांसेंडेंटल फलन फलन कहा जाता है।

असाधारण समुच्चय

यदि $f$ एक बीजगणितीय फलन है और $\alpha$ तब एक बीजगणितीय संख्या है $f(\alpha )$ एक बीजगणितीय संख्या भी है। इसका विलोम सत्य नहीं है: संपूर्ण फलन हैं $f$ ऐसा है कि $f(\alpha )$ किसी भी बीजगणितीय के लिए एक बीजगणितीय संख्या है $\alpha .$ किसी दिए गए अबीजीय फलन के लिए बीजगणितीय परिणाम देने वाले बीजगणितीय संख्याओं के समुच्चय को उस फलन का असाधारण समुच्चय कहा जाता है। औपचारिक रूप से इसे परिभाषित किया गया है:

$${\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbf {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbf {Q} }}\right\}.$$

कई उदाहरणों में असाधारण समुच्चय काफी छोटा होता है। उदाहरण के लिए, ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$ यह 1882 में फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन द्वारा सिद्ध किया गया था। विशेष रूप से exp(1) = e अबीजीय है। इसके अलावा, चूंकि exp(iπ) = −1 बीजगणितीय है हम जानते हैं कि iπ बीजीय नहीं हो सकता है। तब से i बीजगणितीय है इसका तात्पर्य है कि π एक अबीजीय संख्या है।

सामान्य तौर पर, किसी फलन के असाधारण समुच्चय को ढूंढना एक कठिन समस्या है, परन्तु यदि इसकी गणना की जा सकती है तो यह प्रायः अबीजीय संख्या सिद्धांत में परिणाम दे सकता है। यहाँ कुछ अन्य ज्ञात असाधारण समुच्चय हैं:

• क्लेन का जे-इनवेरिएंट
  $${\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in \mathbf {H} \,:\,[\mathbf {Q} (\alpha ):\mathbf {Q} ]=2\right\},$$
  जहां H ऊपरी आधा समतल है, और [Q(α): Q] बीजगणितीय संख्या क्षेत्र Q(α) के क्षेत्र विस्तार की डिग्री है। यह परिणाम थियोडोर श्नाइडर के कारण है।
• आधार 2 में घातीय फलन:
  $${\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbf {Q} ,$$
  यह परिणाम गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि यदि $$